1、,數(shù)學探究選講,杭州師范學院 杜玲玲,數(shù)學探究的意義 數(shù)學探究的方法 思考與練習,數(shù)學探究的意義 新的高中數(shù)學課程標準中要求將數(shù)學探究作為貫穿于整個高中數(shù)學課程的重要內容，其意義重大而深遠。1 通過數(shù)學探究性學習，使學生學到真實的數(shù)學 我們知道，任何科學成果，都是思維活動的成果，都要經(jīng)過一個特定的思維過程。數(shù)學更是如此，它的每一個結論的發(fā)明、發(fā)現(xiàn)，每一個定理、公式的得出，一般都要經(jīng)過多次觀察猜想、類比聯(lián)想、歸納分析和思維跳躍、思維發(fā)散、思維復合等過程。因此，可以認為：,我們面對的數(shù)學有兩種：一種是現(xiàn)成的數(shù)學，它以形式演繹的面目出現(xiàn)，顛倒了數(shù)學的實際創(chuàng)造過程，給予我們的是思維的結果；另一種是活動

2、的數(shù)學，是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學過程的真實體現(xiàn)，它表明了數(shù)學是一種艱難而又生動有趣的活動。為此就產(chǎn)生了應該教何種數(shù)學的問題？這是兩種截然不同的數(shù)學教學觀。著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為應該教后一種數(shù)學，他指出：數(shù)學教學方法的基本思想應該是“再創(chuàng)造”，即遵循數(shù)學發(fā)展史表明的漸近系統(tǒng)化的過程，教活動的數(shù)學，教學生像數(shù)學家那樣用“探究”的方法去學習。它不是指機械地去重復歷史（這也不可能），而是指每個人在學習數(shù)學過程中，根據(jù)自己的體驗用自己的思維方式，了解數(shù)學概念,和結論產(chǎn)生的過程，理解直觀和嚴謹?shù)年P系，嘗試數(shù)學研究的過程，重新創(chuàng)造有關的數(shù)學知識這就是“數(shù)學探究”的教學和學習方法。 毫無疑問，我們在課堂上講授的

3、都是數(shù)學真理！她們往往是經(jīng)過幾十年、幾百年幾代數(shù)學家共同努力發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的數(shù)學成果，她們蘊含著豐富的思想、方法，有猜想、有直覺、有歸納、有類比，然而寫入教材卻回避了這些真相，完全像是在嚴格的演繹系統(tǒng)內“一氣呵成”的，所以我們認為印刷在教材上的數(shù)學遠不是真實的數(shù)學。如果我們的教學僅是教材的翻版，教師“板起臉龐”大講嚴格性、邏輯性，推理進行得“滴水不漏”，而又把這作為高水平、高素質的數(shù)學教師的樣板的話，恐怕害怕數(shù)學的學,生隊伍會不斷壯大。 如何在數(shù)學課堂內教授真實些的數(shù)學呢？我們介紹兩位著名數(shù)學家的觀點：一位是歐拉，他不僅是一位豐產(chǎn)的數(shù)學家，同時也是一位教學的楷模，“他給學生講課時喜歡尋點開心，讓學

4、生感到驚異。他認為，如果單是做出了給科學寶庫增加財富的發(fā)現(xiàn)，而不能坦率闡述那些引導他做出發(fā)現(xiàn)的思想，那么他就沒有給科學做出足夠的工作?！绷硪晃皇遣ɡ麃?，他曾說：“我擔心對許多學生來說數(shù)學好像是一套死板的解題法；對一些教師來說，數(shù)學是一套嚴格的證明系統(tǒng)，他們認為在課堂上講授時，應該有個分寸，有個限度，如果不是這樣，而把它講得很通俗，他們就怕由于不嚴謹、不完全而,有損于個人威信；對于正積極搞研究的數(shù)學家來說，數(shù)學也許往往像是猜想、游戲：在你證明一個定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節(jié)之前，你必須先猜想出證明的主導思想”“教學必須為發(fā)明作準備，或者至少給一點發(fā)明的嘗試”“教師應該說明，

