1、1.2第一課時解三角形的實際應用舉例預習課本P1116，思考并完成以下問題 (1)方向角和方位角各是什么樣的角？(2)怎樣測量物體的高度？(3)怎樣測量物體所在的角度？ 實際測量中的有關名稱、術語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內，視線在水平線上方時l與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內，視線在水平線l下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90)方位角從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉過的水平角1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊()(2)兩個不可到達的點之間的距離無法

2、求得()(3)方位角和方向角是一樣的()解析：(1)錯誤，要解三角形，至少知道這個三角形的一條邊長(2)錯誤，兩個不可到達的點之間的距離我們可以借助第三個點和第四個點量出角度、距離求得(3)錯誤方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，而方向角是以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉到目標的方向線所成的角(一般指銳角)答案：(1)(2)(3)2若點A在點C的北偏東30，點B在點C的南偏東60，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15B北偏西15C北偏東10 D北偏西10解析：選B如圖所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.點A在點B的北偏西1

3、5.故選B.3從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為()A BC90 D180解析：選B根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖知，故應選B.4.已知船A在燈塔C北偏東85且到C的距離為1 km，船B在燈塔C西偏北25且到C的距離為 km，則A，B兩船的距離為_km.解析：由題意得ACB(9025)85150，又AC1，BC，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1507，AB.答案：測量高度問題典例如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩點C與D.現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD()由

4、正弦定理得.BC.在RtABC中，ABBCtanACB.測量高度問題的解題策略(1)“空間”向“平面”的轉化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉化為平面問題(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路活學活用1一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的A處測得水柱頂端的仰角為45，沿A向北偏東30方向前進100 m到達B處，在B處測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()A50 mB100 mC120 m D150 m解析：選A如圖，設水柱高度是h m，水柱底端為C

5、，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角CAB45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000 m到達S點，又測得山頂仰角DSB75，則山高BC為_m.解析：因為SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，所以ASB180SABSBA135.在ABS中，AB1 000，所以BCABsin 451 0001 000(m)答案：1 000測量角度問題典例如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(

6、3) n mile的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45方向、B點北偏西60方向的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20 n mile的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 n mile/h，則該救援船到達D點需要多長時間？解由題意，知AB5(3) n mile，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，即BD10 n mile.又DBCDBAABC60，BC20 n mile，在DBC中，由余弦定理，得CD 30 n mile，則救援船到達D點需要的時間為1 h.測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題，如

7、確定目標的方位，觀察某一建筑物的視角等解決它們的關鍵是根據(jù)題意和圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實際問題的解活學活用在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此時，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：設緝私船用t h在D處追上走私船，畫出示意圖，則有

8、CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC，ABC45，BC與正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.測量距離問題題點一：兩點間不可通又不可視1.如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，試計算A

9、B的長解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 (m)即A，B兩點間的距離為200 m.題點二：兩點間可視但有一點不可到達2.如圖所示，A，B兩點在一條河的兩岸，測量者在A的同側，且B點不可到達，要測出A，B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點C，可以測出A，C的距離m，再借助儀器，測出ACB，CAB，在ABC中，運用正弦定理就可以求出AB.若測出AC60 m，BAC75，BCA45，則A，B兩點間的距離為_ m.解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B兩點間

10、的距離為20 m.答案：20題點三：兩點都不可到達3.如圖，A，B兩點在河的同側，且A，B兩點均不可到達，測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CDa，同時在C，D兩點分別測得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB.若測得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B兩點間的距離解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB

11、(km)A，B兩點間的距離為 km.當A，B兩點之間的距離不能直接測量時，求AB的距離分為以下三類：(1)兩點間不可通又不可視(如圖)：可取某點C，使得A，B與C之間的距離可直接測量，測出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：AB.(2)兩點間可視但不可到達(如圖)：可選取與B同側的點C，測出BCa以及ABC和ACB，先使用內角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點都不可到達(如圖)：在河邊測量對岸兩個建筑物之間的距離，可先在一側選取兩點C，D，測出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB.層級一學業(yè)

12、水平達標1.學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4 m，A30，則其跨度AB的長為()A12 mB8 mC3 m D4 m解析：選D由題意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4.2一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h解析：選A如圖所示，在PMN中，MN34，v n mile/h.3.如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DCa，從C，D兩點

