1、1,第六節(jié) 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)的積分,小結(jié) 思考題 作業(yè),可化為有理函數(shù)的 積分舉例,rational function,第四章 不定積分,2,基本積分法:,換元積分法;,分部積分法,有些函數(shù)的積分不是初等函數(shù),直接積分法;,在概率論、數(shù)論、光學(xué)、傅里葉分析,等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分,都屬于“積不出”的范圍.,3,有理函數(shù)的定義,兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.,一、有理函數(shù)的積分,假定分子與分母之間沒有公因式,真分式;,假分式.,4,例,多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算.,真分式的積分.,只討論:,多項(xiàng)式,真分式,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分式,分解,若干部分分式之和,5,對一般有理真分式的積分,代數(shù)學(xué)

2、中下述定理起著關(guān)鍵性的作用.,定理,6,部分分式(最簡分式).,7,用此定理有理函數(shù)的積分就易計(jì)算了.,且由下面的例題可看出:,有理函數(shù)的積分是初等函數(shù).,系數(shù)的確定,一般有三種方法:,(1) 等式兩邊同次冪系數(shù)相等;,(2) 賦值;,(3) 求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用.,8,例1 求,解,由多項(xiàng)式除法,有,說明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時(shí),應(yīng)把它分為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式,分別積分.,假分式,9,例2 求,解,比較系數(shù),因式分解,10,11,代入特殊值來確定系數(shù),取,取,取,并將 值代入,例3 求,解,(1),(1),賦值,12,于是,13,任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列,其中A,B, a, p,

3、q都為常數(shù),分別討論上述幾種類型的不定積分.,并設(shè),四種典型部分分式的積分之和.,n為大于1的正整數(shù).,14,15,16,17,18,用遞推公式,19,結(jié)論:,有理函數(shù)的原函數(shù)只有三種:,有理函數(shù);,對數(shù)函數(shù);,反正切函數(shù).,求不定積分,不僅要認(rèn)真,而且要有耐心.,20,應(yīng)重點(diǎn)提高計(jì)算的,(1) 部分分式法;,此法一般運(yùn)算較繁.,(2) 拆項(xiàng)法;,(分項(xiàng)積分法),(3) 換元法;,(4) 配方法.,有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、,無理函數(shù)積分的基礎(chǔ),熟練程度和技巧,一般有以下方法:,21,例4 求,分析,解,原式=,分項(xiàng),湊微分,從理論上看,可用部分分式法,但計(jì)算復(fù)雜,故不宜輕易使用,應(yīng)盡

4、量考慮其它方法.,約去公因子,配方,22,例5 求,解,原式=,這是有理函數(shù)的積分.,如按部分分式法很麻煩.,使分母為單項(xiàng),作變換,分析,分母是100 次多項(xiàng)式,如作一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q,而分子為多項(xiàng),除一下,化為和差,的積分.,23,或,分項(xiàng),24,求,練習(xí),25,三角有理式的定義：,由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過,有限次四則運(yùn)算,構(gòu)成的函數(shù)稱之.,一般記為,如,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,1. 三角函數(shù)有理式的積分,和分部積分法討論過一些.,對于三角函數(shù)有理式的積分,曾用換元法,是否任何一個(gè)三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù),回答是肯定的.,?,26,由三角學(xué)知識,可通過變換,事實(shí)上,由,半角變換(或稱萬能

5、代換）,則,表示.,化為有理函數(shù)的積分.,27,u的有理函數(shù),28,例6 求,29,比較以上三種解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.,30,類型,解決方法,作代換去掉根號.,通常先將,配方,再用三角變換化為三角函數(shù)有理式的積分或,直接利用積分公式計(jì)算.,2. 簡單無理函數(shù)的積分,31,例7 求,32,例8 求,解,先將無理函數(shù)的分子或分母有理化.,分析,原式,33,例9 求,解,令,則,原式=,回代,34,方法二:,Euler變換:,35,練習(xí),解,令,分部積分,回代,36,練習(xí),解,法一,三角代換,法二,倒代換,37,2. 簡單無理式的積分.,有理式分解成部分分式之和的積分.,（注意：必須化成真分式）,1. 三角有理式的積分.（萬能代換公式）,（注意：萬能公式并不是最佳代換）,三、小結(jié),可化為有理式的積分.,38,思考題,確定系數(shù)A、B使下式成立,解,所論等式