5、在數(shù)學領域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是負責任的態(tài)度”。2 通過數(shù)學探究性學習，使學生學到數(shù)學的精神 康德曼努爾(KantImmanuel)說：“教育孩子的目標應該是逐步地組合他們的知與行。在各種學科中，數(shù)學是最能實現(xiàn)這一目標的學科?！钡覡柭?（Dillmann）說：“數(shù)學能夠集中、加速和強化人們的注意力，能夠給人發(fā)明創(chuàng)造的精細與謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和自信心數(shù)學比起任何其他學科來，更能使學生得到充實和增添知識的光輝，更能鍛煉和發(fā)揮學生探索真理的獨立工作能力。” 數(shù)學不僅有豐富的知識體系，同時更有豐富的精神內涵。數(shù)學探究性學習，真正能讓學生深刻理解和體會這些精神。學生通過主動參

6、與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得數(shù)學學習的自信心和方法；體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和不怕困難的科學精神；有助于培養(yǎng)學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力；讓學生投入到現(xiàn)實的、,充滿探索的數(shù)學學習過程中去，體會數(shù)學的探索過程，體會數(shù)學與自然、社會和人類生活的聯(lián)系，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展。數(shù)學探究性學習給學生的學習提供了充分的時間和空間。,數(shù)學探究的方法 卓越的數(shù)學家笛卡兒曾說：那些只是極慢地前進的人，如果總是遵循正確的道路，可以比那些奔跑著然而離開正確道路的走在前面很多。他強調的是科學方法的重要性。同樣要進行數(shù)學探究，掌握數(shù)學探究的基本方

7、法是非常重要的。事實上，歷史上著名的數(shù)學家在創(chuàng)造數(shù)學新成果的同時大凡都伴隨著數(shù)學新方法的創(chuàng)造。以下是一些在數(shù)學探究中常用的數(shù)學方法。1數(shù)學中的推理方法 數(shù)學中的推理有兩種：論證推理和合情推理。論證推理又稱演繹推理，它是思維進程中從一般到,特殊的推理。這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，每一步推理都是可靠的、無可置辯的和終決的，因而可以用來肯定數(shù)學知識，建立嚴格的數(shù)學體系，一個數(shù)學上的證明是論證推理，呈現(xiàn)在我們面前的科學數(shù)學是一門以論證推理為特征的演繹科學。但這僅僅是科學數(shù)學的一個方面，科學數(shù)學所呈現(xiàn)的東西是科學數(shù)學的一個方面，科學數(shù)學所呈現(xiàn)的東西已經(jīng)是科學數(shù)學建造過程的尾聲，是數(shù)學家創(chuàng)造性工作

8、結出的果實，而在整理成這些定型的邏輯論證材料之前，有著更為漫長的探索發(fā)現(xiàn)過程，這就是合情推理。所以在數(shù)學探究中進行的推理主要是合情推理。 數(shù)學中的合情推理是多種多樣的,其中歸納推,理（不包括完全歸納）和類比推理是兩種用途最廣的特殊合情推理，而且它們都含有猜想成分。下面我們將例舉一些這樣的例子，而且將較多地介紹著名數(shù)學家歐拉（Euler）進行的數(shù)學探究的例子。歸納推理的例子例 凸多面體的歐拉（Euler）定理的發(fā)現(xiàn)道路。 凸多面體的歐拉（Euler）定理：任意一個凸多面體P的Euler示性數(shù)都是，即X(P)=FVE=2，其中F、V和E分別表示凸多面體的面、頂點和棱的數(shù)目。人們猜想當時歐拉發(fā)現(xiàn)這個

