1、2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征1.會求樣本的平均數、標準差、方差.(重點)2.理解用樣本的數字特征估計總體的數字特征的方法.(重點)3.會應用相關知識解決實際統(tǒng)計問題.(難點)基礎初探教材整理1樣本的平均數閱讀教材P65P66，完成下列問題.1.定義：樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數.2.特點：平均數描述了數據的平均水平，定量地反映了數據的集中趨勢所處的水平.用樣本的平均數估計總體的平均數時，樣本平均數只是總體平均數的近似.3.作用：n個樣本數據x1，x2，xn的平均數，則有nx1x2xn，也就是把每個xi(i1,2，n)都用代替后，數據總和保持不變.所以平均數對數據有“取齊

2、”的作用，代表了一組數據的數值平均水平.一組觀察值4,3,5,6出現的次數分別為3,2,4,2，則樣本平均值約為()A.4.55B.4.5C.12.5 D.1.64【解析】4.55.【答案】A教材整理2樣本的方差和標準差閱讀教材P66“最后一段”至P68，完成下列問題.1.數據的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述.樣本方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小.一般地，設樣本的元素為x1，x2，xn，樣本的平均數為，定義s2.s2表示樣本方差.2.為了得到以樣本數據的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差的算術平方根s.s表示樣本標準差.某學員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數如下：7,8,

3、7,9,5,4,9,10,7,4.則：(1)平均命中環(huán)數為_；(2)命中環(huán)數的標準差為_.【解析】(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.【答案】(1)7(2)2小組合作型平均數的求法甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數用莖葉圖表示如圖2220所示，中間一列的數字表示零件個數的十位數，兩邊的數字表示零件個數的個位數，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數分別為_和_.甲乙98117932100212445113002圖2220【精彩點撥】由莖葉圖分別提取出甲、乙10天中每天加工零件的個數，然后求平均數

4、.【嘗試解答】甲每天加工零件的個數分別為：18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35，所求平均數為甲(18192020212223313135)24.乙每天加工零件的個數分別為：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均數為：乙(11171921222424303032)23.【答案】2423莖葉圖與平均數相結合的問題，關鍵是識別莖葉圖的意義.在一般情況下，要計算一組數據的平均數可使用平均數計算公式；當數據較大，且大部分數據在某一常數a左右波動時，可建立一組新的數據(各個數據減去a)，再利用平均數簡化公式計算，應用此法可減少運算量.再練一題1.某中學

5、號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動(以下簡稱活動)，該校合唱團共有100名學生，他們參加活動的次數統(tǒng)計如圖2221所示.求合唱團學生參加活動的人均次數.圖2221【解】由圖可知，該合唱團學生參加的人均次數為2.3.方差和標準差甲、乙兩機床同時加工直徑為100 cm的零件，為檢驗質量，從中抽取6件測量數據為： 甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)根據計算說明哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定.【精彩點撥】【嘗試解答】(1)甲9910098100100103100，乙9910010299100100100，s(9

6、9100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)由(1)知甲乙，比較它們的方差，ss，故乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定.1.在實際問題中，僅靠平均數不能完全反映問題，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標準差)，方差大說明取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者取值集中、穩(wěn)定.2.關于統(tǒng)計的有關性質及規(guī)律：(1)若x1，x2，xn的平均數為，那么mx1a，mx2a，mxna的平均數是ma；(2)數據x1，x2，xn與數據x1a

7、，x2a，xna的方差相等；(3)若x1，x2，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，axn的方差為a2s2.再練一題2.某校高二年級在一次數學選拔賽中，由于甲、乙兩人的競賽成績相同，從而決定根據平時在相同條件下進行的六次測試確定出最佳人選，這六次測試的成績數據如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求兩人比賽成績的平均數以及方差，并且分析成績的穩(wěn)定性，從中選出一位參加數學競賽.【解】設甲、乙兩人成績的平均數分別為甲，乙，則甲130(380751)133，乙130(318426)133，s(6)252(3)24222(2)2，s02(4)25212(5

8、)232.因此，甲與乙的平均數相同，由于乙的方差較小，所以乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，應該選乙參加競賽比較合適.頻率分布直方圖與數字特征的綜合應用已知一組數據：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數累計頻數頻率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合計(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數據的眾數、中位數和平均數. 【精彩點撥】將數據分組后依次填寫分布表.然后畫出直方圖，

9、最后根據數字特征在直方圖中的求法求解.【嘗試解答】(1)分組頻數累計頻數頻率120.5,122.5)20.1122.5,124.5)30.15124.5,126.5)80.4126.5,128.5)40.2128.5,130.530.15合計201(2)(3)在124.5,126.5)中的數據最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數的近似值，得眾數為125.5，事實上，眾數的精確值為125.圖中虛線對應的數據是124.52125.75，事實上中位數為125.5.使用“組中值”求平均數：121.50.1123.50.15125.50.4127.50.2129.50.15125.8，事實上平均數的精確值為

10、125.75.1.利用頻率分布直方圖求數字特征：(1)眾數是最高的矩形的底邊的中點；(2)中位數左右兩側直方圖的面積相等；(3)平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.2.利用直方圖求眾數、中位數、平均數均為近似值，往往與實際數據得出的不一致，但它們能粗略估計其眾數、中位數和平均數.再練一題3.某中學舉行電腦知識競賽，現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組，繪制成如圖2222所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：圖2222(1)高一參賽學生的成績的眾數、中位數；(2)高一參賽學生的平

