1、14.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,高考數(shù)學(xué),1.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交. 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的兩種方法: (1)代數(shù)法: (2)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系:dr相離.,知識清單,3.圓的切線方程問題 (1)O的方程為x2+y2=r2(r0),點M(x0,y0),若點M在O上,則過M的切線方程為x0 x+y0y=r2; 若點M在O外,則直線x0 x+y0y=r2與O的位置關(guān)系是相交; 若點M在O內(nèi),則直線x0 x+y0y=r2與O的位置關(guān)系是相離. (2)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外一點M(x0,y0)引切線,切

2、點為T,切線長公式為|MT|=.,拓展延伸 常見的圓系方程 具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系,它們的方程叫圓系方程. (1)同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是參數(shù). (2)半徑相等的圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中r是定值,a,b是參數(shù). (3)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R). (4)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(

3、x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(其中不含圓C2,因此注意檢驗C2是否滿足題意,以防丟解).,直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法 (1)幾何法:利用d與r的關(guān)系. (2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用判斷. (3)點與圓的位置關(guān)系法:若直線過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交. 上述方法中最常用的是幾何法,點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.,方法技巧,2.判斷圓與圓的位置關(guān)系時,一般用幾何法,其步驟是 (1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長; (2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,求r1+r2,|r1-r2|; (3)比較d,r1+r2,|

4、r1-r2|的大小,寫出結(jié)論. 例1(2017蘇北四市高三上學(xué)期期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2). (1)若直線l平行于AB,與圓C相交于M,N兩點,且MN=AB,求直線l的方程; (2)在圓C上是否存在點P,使得PA2+PB2=12?若存在,求滿足條件的點P的個數(shù);若不存在,說明理由.,解析(1)由已知得,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4, 所以圓心C(2,0),半徑為2. 因為lAB,A(-1,0),B(1,2), 所以直線l的斜率為=1, 故可設(shè)直線l的方程為x-y+m=0, 則圓心C到直線l的距離d=. 因為MN

5、=AB=2, 而CM2=d2+, 所以4=+2,解得m=0或m=-4, 故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0. (2)存在.假設(shè)圓C上存在點P,使得PA2+PB2=12,設(shè)P(x,y),則(x-2)2+y2=4, PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12, 即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4, 因為2-22+2, 所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交, 所以滿足條件的點P的個數(shù)為2.,直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用 此類問題主要有求最值和求參數(shù)的取值范圍兩種類型. 處理此類問題時,一般是將直線與圓、圓與圓的方程關(guān)

6、系轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、圓心距與半徑的關(guān)系,再利用函數(shù)或不等式求最值或范圍. 例2(2017江蘇七校聯(lián)考)已知直線l:x-y=1與圓M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C兩點,點B,D分別在圓M上運動,且位于直線AC兩側(cè),則四邊形ABCD面積的最大值為.,解析易知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+1)2=3, 則圓心M到直線l:x-y=1的距離為=. 易知,當(dāng)BD過圓心M且垂直于AC時,四邊形ABCD的面積取最大值,為2=.,答案,解決與圓有關(guān)的切線和弦長問題的方法 1.求過圓上的一點(x0,y0)的切線方程 先求切點與圓心連線所在直線的斜率,當(dāng)斜率不存在時,切線方程為y=y0;當(dāng)斜

7、率存在時,設(shè)為k,k0時由垂直關(guān)系知切線斜率為-,由點斜式 方程可求切線方程,k=0時切線方程為x=x0. 2.求過圓外一點(x0,y0)的圓的切線方程 (1)幾何法:當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)為k,切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圓心到直線的距離等于半徑,即可得出切線方程.若切線斜率不存在,則由圖形寫出切線方程x=x0. (2)代數(shù)法:當(dāng)斜率存在時,設(shè)為k,則切線方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圓的方程,得到一個關(guān)于x的一元二次方程,由=0,求得k,切線方,程即可求出.若切線斜率不存在,則由圖形寫出切線方程x=x0. 3.圓的弦長的

8、求法 (1)幾何法:設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為L,則=r2-d2. (2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+b與圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,列方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程,從而 求得x1+x2,x1x2,則弦長|AB|=. 例3(1)過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長為. (2)(2016江蘇淮陰中學(xué)月考)已知圓C的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,過A(1,2)有兩條圓的切線,則a的取值范圍是.,解析(1)設(shè)P(3,1),圓心C(2,2),則|PC|=.由題意知最短的弦過P(3,1)且 與PC垂直,所以最短弦長為2=2.故答案為2. (2)將圓C的方程