9、定理的過程是這樣的： 首先觀察了一些特殊的多面體，并列成下表：,多面體 面（F） 頂點（V） 棱（E）立方體 三棱柱 五棱柱 三棱錐 四棱錐 五棱錐 八面體 屋頂體 截角立方體 ,當考察這些排列的數(shù)據(jù)之后，發(fā)現(xiàn)：把每個多面體的F+V求出來與E值比較，每一種情形都滿足關系式FVE2。 于是猜想：對于任何多面體，面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加。 進一步檢驗一些多面體，比如十二面體和二十面體，結果都仍有FVE2。 然后，歐拉用“生成法”再一次進行驗證。其生成過程是：若多面體外增加一點A，并與靠近它的那一面（不妨設有k個頂點的面）的各頂點聯(lián)結起來，這樣就增加了k條邊，也就是E增加了數(shù)目k，另一方面，又增加了（

10、k-1）個面，外加頂點A，這樣（F+V）的數(shù)值也增加了（k-1）+1=k，因此差量,（F+V）-E總是保持不變。然而，通過對鑲嵌畫的框架狀多面體進行檢驗，卻發(fā)現(xiàn)FVE2并不成立。 為此將猜想修改為：任何一個凸多面體的面、頂點和棱的數(shù)目滿足關系式FVE2。 盡管在理論上還需對此猜想作進一步的證明，但通過這樣的歸納推理事實上已經(jīng)獲得了一個數(shù)學真理。例因子和問題 歐拉探究整數(shù) 的因子和 的過程是這樣的： 1只有一個因子，就是它自己，即 ；素數(shù)有且只有兩個因子，即1和它自己，故 ,反之，若 ，則 為素數(shù)；合數(shù)都有不少于三個的因子，如 ,，歐拉很快就得出結論：若 ，且 、 都是素數(shù)，則 , 以上結果不難

11、推廣到一般情形，有趣的是歐拉作了以下觀察： 他列出了從1到99的各數(shù)的因子和，這里列出前29個：,n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 3 4 7 6 12 8 15 1310 18 12 28 14 24 24 31 18 39 2020 42 32 36 24 60 31 42 40 56 30這似乎是很零亂的，可是歐拉觀察到了如下現(xiàn)象： 從表中看， ，但它與相鄰的前幾個數(shù)有關： 或寫作 = + - - ；再觀察：,這里 ;隨后： 此處 當 時，有：,對于括號中的減數(shù)：1，2，5，7，12，15，22，26，35，40，51，57，70，77，92，歐拉作了每相鄰兩數(shù)的差：1，

12、3，2，5，3，7，4，9，5，11，6，13，7，15，規(guī)律很明顯：奇數(shù)項是：1，2，3，4，5，6，7，；偶數(shù)項是：3，5，7，9，11，13，15， 于是歐拉得出了猜想：對于任何自然數(shù) ，以下公式成立：,上式中雖寫為無限和的形式，實際上，當括號中的數(shù)開始出現(xiàn)負數(shù)時就去掉，故只有有限項；當括號中的數(shù)變?yōu)?時，此時 隨 而定，即取 。從這個例子使我們看到了歐拉深刻的觀察力和探究力，這是杰出數(shù)學家的優(yōu)秀品質！ 類比推理的例子 例 這是貝努利在求解問題時遇到的難題，歐拉第一個得到了它的解答，其求解過程是這樣的：,他考慮方程： 這是一個偶數(shù)方程，因此當 為其根時， 必為其根。 現(xiàn)設此方程的 個根是

13、： 這 個根又是方程： 的根。 上面兩個方程的根全部相等，且常數(shù)項也相等，故其它相應的系數(shù)也相等，特別關于 這一項的系數(shù)應相等，即： 仍照上面的考慮：因為方程：,也就是方程： 故它的根為： 這與下述方程的根完全相同： 比較以上兩個方程關于 項的系數(shù)，得： 進而，得：,雖然這里歐拉用的是將有限到無限的不嚴格類比法（為此歐拉一直驗證到小數(shù)后六位），但這卻是一個正確的結論?？梢娫谧詈笞鞒鰢栏裾撟C前的探究（嚴格或不嚴格）對得到正確結論有多大的幫助！例2.n個平面，其中沒有任何兩個平面互相平行，沒有任何三個平面相交于同一條直線或交線互相平行，也沒有四個平面過同一點，那么這n個平面把空間分割成幾部分？ 容

