1、20112011 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學（文史類）數(shù)學（文史類） 本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時120 分鐘。 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。 答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡 一并交回。 第卷 注意事項： 1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干 凈后，再選涂其他答案標號。 2本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。 參考公式： 如果事

2、件 A，B 互斥，那么棱柱的體積公式V Sh P(A B) P(A) P(B) 其中 S 表示棱柱的底面面積。 1i是虛數(shù)單位，復數(shù) A2i C12i h表示棱柱的高。 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的一、選擇題：在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的 13i = 1i B2i D12i x 1, 2設變量 x，y 滿足約束條件x y4 0,則目標函數(shù)z 3x y的最大值為 x3y 4 0, A-4B0 C 4 3 D4 3閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，若輸入x的值為-4，則輸出y的值為 A,05B1 C2D4 4設集合AxR| x2 0,B xR|

3、 x 0，C xR| x(x2) 0， 則“xAB”是“xC”的 A充分而不必要條件 C充分必要條件 B必要而不充分條件 D即不充分也不必要條件 5已知a log 2 3.6,b log 4 3.2,c log 4 3.6則 Aa b cBa c bCb a cDc a b x2y2 2 6已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的左頂點與拋物線y 2px(p 0)的焦點的距離為 4， ab 且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的準線的交點坐標為（ -2，-1） ，則雙曲線的焦距為 （） A2 3B2 5C4 3D4 5 7已知函數(shù)f (x) 2sin(x ),xR，其中 0,若f (x)的最小

4、正周期為 6 ， 且當x 2 時，f (x)取得最大值，則 （） Af (x)在區(qū)間2,0上是增函數(shù) Cf (x)在區(qū)間3,5上是減函數(shù) Bf (x)在區(qū)間3,上是增函數(shù) Df (x)在區(qū)間4,6上是減函數(shù) a,a b 1, 2 8 對實數(shù)a和b， 定義運算 “” ：ab 設函數(shù)f (x) (x 2)(x 1),x R。 b,a b 1. 若 函 數(shù)y f (x) c的 圖 象 與x軸 恰 有 兩 個 公 共 點 ， 則 實 數(shù)c的 取 值 范 圍 是 （） B(2,1(1,2 D-2，-1 A(1,1(2,) C(,2)(1,2 第卷 注意事項： 1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上

5、。 2本卷共 12 小題，共 110 分。 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分 9已知集合A xR| x1 2 ,Z為整數(shù)集，則集合 AZ中所有元素的和等于_ 10一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m） ，則該幾何 體的體積為_m3 11已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，nN， * 若a316,S20 20,則S10的值為_ ab 12已知log 2 alog 2 b 1，則3 9 的最小值為_ 13如圖已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長 線上一點，且DF CF 2, AF :FB :BE 4:2:

6、1. 若CE與圓相切，則CE的長為_ 0 14已知直角梯形ABCD中，AD/BC,ADC 90,AD 2,BC 1, uuu ruuu r P是腰DC上的動點，則PA3PB的最小值為_ 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15 （本小題滿分 13 分） 編號為A 1, A2 , A 16 的 16 名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下： 運動員編號 得分 運動員編號 得分 區(qū)間 人數(shù) A 1 15 A 2 35 A 3 21 A 4 28 A 5 25 A 6 36

7、 A 7 18 A 8 34 A 9 17 A 10 26 A 11 25 A 12 33 A 13 22 A 14 12 A 15 31 A 16 38 （）將得分在對應區(qū)間內的人數(shù)填入相應的空格； 10,2020,3030,40 （）從得分在區(qū)間20,30 內的運動員中隨機抽取2 人， （i）用運動員的編號列出所有可能的抽取結果； （ii）求這 2 人得分之和大于 50 的概率 16 （本小題滿分 13 分） 在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知B C,2b （）求cos A的值； （）cos(2A 3a. P 4 )的值 M 17 （本小題滿分 13 分）如圖，在四棱錐

8、P ABCD中，底面ABCD為 平行四邊形，ADC 45，AD AC 1，O為AC中點， 0 D O A B C PO 平面ABCD，PO 2， M為PD中點 （）證明：PB/平面ACM； （）證明：AD 平面PAC； （）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值 18 （本小題滿分 13 分） x2y2 設橢圓 2 2 1(a b 0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2。點P(a,b)滿足| PF 2 | F 1F2 |. ab （）求橢圓的離心率e； 22 （）設直線 PF2與橢圓相交于 A，B 兩點，若直線 PF2與圓(x 1) (y 3) 16相交于 M，N 兩點，且| MN | 5 | A

9、B |，求橢圓的方程。 8 19 （本小題滿分 14 分）已知函數(shù)f (x) 4x 3tx 6tx t 1,xR，其中tR （）當t 1時，求曲線y f (x)在點(0, f (0)處的切線方程； （）當t 0時，求f (x)的單調區(qū)間； （）證明：對任意的t(0,), f (x)在區(qū)間(0,1)內均存在零點 20 （本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列an與bn滿足bn1anbnan1 32 3 (1)n1 (2) 1,b n ,n N*,且a 1 2. 2 n （）求a2,a3的值； * （）設cn a2n1 a2n1,n N，證明cn是等比數(shù)列； （）設Sn為an的前n項和，證明 SSS 1

10、 S 2 1 L 2n12n n (n N*). a 1 a 2 a 2n1 a 2n 3 參考答案 一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分 40 分。 14ADCC58BBAB 二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分 30 分。 9310411110121813 7 145 2 三、解答題 （15）本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式的 等基礎知識，考查數(shù)據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力，滿分13 分。 （）解：4，6，6 （） （i）解：得分在區(qū)間20,30)內的運動員編號為A 3 , A 4