11、均成績.【解】(1)由題圖可知眾數為65，又第一個小矩形的面積為0.3，設中位數為60x，則0.3x0.040.5，得x5，中位數為60565.(2)依題意，平均成績?yōu)椋?50.3650.4750.15850.1950.0567，平均成績約為67.探究共研型平均數、中位數、眾數的特征探究1一組數據的平均數、中位數、眾數唯一嗎？【提示】一組數據的平均數、中位數都是唯一的，眾數不唯一，可以有一個，也可以有多個，還可以沒有.如果有兩個數據出現的次數相同，并且比其他數據出現的次數都多，那么這兩個數據都是這組數據的眾數.探究2如何從樣本的數字特征中了解數據中是否存在極端數據？【提示】中位數不受幾個極端數

12、據的影響，而平均數受每個數據的影響，“越離群”的數據，對平均數的影響越大，因此如果樣本平均數大于樣本中位數，說明數據中存在許多較大的極端值；反之，說明數據中存在許多較小的極端值.在實際應用中，如果同時知道樣本中位數和樣本平均數，可以了解樣本數據中極端數據的信息.探究3眾數、中位數有哪些應用？【提示】(1)眾數只與這組數據中的部分數據有關，當一組數據中有不少數據重復出現時，眾數往往更能反映問題.(2)中位數僅與數據的排列位置有關，中位數可能在所給數據中，也可能不在所給數據中.當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數描述其集中趨勢.方差、標準差的特征探究4從數據的哪些數字特征可以得到數據的離散

13、程度？【提示】(1)數據的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述，極差反映了一組數據變化的最大幅度，它對一組數據中的極端值極為敏感，一般情況下，極差大，則數據波動性大；極差小，則數據波動性小.極差只需考慮兩個極端值，便于計算，但沒有考慮中間的數據，可靠性較差.(2)標準差和方差則反映了一組數據圍繞平均數波動的大小，方差、標準差的運算量較大.因為方差與原始數據單位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以雖然標準差與方差在體現數據離散程度上是一樣的，但解決問題時一般用標準差.樣本的數字特征探究5樣本的數字特征具有哪些性質？【提示】(1)樣本的數字特征具有隨機性，這種隨機性是由樣本的隨機性引起的.(

14、2)樣本的數字特征具有規(guī)律性，在很廣泛的條件下，簡單隨機樣本的數字特征(如眾數、中位數、平均數和標準差等)隨樣本容量的增加而穩(wěn)定于總體相應的數字特征(總體的數字特征是一定的，不存在隨機性).某班4個小組的人數為10,10，x,8，已知該組數據的中位數與平均數相等，求這組數據的中位數.【精彩點撥】x的大小未知，可根據x的取值不同分別求中位數.【嘗試解答】該組數據的平均數為(x28)，中位數一定是其中兩個數的平均數，由于x不知是多少，所以要分幾種情況討論：(1)當x8時，原數據按從小到大的順序排列為x,8,10,10，其中位數為(108)9. 若(x28)9，則x8，此時中位數為9.(2)當8x1

15、0時，原數據按從小到大的順序排列為8，x,10,10，其中位數為(x10).若(x28)(x10)，則x8，而8不在810時，原數據按從小到大的順序排列為8,10,10，x，其中位數為(1010)10.若(x28)10，則x12，此時中位數為10.綜上所述，這組數據的中位數為9或10.當在數據中含有未知數x，求該組數據的中位數時，由于x的取值不同，所以數據由小到大(或由大到小)排列的順序不同，由于條件的變化，問題的結果有多種情況，不能用同一標準或同一種方法解決，故需分情況討論，討論時要做到全面合理，不重不漏.再練一題4.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級

16、參加該小組的人數作為樣本數據.已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為_.【解析】設5個班級中參加的人數分別為x1，x2，x3，x4，x5，則由題意知7，(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220，五個整數的平方和為20，則必為0119920，由|x7|3可得x10或x4.由|x7|1可得x8或x6，由上可知參加的人數分別為4,6,7,8,10，故最大值為10.【答案】101.樣本101,98,102,100,99的標準差為()A. B.0C.1D.2【解析】樣本平均數100，方差為s22，標準差s，故選A.【答案】A2.甲乙兩名學生六

17、次數學測驗成績(百分制)如圖2223所示.圖2223甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；甲同學的平均分比乙同學高；甲同學的平均分比乙同學低；甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.上面說法正確的是()A. B. C. D.【解析】甲的中位數81，乙的中位數87.5，故錯，排除B、D；甲的平均分(767280828690)81，乙的平均分(697887889296)85，故錯，對，排除C，故選A.【答案】A3.甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數及其方差s2如下表所示，則選送決賽的最佳人選應是()甲乙丙丁7887s26.36.378.7A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】乙丙甲丁

18、，且ssss，應選擇乙進入決賽.【答案】B4.為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量得到頻率分布直方圖如圖2224，則圖2224(1)這20名工人中一天生產該產品數量在55,75)的人數是_.(2)這20名工人中一天生產該產品數量的中位數為_.(3)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數為_. 【解析】(1)(0.040100.02510)2013.(2)設中位數為x，則0.2(x55)0.040.5，x62.5.(3)0.2500.4600.25700.1800.059064.【答案】(1)13(2)62.5(3)645.甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖2225所示：圖2225(1)填寫下表：平均數方差中位數命中9環(huán)及以上甲71.21乙5.43(2)請從四個不同的角度對這次測試進行分析：從平均數和方差結合分析偏離程度；從平均數和中位數結合分析誰的成績好些；從平均數和命中9環(huán)以上的次數相結合看誰的成績好些；從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數及走勢分析誰更有潛力.【解】(1)乙的射靶環(huán)數依次為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙(24687789910)7；乙的射靶環(huán)