14、易想到，一個平面、兩個平面、三個平面分別可以把空間分成2、4、8個部分，但四個以上的平面能把空間分成幾個部分就難于回答了。為了能找到一個思考的方法，可以采用降維的方法去探究，,平面被直線分割：平面上有n條直線，其中沒有任何兩條直線平行，沒有任何三直線過同一點，那么n條直線可以把平面分割成幾部分？ 設用n條直線可把平面分割成 個部分，則前（n-1）條直線可把平面分割成 個部分。由于第n條直線與前（n-1）條直線有（n-1）個交點，從而把第n條直線分成n段，而每一段把所在塊一分為二，于是增加了n塊。由此得： 解得： 此即為n條直線將平面分割成的塊數(shù)。,類似考慮本例，若增加一個平面，可以把空間多分割

15、成幾部分，由于第n個平面與前（n-1）個平面相交，在這第n個平面上有(n-1)條交線，這些交線沒有任何兩條平行，也沒有任何三條共點，因此根據(jù)類比對象的結論可知第n個平面被（n-1）條直線分成 塊，而每一塊把所在的部分空間一分為二，于是增加了 個部分。因此，n個平面將空間分成的部分數(shù)為：,2數(shù)學中的抽象方法 數(shù)學方法是進行科學抽象的一種思維方式。它具有兩個基本特征：概括性和深刻性。數(shù)學在考慮事物時，它把這些事物的物理屬性、化學屬性或生物屬性全撇開，而只考慮其量的特征、形的特征；同時數(shù)學的思維具有一定的深刻性，它往往借助于數(shù)學概念及以數(shù)學概念為基礎的規(guī)律所進行的推理、判斷來達到事物的本質，洞察到事

16、物的底蘊。例1哥尼斯堡七橋問題 哥尼斯堡七橋問題是歐拉探究解決并對于開創(chuàng)拓撲學數(shù)學分支有重大意義的一個典型例子。,18世紀的哥尼斯堡是德國的一個美麗的城市（現(xiàn)屬于俄羅斯）。布勒爾河穿城而過，它有兩個支流，在哥尼斯堡城中心匯成大河，河中間有一個小島，河上有七座橋（見圖一），島上有一座古老的大學，一座教堂，還有哲學家康德的墓地及塑像。當?shù)氐木用?，特別是大學生們常常到七橋附近散步。漸漸大家熱衷于一個問題：即一個人如何能不重復地一次走遍這七座橋而返回出發(fā)點？很多人作過嘗,試，但都未能實現(xiàn)，這便產(chǎn)生了數(shù)學史上著名的“七橋問題”，1735年一群大學生寫信給著名的數(shù)學家歐拉。 歐拉首先從千百人次的失敗中猜想

17、，也許根本不可能不重復地一次走遍這七座橋，但如何來證明它呢？歐拉是這樣探究這個問題的：他想，既然島與半島無非是橋的連接地點，兩岸陸地也是橋通往的地點，那么就不妨把這四處地點抽象成四個點，并把七座橋抽象成七條線（見圖二），,這樣不改變問題的實質，通過這樣的思考后，問題就成了一個有關幾何圖形的問題（見圖三），即人們步行走過這些地方和七座橋時，就相當于用筆畫出此圖。于是問題轉化為：能否用筆不重復地一筆畫出此圖。 接著歐拉進一步探討了這一筆畫問題的結構和特征。一筆畫有一個起點和一個終點，它們重合時稱為封閉圖形，否則稱為開放圖形。除起點和終點外，一筆畫中間可能出現(xiàn)一些曲線的交點，在這些交點處曲線一進一出

