1、突破點2解三角形 (對應學生用書第11頁)核心知識提煉提煉1常見解三角形的題型及解法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解.提煉2三角形形狀的判斷(1)從邊出發(fā)，全部轉化為邊之間的關系進行判斷(2)從角出發(fā)，全部轉化為角之間的關系，然后進行恒等變形，再判斷注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個數(shù)時要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.提煉3三角形的常用面積公式設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c

2、，其面積為S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r為三角形ABC內切圓的半徑)高考真題回訪回訪1正、余弦定理的應用1(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.點D為AB延長線上一點，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則sinABC，cosABC.所以SBDCBCBDsinDBC22.因為cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.2(2013浙江高考

3、)在ABC中，C90，M是BC的中點若sinBAM，則sinBAC_.因為sinBAM，所以cosBAM.如圖，在ABM中，利用正弦定理，得，所以.在RtACM中，有sinCAMsin(BACBAM)由題意知BMCM，所以sin(BACBAM)化簡，得2sinBACcosBACcos2BAC1.所以1，解得tanBAC.再結合sin2BACcos2BAC1，BAC為銳角可解得sinBAC.3(2016浙江高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小 【導學號：】解(1)證明：由正弦定理得sin Bsi

4、n C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).3分又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.6分(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B.因為sin B0，所以sin Ccos B8分又B，C(0，)，所以CB.11分當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.14分回訪2三角形的面積問題4(2015浙江高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知tan2.(1)求的

5、值；(2)若B，a3，求ABC的面積解(1)由tan2，得tan A，2分所以.5分(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.8分由a3，B及正弦定理，得b3.10分由sin Csin(AB)sin，得sin C.12分設ABC的面積為S，則Sabsin C9.14分5(2015浙江高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.2分又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得ta

6、n C2.5分(2)由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.8分因為sin Bsin(AC)sin，所以sin B.10分由正弦定理得c，12分又因為A，bcsin A3，所以bc6，故b3.14分6(2014浙江高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面積. 【導學號：】解(1)由題意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，2分sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以

7、C.5分(2)由c，sin A，得a.8分由ac得，A0)則aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C6分(2)由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，12分故tan B4.14分方法指津關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有

8、關三角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”，這是使問題獲得解決的突破口變式訓練1(1)(2017溫州市普通高中高考模擬考試)在ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，記S為ABC的面積若A60，b1，S，則c_，cos B_. 【導學號：】3因為Sbcsin A1c，所以c3；由余弦定理，得a2b2c22bccos A1967，所以cos B.(2)在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且acos Bbcos(BC)0.證明：ABC為等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解證明：aco

9、s Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ.4分A，B是ABC的兩內角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形.6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A.10分AB，cos Bcos A，12分cos Bcos C.14分熱點題型2三角形面積的求解問題題型分析：三角形面積的計算及與三角形面積有關的最值問題是解三角形的重要命題點之一，本質上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.【例2】設f(

10、x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值【解題指導】(1)(2)解(1)由題意知f(x)sin 2x.2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.4分所以f(x)的單調遞增區(qū)間是k，k(kZ)；單調遞減區(qū)間是(kZ).6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由題意知A為銳角，所以cos A.8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，12分即bc2，當且僅當bc時等號成立因此bcsin A，所以ABC面積的最大

11、值為.14分方法指津1在研究三角函數(shù)的圖象與性質時常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，進而利用函數(shù)ysin x(或ycos x，ytan x)的圖象與性質解決問題2在三角形中，正、余弦定理可以實現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項，二者的關系a2c2(ac)22ac經常用到，有時還可利用基本不等式求最值變式訓練2(名師押題)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a4cos C，b1.(1)若sin C，求a，c；(2)若ABC是直角三角形，求ABC的面積解(1)sin C，cos2C1sin2C，cos C.1分4cos Ca，a，解得a或a.3分又