13、測得A點仰角分別是，()，則A點離地面的高度AB等于()A.B.C.D.解析：選A設ABx，則在RtABC中，CB，所以BDa，又因為在RtABD中，BD，所以BDa，從中求得x，故選A.4設甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A20 m， m B10 m,20 mC10()m,20 m D. m， m解析：選A由題意，知h甲20tan 6020(m)，h乙20tan 6020tan 30(m)5甲船在島B的正南A處，AB10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同時乙船自島B出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東6

14、0的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們的航行時間是()A. min B. hC21.5 min D2.15 h解析：選A由題意可作出如圖所示的示意圖，設兩船航行t小時后，甲船位于C點，乙船位于D點，如圖則BC104t，BD6t，CBD120，此時兩船間的距離最近，根據(jù)余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos CBD(104t)236t26t(104t)28t220t100，所以當t時，CD2取得最小值，即兩船間的距離最近，所以它們的航行時間是 min，故選A.6某人從A處出發(fā)，沿北偏東60行走3 km到B處，再沿正東方向行走2 km到C處，則A，C兩地的距離為_km.解析：如圖所示，由

15、題意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.則A，C兩地的距離為7 km.答案：77坡度為45的斜坡長為100 m，現(xiàn)在要把坡度改為30，則坡底要伸長_m.解析：如圖，BD100，BDA45，BCA30，設CDx，所以(xDA)tan 30DAtan 45，又DABDcos 4510050，所以xDA5050()m.答案：50()8一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉135爬行回它的出發(fā)點，那么x_cm.解析：如圖所示，設蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在

16、AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，則AOB60，由正弦定理知：x(cm)答案：9.如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距10海里，求乙船航行的速度解：如圖，連接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2為正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，(B1B2)240020022010200，B1B210

17、，乙船每小時航行30海里10如圖所示，某旅游景點有一座風景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 千米，AC3 千米假設小王和小李徒步攀登的速度為每小時1.2 千米，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內徒步登上山峰(即從B點出發(fā)到達C點)解：由ADC150知ADB30，由正弦定理得，所以AD. 在ADC中，由余弦定理得：AC2AD2DC22ADDCcos 150，即32()2DC22DCcos 150，即DC23DC60，解得DC1.372 (千米)，BC2.372 (千米)，由于2.3

18、722.4，所以兩位登山愛好者能夠在2個小時內徒步登上山峰. 層級二應試能力達標1.如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是()A240(1)mB180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：選C由題意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC1804530105，由正弦定理，得BC120(1)(m)2.如圖所示為起重機裝置示意圖支桿BC10 m，吊桿AC15 m，吊索AB5 m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A30 m B. mC15 m D45 m解析：選

19、B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.3.如圖所示，要測量底部不能到達的某電視塔AB的高度，在塔的同一側選擇C，D兩個觀測點，且在C，D兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得BCD120，C，D兩地相距500 m，則電視塔AB的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m解析：選D設ABx，在RtABC中，ACB45，BCABx.在RtABD中，ADB30，BDx.在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理

20、得(x)2x250022500xcos 120，解得x500 m.4.如圖所示，位于東海某島的雷達觀測站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北(045)的C處，且cos .已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A4 海里/小時 B3 海里/小時C2 海里/小時 D4 海里/小時解析：選A因為cos ，0AC，C60或C120.當C60時，A90，SABCABAC2；當C120時，A30，SABCABACsin A.故ABC的面積為2或.(1)求三角形面積時，應先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計

21、算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計算，還能使計算結果更加接近真實值(2)事實上，在眾多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應的邊或角，應熟練應用此公式活學活用ABC中，若a，b，c的對角分別為A，B，C，且2ABC，a，ABC的面積SABC，求邊b的長和B的大小解：ABC180，又2ABC，A60.SABCbcsin A，sin A，bc2.又由余弦定理得3b2c22bccos Ab2c222，即b2c25.解可得b1或2.由正弦定理知，sin B.