18、，因此通過的曲線總是偶數(shù)條，這些交點就稱為“偶點”，由此看來，只有起點和終點通過的曲線可能是奇數(shù)條，此起點和終點稱為“奇點”，特別地，當起點和終點重合時，便成為一,個偶點，不再是奇點。 正是經(jīng)過上面的探究，歐拉斷言：任何一個一筆畫，要么沒有“奇點”，要么有兩個“奇點”，而在“七橋問題”所對應的圖形中，四個點都是“奇點”，因此它不能一筆畫成，從而人們不可能不重復地一次走過哥尼斯堡的七座橋。 歐拉沒有滿足于“七橋問題”的解決，而是繼續(xù)深入研究，終于用嚴密的數(shù)學語言證明了一個可鑒別任一圖形能否一筆畫的“一筆畫定理”：一個網(wǎng)絡（任意一個由有限條弧線構成的圖形，且每條弧線都有兩個相異的端點）是一筆畫，當

19、且僅當該網(wǎng)絡是連通的，并且奇頂點的個數(shù)是0或2。 歐拉解決這一問題所用的思維方法，就是抽象,方法，即由感性認識到理性抽象，再由理性抽象上升到理性認識，這也是人們認識事物常用的一種抽象思維方法。“七橋問題”有力地說明，數(shù)學抽象將實際關系中許多無關緊要的東西（如橋的大小、形狀之類）舍掉，而緊緊抓住其中帶有本質特征的東西，從而構造出一些在邏輯上無矛盾的“純粹的”數(shù)學關系。 3數(shù)學中的化歸方法 數(shù)學的任務首先是把實際問題化為數(shù)學問題，數(shù)學問題一經(jīng)提出之后，任務就是尋求解答了。如何尋求解答呢？一種有效的方法是不斷地進行化歸，如把高次的化為低次的；把多元的化為單元的；把,高維的化為低維的；把指數(shù)運算化為乘

20、法運算；把乘法變?yōu)榧臃ǎ话褞缀螁栴}化為代數(shù)問題；把微分方程問題化為代數(shù)方程問題；把偏微分方程問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虇栴}；化無理為有理；化連續(xù)為離散；化離散為連續(xù)；等等。即化歸的基本思想是：把甲問題的求解，化為乙問題的求解；把乙問題的求解，化為丙問題的求解（可能更多）；然后通過丙、乙問題的求解反回去獲得甲問題的求解?；瘹w的基本的目的是：化難為易，化繁為簡，化暗為明。 例1.設 ,且 ,試求 的最小值。 我們將此代數(shù)問題化為幾何問題。不妨將 和 分別理解為點 和 到原點 的距離。,，取等號時， 反向共線，此時 例2試求常數(shù) 的范圍，使曲線 的所有弦都不可能被直線 垂直平分。 在探究問題過程中，從正面解

21、決困難時要考慮從反面解決，直接解決困難時要考慮間接解決，順推困難時要考慮逆推，進不行則考慮“退”，探究可能性發(fā)生困難時要考慮探究不可能性，這就是所謂正難則反原則。 此題的“不能”的反面就是“能”，假設拋物線 上存在著弦，它被直線 垂直平分，即拋物線上存在著兩點 ，它們關于直線,對稱，于是有： 即： 消去 ，得 因 ，所以 故 ：所以：,因此，當 時，拋物線上存在著兩點關于 直線 對稱。故原題的解為 。 例3試問：一個周長為2L的封閉曲線是否能被一個直徑是L的圓蓋住？ 這個問題很難，因為周長為2L的封閉曲線可以取任意形狀，一下子簡直不知從何著手。但是，既然問題中的封閉曲線沒有規(guī)定是什么形狀，我們

22、何不先從特殊情況試試。假定曲線形狀是正方形，這個情況容易證明，把一個直徑是L的圓形紙片的中心與正方形的中心O重合。要證明這個圓能蓋住正方形，只要證得A、B、C、D四個頂點都被蓋住即可。在圖1中，由 可知，,圖 圖 點確被圓紙片蓋住。同理可證得 點均被蓋住。因此，周長為 的正方形可以被一個直徑是 的圓蓋住。,對于任意形狀的曲線 如何證明呢？不妨把這個曲線 想象成是由正方形 扭曲而成（見圖2）。既然曲線 是由正方形變形所得，兩者之間必有內在聯(lián)系，因此可嘗試將正方形時用過的方法移植到任意曲線上。對角線 把正方形 的周長分為相等的兩部分，曲線 上也可找到 兩點，把曲線 的周長分成相等的兩部分。 是 的