11、, A 5 , A 10 , A 11 , A 13 .從中隨機抽取 2 人，所有可能的抽取結果有： A 3 , A 4 ,A 3 , A 5,A3 , A 10 ,A 3 , A 11,A3 , A 13,A4 , A 5,A4 , A 10 ， A 4 , A 11,A4 , A 13,A5 , A 10 ,A 5 , A 11,A5 , A 13,A10 , A 11,A10 , A 13,A11, A13 ，共 15 種。 （ii）解： “從得分在區(qū)間20,30)內的運動員中隨機抽取 2 人，這 2 人得分之和大于 50” （記 為事件 B）的所有可能結果有：A 4 , A 5,A4

12、, A 10 ,A 4 , A 11,A5 , A 10 ,A 10 , A 11 ，共 5 種。 所以P(B) 51 . 153 （16）本小題主要考查余弦定理、兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角的正弦、 余弦公式等基礎知識，考查基本運算能力，滿分13 分。 （）解：由B C,2b 3a,可得c b 3 a 2 3 2 3 2a a a2 b c a1 4 4 . 所以cos A 2bc3 33 2aa 22 222 （）解：因為cos A 2 21 , A(0,)，所以sin A 1cos2A 33 74 2 cos2A 2cos2A1 .故sin2A 2sin Acos A

13、 . 99 所以 7 24 2287 2 cos2A cos2Acossin2Asin . 444929218 （17）本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考 查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。滿分13 分。 （）證明：連接 BD，MO，在平行四邊形 ABCD 中，因為 O 為 AC 的中點，所以 O 為 BD 的 中點， 又 M 為 PD 的中點， 所以 PB/MO。 因為PB 平面 ACM，MO 平面 ACM， 所以 PB/ 平面 ACM。 （）證明：因為ADC 45，且 AD=AC=1，所以DAC 90，即AD AC，又 PO 平面 ABCD

14、，AD 平面 ABCD，所以PO AD,而AC PO O，所以AD 平面 PAC。 （）解：取DO 中點 N，連接 MN，AN，因為 M 為 PD 的中點，所以MN/PO，且 MN 1 PO 1,由PO 平面 ABCD，得MN 平面 ABCD，所以MAN是直線 AM 與平面 2 51 ， 所 以 DO ， 從 而 22 ABCD所 成 的 角 ， 在RtDAO中 ，AD 1,AO AN 15 DO ， 24 在RtANM中,tanMAN MN14 5 ， 即直線 AM 與平面 ABCD 所成角的正切值 AN5 5 4 為 4 5 . 5 （18）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方

15、程、兩點間的距離公式、點到直線 的距離公式、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形 結合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力，滿分13 分。 （）解：設F 1 (c,0), F 2 (c,0)(c 0)，因為| PF 2 | F 1F2 |， c c c 所以(a c) b 2c，整理得2 1 0,得 1（舍） a a a 22 2 或 c11 ,所以e . a22 3c，可得橢圓方程為3x2 4y212c2，直線FF2的方程 （）解：由（）知a 2c,b 為y 3(x c). 222 3x 4y 12c , 2 A，B 兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x

16、 8cx 0。解得 y 3(x c). 8x c, 2 x 0, 85 1 x 1 0,x 2 c，得方程組的解 5 3 3 y1 3c, y 2 c. 5 8 3 3 B(0, 3c)， 不妨設Ac,c 5 ， 5 168 3 3 cc 3cc. 5 5 5 5 于是| MN | AB | 2c. 8 所以| AB | 圓心 1, 3 到直線 PF2的距離d 2 2 2 | 3 3 3c |3 | 2 c | . 22 3| MN | 2 因為d2，所以(2 c)2 c216. 4 4 2 整理得7c 12c 52 0，得c 2 26 （舍） ，或c 2. 7 x2y2 1. 所以橢圓方程為

17、 1612 （19）本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、曲線的切線方程、函數(shù)的 零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分14 分。 （）解：當t 1時，f (x) 4x 3x 6x, f (0) 0, f (x) 12x 6x 6 322 f (0) 6.所以曲線y f (x)在點(0, f (0)處的切線方程為y 6x. 22 （）解：f (x) 12x 6tx 6t，令f (x) 0，解得x t或x 因為t 0，以下分兩種情況討論： t . 2 （1）若t 0,則 t t,當x變化時，f (x), f (x)的變化情況如下表： 2 t , 2 +

18、 x t ,t 2 - t, + f (x) f (x) 所以，f (x)的單調遞增區(qū)間是, t t , t, ; f (x)的單調遞減區(qū)間是 ,t。 2 2 （2）若t 0,則t t ，當x變化時，f (x), f (x)的變化情況如下表： 2 t t, 2 - x ,t + t , 2 + f (x) f (x) 所以，f (x)的單調遞增區(qū)間是,t, t t ,; f (x)的單調遞減區(qū)間是t, . 2 2 t 2 t ,內單調 2 （）證明：由（）可知，當t 0時，f (x)在0, 內的單調遞減，在 遞增，以下分兩種情況討論： （1）當 t 1,即t 2時，f (x)在（0，1）內單調

19、遞減， 2 f (0) t 1 0, f (1) 6t2 4t 3 64 42 3 0. 所以對任意t 2,), f (x)在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 （2）當0 t t t 1,即0 t 2時，f (x)在0, 內單調遞減，在 ,1內單調遞增，若 2 2 2 77 1 t (0,1, f t3t 1 t3 0. 44 2 f (1) 6t2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0. 所以f (x)在 t ,1內存在零點。 2 7 3 7 3 t t t 1 t 1 0. 244 若t (1,2), f f (0) t 1 0 所以f (x)在0, t 內存在零點。 2 所以，對任意t (0,2), f (x)在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 綜上，對任意t (0,), f (x)在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 （20）本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基