22、當b1時，sin B，B30；當b2時，sin B1，B90.三角恒等式證明問題典例在ABC中，求證：.證明：法一化角為邊左邊右邊，其中R為ABC外接圓的半徑.法二化邊為角左邊右邊(cos C0)，.1三角恒等式證明的三個基本原則(1)統(tǒng)一邊角關系(2)由繁推簡(3)目標明確，等價轉化2三角恒等式證明的基本方法(1)把角的關系通過正、余弦定理轉化為邊的關系，然后進行化簡、變形(2)把邊的關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進行恒等變形活學活用在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明：法一：由正弦定理，得.法二：由余弦定理，得.與三角形有關的綜合問題題

23、點一：與三角形面積有關的綜合問題1在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知acos Bc.(1)求角A的大??；(2)若bc，a3，求BC邊上的高解：(1)由acos Bc及正弦定理可得，sin Acos Bsin C， 因為sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以cos Asin B0.因為sin B0，所以cos A，因為0A，所以A.(2)由余弦定理可知，a2b2c22bccos b2c2bc，所以(3)2b2c2bc(bc)23bc63bc，解得bc22.設BC邊上的高為h，由SABCbcsin Aah，得(22)sin (3)h, 解得h1.

24、題點二：三角形中的范圍問題2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2ca)cos Bbcos A0.(1)求角B的大?。?2)求sin Asin的取值范圍解：(1)由正弦定理得：(2sin Csin A)cos Bsin Bcos A0，即sin C(2cos B1)0，sin C0，cos B，B(0，)，B.(2)由(1)知B，CA，sin Asinsin Acos A2sin.A，A，2sin(1,2，sin Asin的取值范圍是(1,2題點三：三角形中的最值問題3設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知.(1)求角A的大?。?2)當a6時，求ABC面積的

25、最大值，并指出面積最大時ABC的形狀解：(1)由，得.又sin(AB)sin(C)sin C，sin(AB)sin Bsin C，sin(AB)sin Bsin(AB)sin Acos Bcos AsinBsin Bsin Acos Bcos Asin B，sin B2 cos Asin B0，又sin B0，cos A.A(0，)，A.(2)Sbcsin Abc2Rsin B2Rsin CR2sin Bsin CR2sin BsinR2sinR2，B.由正弦定理2R4，R2.當2B，即BC時，Smax3， ABC面積的最大值為3，此時ABC為等腰鈍角三角形題點四：多邊形面積問題4已知圓內接四

26、邊形ABCD的邊長AB2，BC6，CDDA4，求四邊形ABCD的面積S.解：如圖，連接BD，則SSABDSCBDABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C，Ssin A(ABADBCCD)16sin A.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A2016cos A，在CDB中，由余弦定理得BD2CD2BC22CDBCcos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A，A120，S16sin A8.(1)解決此類問題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，將圖形中的已知條件與未知量之間的關系轉化為三角形中的邊與

27、角的關系，求解三角形使問題獲解(2)三角形問題中，常涉及求邊、求角及求面積等幾個問題，用正、余弦定理作為解題的工具進行轉化求解在涉及變量取值范圍或最值問題時，常常用到函數(shù)等數(shù)學相關知識(3)解三角形時，角的取值范圍至關重要角的取值范圍往往隱含在題目中，不深入挖掘很容易出錯 層級一學業(yè)水平達標1在ABC中，A60，AB1，AC2，則SABC的值為()A. B. C. D2解析：選BSABCABACsin A.2如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，則它的頂角的余弦值為()A B. C D.解析：選B設等腰三角形的底邊長為a，頂角為，則腰長為2a，由余弦定理得，cos .3在ABC中，已知面積S(a

28、2b2c2)，則角C的大小為()A135 B45 C60 D120解析：選BS(a2b2c2)absin C，由余弦定理得：sin Ccos C，tan C1.又0C180，C45.4在ABC中，若cos B，2，且SABC，則b()A4 B3 C2 D1解析：選C依題意得，c2a，b2a2c22accos Ba2(2a)22a2a4a2，所以bc2a.因為B(0，)，所以sin B，又SABCacsin Bb，所以b2，選C.5三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60，另兩邊之比為85，則這個三角形的面積為()A40 B20 C40 D20解析：選A設另兩邊長為8x,5x，則cos 60，

29、解得x2或x2(舍去)故兩邊長分別為16與10，所以三角形的面積是1610sin 6040.6在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為_解析：cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案：47.如圖，在ABC中，已知B45，D是BC邊上一點，AD5，AC7，DC3，則AB_.解析：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，ABAC7.答案：8ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為_解析：不妨設b2，c3，cos A，則a2b2c22bccos A9，a3.又sin A ，外接圓半徑為R.答案：9在ABC中，求證：b2

30、cos 2Aa2cos 2Bb2a2.證明：左邊b2(12sin2A)a2(12sin2B)b2a22(b2sin2Aa2sin2B)，由正弦定理，得bsin Aasin B，b2sin2Aa2sin2B0，左邊b2a2右邊，b2cos 2Aa2cos 2Bb2a2.10.如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的長解：在ABC中，AB5，AC9，BCA30，由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理，得，解得BD，故BD的長為.層級二應試能力達標