23、中點，也取 的中點 。同樣把圓紙片的中心放在 點。設 點是曲線 上任意一點，若延長 到 點，使 ，則可得到一個平行四邊形，可以證得 ，于是有 的曲線弧長 。因此 點能被圓蓋住。這就證得整個曲線 都能被圓蓋住。,逐步逼進法 華羅庚說“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅！”這里“退”的目的，就是要為了逐步逼進。如果讓你解決一個比較復雜的問題，并且一下子又不能加以解決，這時你不妨將原問題轉化為一個按一定順序串聯(lián)起來的但比較容易解決的問題，這些問題一個比一個更加逼近原來的問題。接下來你就集中精力解決這些轉化得到的問題。隨著這些問題的順次解決，你也就按逐步逼近的方法得

24、到了原來問題的答案。逐步逼近法在數(shù)學中應用非常廣泛。例如求圓面積時，我們用邊數(shù)逐漸增加的內接多邊形來逐步逼近；求曲線弧長時，我們用越來越小的線段組成的內接,折線來逐步逼近；對于無理數(shù)，我們用一列精確度越來越高的十進小數(shù)來逐步逼近；等等。其實，逐步逼近法不僅適用于數(shù)學，它對任何科學研究都是卓有成效的。天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動三定律用的也是逐步逼近法。他根據(jù)對第谷的觀察資料進行分析，初次假設太陽繞地球旋轉，與觀察不符；第二次假設火星繞太陽作圓周運動，仍有相當偏差；最后假設火星繞太陽作橢圓運動，終于得到了正確的結論。 除了少數(shù)例外，科學上的許多重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明都是按逐步逼近的過程進行的。遺憾的是，我

25、們一般只能看到最后的、成功的結果。而那些逐步逼近的過程則從不公布，這是非常可惜的，因為正是在,這些被逐步拋棄的中間假設中蘊藏著許多經(jīng)驗教訓和無數(shù)個不眠之夜。這或許也是某些人對科學家產(chǎn)生迷信，認為他們都是超級天才，非常人所能望其項背的一個重要原因。例 人類研究哥德巴赫猜想就是運用逐步逼進法。 哥德巴赫猜想可以簡單地表示為 ，即每個充分大的偶數(shù)都可以表示為一個素數(shù)加另一個素數(shù)。要直接證明這一點太難，于是人們就逐步逼進。如果對于一個固定的整數(shù) ，當自然數(shù) 的素因數(shù)不超過 個時，稱 為素因數(shù)不超過 的殆素數(shù)。例如 都是素因數(shù)不超過 的殆素數(shù)； 是素因數(shù)不超過 的殆素數(shù)。,如果對于每一個充分大的偶數(shù)都可

26、以表示為一個素數(shù)與一個素因數(shù)不超過 的殆素數(shù)之和時，記為 。如果對于每一個充分大的偶數(shù)都可以表示為兩個素因數(shù)分別不超過 和 的殆素數(shù)之和時，記為 。 直接證明 很難，于是就先證 。 1920年，挪威數(shù)學家布朗用一種古老的篩法證明了 ，即每一充分大的偶數(shù)都可表為兩個素因數(shù)不超過 的殆素數(shù)之和。 1924年，德國數(shù)學家拉德馬哈爾證明了 1932年，英國數(shù)學家麥斯特曼證明了 。 1938年，前蘇聯(lián)數(shù)學家布赫斯塔勃證明了 。,事隔兩年，1940年，布赫斯塔勃又證了 。 1956年，前蘇聯(lián)數(shù)論專家維諾格拉托夫證明了 。 1957年，我國年青數(shù)學家王元成功地證了 。 從1920年1957年，經(jīng)過三十七年的

