1、專題13 導數(shù)的概念及其運算1.了解導數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y，yx2，yx3，y的導數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如yf(axb)的復合函數(shù))的導數(shù) 1函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)(1)定義函數(shù)yf(x)在點x0的瞬時變化率 l，通常稱為f(x)在點x0處的導數(shù)，并記作f(x0)，即 f(x0)(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)的切線的斜率等于f(x0)2函數(shù)f(x)的導函

2、數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x導數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應一個確定的導數(shù)f(x)于是，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導函數(shù)，記為f(x)(或yx、y)3基本初等函數(shù)的導數(shù)公式y(tǒng)f(x)yf(x)yCyxnyx (x0，0)yax (a0，a1)yexylogax(a0，a1，x0)yln xysin xycos xy0ynxn1，n為自然數(shù)yx1，為有理數(shù)yaxln ayexyyycos xysin x4導數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(

3、x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)5復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyuux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積高頻考點一導數(shù)的運算例1、分別求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln.【方法技巧】求導一般對函數(shù)式先化簡再求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯，常用求導技巧有：(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；(2)分式形式：觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導；(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，

4、再求導；(4)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導；(6)復合函數(shù)：由外向內(nèi)，層層求導.【變式探究】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5).則y(ln u)u2，即y.高頻考點二導數(shù)的幾何意義例2、(1)(2016全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1，2)處的切線方程是_.(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy1

5、0【解析】(1)設x0，則x0).【答案】(1)B(2)2，)【舉一反三】(2015全國卷)已知曲線yxln x在點(1，1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.【答案】8高頻考點三、導數(shù)與函數(shù)圖象的關系例3、如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，過點E作OB的垂線l.記AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象為下圖中的()【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為0，)，當x0,2時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量S大于0且越來越大，即斜率f(x)在0,2內(nèi)大于0且越來越大，因此，函數(shù)Sf(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當x(2,3)時，在單位長度

6、變化量x內(nèi)面積變化量S大于0且越來越小，即斜率f(x)在(2,3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)Sf(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的；當x3，)時，在單位長度變化量x內(nèi)面積變化量S為0，即斜率f(x)在3，)內(nèi)為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線【感悟提升】導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設切點為(x1，y1)，由求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反

7、映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢【變式探究】(1)已知函數(shù)f(x)3xcos2xsin2x，af()，f(x)是f(x)的導函數(shù)，則過曲線yx3上一點P(a，b)的切線方程為()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10(2)若直線y2xm是曲線yxlnx的切線，則實數(shù)m的值為_【答案】(1)C(2)eP(a，b)在曲線yx3上，且a1，b1.1x3x(1x0)，2x3x10，2x2xx10，(x01)2(2x01)0，切點為，此時的切線方程為y，綜上，滿足題意的切線方程為3xy20或3x4y10，故選C.(2)設

8、切點為(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxxlnx1，得切線的斜率klnx01，故切線方程為yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)xx0，與y2xm比較得解得x0e，故me.【2016高考山東理數(shù)】若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導函數(shù) 滿足 ，則下列結論中一定錯誤的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知條件，構造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，所以結論中一定錯誤的是C，選

9、項D無法判斷；構造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，選項A,B無法判斷，故選C【2014安徽卷】設函數(shù)f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當x0，1時 ，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值在內(nèi)單調(diào)遞增(2)因為a0，所以x10，當a4時，x21. 由(1)知，f(x)在0，1上單調(diào)遞增，所以f(x)在x0和x1處分別取得最小值和最大值當0a4時，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上單調(diào)遞增，在x2，1上單調(diào)遞減，所以f(x)在xx2處取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以當0a1時，f(x)在x1處取得最小值；當a1時，f

10、(x)在x0和x1處同時取得最小值；當1ac.當n1時，由題設知a1c成立假設nk(k1，kN*)時，不等式akc成立由an1ana易知an0，nN*.當nk1時，a1.由akc0得11p .因此ac，即ak1c，所以當nk1時，不等式anc也成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anc均成立再由1可得1，即an1an1c，nN*.方法二：設f(x)xx1p，xc，則xpc，所以f(x)(1p)xp0.所以當nk1時，原不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式anan1c均成立【2014福建卷】已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點A，曲線yf(x)在點A處的切線斜率為1.(

11、1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當x0時，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x(x0，)時，恒有x2cex.【解析】解：方法一：(1)由f(x)exax，得f (x)exa.又f (0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f (x)ex2.令f (x)0，得xln 2.當xln 2時，f (x)ln 2時，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當xln 2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值(2)證明：令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，

12、故g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)10，所以當x0時，g(x)g(0)0，即x20時，x20時，x2cex.取x00，當x(x0，)時，恒有x2cex.若0c1，要使不等式x2kx2成立綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當x(x0，)時，恒有x20時，exx2，所以exee，當xx0時，exx2，因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當x(x0，)時，恒有x2cex.方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先證明當x(0，)時，恒有x30時，x2ex，從而h(x)0，h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)10，即x3x0時，有x2x3ex.因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在

13、x0，當x(x0，)時，恒有x21時，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時，存在x0，使(x)nln(n1)證明如下：即結論成立由可知，結論對nN成立方法二：上述不等式等價于，x0.令x，nN，則ln.故有l(wèi)n 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，結論得證方法三：如圖，dx是由曲線y，xn及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而是圖中所示各矩形的面積和，dxdxnln(n1)，結論得證【2014四川卷】設等差數(shù)列an的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖像上(nN*)(1)若a12，點(a8，4b7)在函數(shù)f(x

14、)的圖像上，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖像在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項和Tn.由題意有a22，解得a22.所以da2a11.所以，Tn. 1.設曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，則a()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】yeaxln(x1)，yaeax，當x0時，ya1.曲線yeaxln(x1)在x0處的切線方程為2xy10，a12，即a3.故選D. 【答案】D2.若f(x)2xf(1)x2，則f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4【解析】f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(

15、1)4.【答案】D3.曲線f(x)x3x3在點P處的切線平行于直線y2x1，則P點的坐標為()A.(1，3) B.(1，3)C.(1，3)和(1，3) D.(1，3)【解析】f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，經(jīng)檢驗，點(1，3)，(1，3)均不在直線y2x1上，故選C.【答案】C4.已知曲線yln x的切線過原點，則此切線的斜率為()A.e B.eC. D.【答案】C5.已知yf(x)是可導函數(shù)，如圖，直線ykx2是曲線yf(x)在x3處的切線，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的導函數(shù)，則g(3)()A.1 B.0 C.2 D.4【

16、解析】由題圖可知曲線yf(x)在x3處切線的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由題圖可知f(3)1，所以g(3)130.【答案】B6.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 017(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x【解析】f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4

17、(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4為周期的函數(shù)，f2 017(x)f1(x)sin xcos x，故選D.【答案】D7.已知函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為()A.4 B. C.2 D.【解析】f(x)g(x)2x.yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，g(1)2，f(1)g(1)21224，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為4.【答案】A8.已知點M是曲線yx32x23x1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角的取值范圍.9.已知曲線yx3.(1)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2，4)的切線方程.解(1)P(2，4)在曲線yx3上，且yx2，在點P(2，4)處的切線的斜率為y|x24.曲線在點P(2，4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設曲線yx3與過點P(2，4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點P(2，