31、1ABC的周長為20，面積為10，A60，則BC的邊長等于()A5B6C7D8解析：選C如圖，由題意得則bc40，a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340，a7.2在ABC中，已知b2bc2c20，且a，cos A，則ABC的面積等于()A. B. C2 D3解析：選A因為b2bc2c20，所以(b2c)(bc)0，所以b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，因為cos A，所以sin A，所以SABCbcsin A42.3在ABC中，若b2，A120，其面積S，則ABC外接圓的半徑為()A. B C2 D4解析：選BSbcsin A，2csin 120，c2，a 2

32、，設ABC外接圓的半徑為R，2R4，R2.4在ABC中，sin A，a10，則邊長c的取值范圍是()A.B(10，)C(0,10) D.解析：選D，csin C0c.5已知ABC的面積S，A，則_.解析：SABC|sin A，即|，所以|4，于是|cos A42.答案：26在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若6cos C，則_.解析：6cos C，6，2a22b22c2c2，又4.答案：47在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知sin Asin Bsin Ctan C.(1)求的值；(2)若ac，且ABC的面積為4，求c的值解：(1)由已知sin As

33、in Bsin Ctan C得cos C.又cos C，故a2b23c2，故的值為3.(2)由ac, a2b23c2得bc.由余弦定理得cos C，故sin C.所以cc4，解得c4. 8在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a2,2cos2 sin A.(1)若滿足條件的ABC有且只有一個，求b的取值范圍；(2)當ABC的周長取最大值時，求b的值. 解：2cos2sin A1cos(BC)sin Asin Acos A.又0AC，則C為銳角，故C.3在ABC中，a15，b20，A30，則cos B()A B.C D.解析：選A因為，所以，解得sin B.因為ba，所以BA，故B

34、有兩解，所以cos B.4在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，則sin Asin Bsin C等于()A654 B753C357 D456解析：選B(bc)(ca)(ab)456，.令k(k0)，則解得sin Asin Bsin Cabc753.5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2，則ABC的形狀為()A等邊三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：選B由已知可得，即cos A，bccos A.法一：由余弦定理得cos A，則bc，所以c2a2b2，由此知ABC為直角三角形法二：由正弦定理，得sin Bsin Ccos A在ABC中，sin B

35、sin(AC)，從而有sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A，即sin Acos C0.在ABC中，sin A0，所以cos C0.由此得C，故ABC為直角三角形6已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為()A2 B8C. D.解析：選C2R8，sin C，SABCabsin C.7在ABC中，三邊長分別為a2，a，a2，最大角的正弦值為，則這個三角形的面積為()A. B.C. D.解析：選B三邊不等，最大角大于60.設最大角為，故所對的邊長為a2，sin ，120.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故

36、a5，故三邊長為3,5,7，SABC35sin 120.8.如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為()A. B.C. D.解析：選D設BDa，則BC2a，ABADa.在ABD中，由余弦定理，得cos A.又A為ABC的內角，sin A.在ABC中，由正弦定理得，.sin Csin A.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分把答案填在題中橫線上)9在ABC中，已知，則這個三角形的形狀是_解析：由正弦定理得，tan Atan Btan C，ABC，三角形ABC為等邊三角形答案：等邊三角形10在ABC中，B30，C12

37、0，則A_，abc_.解析：A180BC30，由正弦定理得abcsin Asin Bsin C，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：301111已知ABC中，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A，b2acos B，c1，則B_，ABC的面積等于_解析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，則ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.答案：12在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2a，BA60，則A_，三角形的形狀為_解析：b2a，由正弦定理，得sin B2sin A，

38、又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos A2sin A，tan A.又0A180，A30，B90.答案：30直角三角形13已知三角形ABC中，BC邊上的高與BC邊長相等，則的最大值是_解析：由題意得， bcsin Aa2bcsin Aa2，因此2cos A2sin A2sin2，從而所求最大值是2.答案：214在ABC中，已知cos A，cos B，b3，則sin C_，c_.解析：在ABC中，cos A0，sin A.cos B0，sin B.sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理知，c.答案：15太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15的方向上，汽車行駛1 km后，又測得小島在南偏西75的方向上，則小島到公路的距離是_km.解析：如圖，CAB15，C