27、努力，人們從 推進到 。當初“退”到 ，是為了后來的“進”，現(xiàn)在進到了 ，但還不是最終結果。另一方面的“退”是“退”到了 ，再經(jīng) 由向 “逼”進。 1948年，匈牙利數(shù)學家蘭恩依證明了 。 1962年，我國數(shù)學家潘承洞證明了 。 同年，潘承洞和王元又證明了 。,1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉托夫和意大利數(shù)學家龐皮艾黎都證明了 。 1966年，我國數(shù)學家陳景潤證明了 。這是距離 最近的優(yōu)秀結果。 從上述過程可以看出這是一場頗為壯觀的以退為進的逐步逼進法。 例2.取兩張大小相同的紙片，先疊在一起，并且確定方位，這樣，上下兩張紙片上的點就會重合了，每對重合的點就是對應點，即兩紙片上的點一一對應起來

28、了。 然而，我們把上面那張紙 隨意揉成一個小紙球 （不一定是嚴格意義下的球），再把小紙球隨意丟在下面那張紙片 上。,這時，小紙球上有沒有這樣一個點：這個點與其正下方 上的點（即其垂直投影）正是原來兩張紙片重疊時的對應點？ 我們來試一試，先作小紙球在 上的投影區(qū)域 ，則 ，并且，如果上述那種點存在的話，必定是 上的對應點，這是顯然的。 紙片 上與 對應的那部分當然還在紙球 上，再作紙球 上的這部分在 上的垂直投影 ，顯然 。 接下去，紙片 上與 對應的那部分在紙球 上，作紙球 上的這部分在 上的垂直投影域 ， ，如此繼續(xù)下去，可以得 ，會不會出現(xiàn) 的情形？如果出現(xiàn)了， 上的每,一點都為所求，否則

29、我們繼續(xù)做下去。 這樣，在一般情況下 隨著 增大會“壓縮”成一點，這一點即為所求。 事實上，這里所敘述的是拓撲學中一個重要定理在特殊情形下的體現(xiàn)，這個定理就是所謂不動點定理：任何一個將 維球體映為自己的連續(xù)映射（雙方單值的連續(xù)映射稱為拓撲映射）至少有一個不動點。這個著名定理由荷蘭數(shù)學家布勞威爾所得到。例3求太湖的的最深深度。我們先在地面上取定直角坐標系 ，并取向上方向為 軸正向。設湖底深度可用函數(shù) 表示。用一測量船，上面裝有測定深度的儀器，可以測得,每一點湖的深度，也就是說可以算出 在任意一點 的函數(shù)值。 設測量船從湖邊某一點 出發(fā)，船應該往哪個方向開好呢？當然應向著湖中心方向開去。但是茫茫太

30、湖大無邊際，一眼看不到對岸，無法判斷哪個方向指向湖中心。如果碰運氣盲目地航行，不知何時才能測出最深點，當然不可取。一個自然的想法是退而求其次，雖然不能保證測量船直指湖中心，但應盡量使船逐步往深處，這樣盡管航行的路線會有些迂回曲折，但最后總能逐步到達最深點。 按照這種想法，我們首先測出出發(fā)點 和鄰近兩點 的函數(shù)值，并計算出,下一張幻燈片的值，從而近似地求出 點的梯度向量 。注意到與梯度向量 相反的方向就是湖深不斷增大的方向。因此，應讓測量船沿與 點的梯度向量相反的方向往前開，每隔一定距離測量一次湖的深度。如果后一點測得的深度比前一點深，測量船就繼續(xù)往前開。直至某一點測得的深度比前一點淺時，船就退

31、回到前一點，設該點為 。這時，我們就由 點前進到了 點。 然而重復上面的過程，近似求出 點的梯度向量 ，測量船沿這個梯度向量的相反方向朝前開，一邊開一邊測量，一直到沿這個方向上的最深點停下來，設該點是 。這樣，測量船依次開到 點， 點，若干步以后，測量船幾乎就在某一,點 附近轉圈。因此，這個 點就是太湖的最深點。由此可以測得太湖的最深深度 。5猜想 1976年，發(fā)生了一件震驚世界數(shù)學界的大事。三位美國數(shù)學家利用三臺百萬次的電了計算機證明了四色猜想：任何平面上的地圖，總可以把它的每一個國家用四種顏色中的一種來染色，并且使得任意兩個相鄰國家的顏色都不相同。有趣的是，這個結論早在一百多年前就知道了。

32、當時一個名叫格色里的英國人發(fā)現(xiàn)，他碰到的所有地圖，都可以只用四種顏色來染色。于是，他就根據(jù)經(jīng)驗歸納法作出了上面的“四色猜想”。由猜想導致數(shù)學發(fā)明的事實俯拾皆是，如哥德巴赫關于“任何一個大偶數(shù)都可表示成兩個質數(shù)之和”的猜想，“所有等周長的平,面圖形中，以圓的面積為最大”的猜想等等。數(shù)學通常被人們看作一門論證科學，似乎定理加證明就構成了它的全部內容，殊不知這僅僅是它的一個方面。其實，數(shù)學的創(chuàng)造過程與其它任何知識的創(chuàng)造過程一樣：在證明一個定理之前，你先得猜想這個定理的內容；在你作出詳細證明之前，你先得猜想證明的思路。簡言之，一切數(shù)學定理及其證明都離不開猜想。如果沒有猜想，數(shù)學家將寸步難行；如果沒有猜

33、想，如今矗立在我們面前的這座雄偉特色瑰麗的數(shù)學宮殿就不復存在。猜想是數(shù)學家手中的一支金拐杖！例 在各邊長度給定的一切四邊形中，何時具有最大面積？,因為四邊形的各邊長度給定，于是面積大小隨四邊形頂角大小而變化。為了得出一般結論，不妨先取一特殊情況。設四邊長相等，則四邊形為菱形或正方形，顯然當四邊形為正方形時面積最大。能否由此推測各頂角均為直角時，四邊形面積最大？如設四邊長為 ，考慮到當 夾角為直角時，則斜邊為定長，而斜邊與其余兩邊 不一定恰能構成直角。所以四邊形有最大面積時，各頂角不一定都是直角。因此我們可以猜想：四邊形對角互補時面積最大。這個猜想可以證明如下： 如圖3，,圖四邊形面積 為：即：

34、 (1)又：兩式相減得： （2），把（1）、（2）分別平方、相加，經(jīng)整理可得：,此式僅當 取最小值 ，即 時 ， 取最大值。 因此我們得到了定理：在各邊長度給定的一切四邊形中，當對角互補時面積最大。 數(shù)學猜想對數(shù)學發(fā)展的巨大推動，不僅由于猜想得到的結論可以作為進一步研究的基礎和出發(fā)點，而且還在于一個好的猜想往往證明非常困難，因而迫使數(shù)學家在探索其證明的過程中創(chuàng)造出新的方法。費爾馬是一個業(yè)余數(shù)學家，他有這樣一種習慣：把讀書心得，以及發(fā)現(xiàn)的定理或證明，隨便地寫在書頁的邊上。他在算術學這本書的頁邊寫道：“任何整數(shù)的立方，不能分成兩個整數(shù)的立方之和；,任何整數(shù)的四次方，不能分成兩個整數(shù)的四次方之和；或者一般地，任何整數(shù)的n次方，除平方外，都不能分成而個整數(shù)的n次方之和。我想出了一個絕妙的證明方法，但是，這頁邊太窄，不容我將證明寫出來?！币簿褪钦f，費爾馬猜想方程xn+yn=zn，當n2時，永遠沒有整數(shù)解。這個結論，從經(jīng)驗上看似乎不難證明?？墒?，當費爾馬的兒子將這個結論發(fā)表之后，