1、第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布,5.1 總體與樣本 5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 5.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布 5.4 三大抽樣分布 5.5 充分統(tǒng)計(jì)量,1,引 言,隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī) 現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。,概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常 是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都 是在這已知的基礎(chǔ)上得出來的。,但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所 服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概 型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。,2,例5.0.1 某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不 是合格品就是不合格品，但該批產(chǎn)品總有一 個(gè)不合格品率 p 。由此，若從該批產(chǎn)品中隨

2、機(jī)抽取一件，用 X 表示這一件產(chǎn)品的不合格 數(shù)，不難看出 X 服從一個(gè)二點(diǎn)分布b(1 , p)， 但分布中的參數(shù) p 是不知道的。一些問題：,p 的大小如何；,p 大概落在什么范圍內(nèi)；,能否認(rèn)為 p 滿足設(shè)定要求 （如 p 0.05）。,3,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。,服從怎樣的分布；,分布中的參數(shù)；,學(xué)科分支：抽樣調(diào)查、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、回歸分析、多元統(tǒng)計(jì)分析、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、貝葉斯方法，等等。,4,5.1 總體與個(gè)體,總體的三層含義：,研究對(duì)象的全體；,數(shù)據(jù)；,分布,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體 （population)

3、或母體，而把組成總體的每個(gè)單元 稱為個(gè)體。,5,例5.1.1 考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將產(chǎn)品只分為合格品和不合格品，以0記合格品，以1記不合格品，則,該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品,若以 p 表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表示：,總體 =,= 由0或1組成的一堆數(shù),6,比如：兩個(gè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體分布：,7,例5.1.2 在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費(fèi)者購買日產(chǎn)SONY彩電的熱情高于購買美產(chǎn)SONY彩電，原因何在？,1979年4月17日日本朝日新聞刊登調(diào)查報(bào) 告指出N(m, (5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩

4、色濃 度服從(m5 , m+5)上的均勻分布。,原因在于總體的差異上！,8,圖5.1.1 SONY彩電彩色濃度分布圖q,9,等級(jí) I II III IV 美產(chǎn) 33.3 33.3 33.3 0 日產(chǎn) 68.3 27.1 4.3 0.3,表5.1.1 各等級(jí)彩電的比例(%),|X-m|5/3,5/3|X-m|10/3,10/3 |X-m|5,|X-m|5,10,5.1.2 樣本,抽樣 ：,要了解總體的分布規(guī)律，在統(tǒng)計(jì)分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀測，這個(gè)過程稱為抽樣。,樣本,在抽取過程中，每抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)總體X進(jìn) 行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次抽取的n個(gè)個(gè)體 ， 稱為總體X的一個(gè)容量

5、為n的樣本（sample）或子 樣；其中樣本中所包含的個(gè)體數(shù)量稱為樣本容量。樣本中的個(gè)體稱為樣品。,11,5.1.2 樣本,樣本具有兩重性：,一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽 取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī) 變量，用大寫字母 X1, X2, , Xn 表示；,另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的 觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時(shí)用小 寫字母 x1, x2, , xn 表示是恰當(dāng)?shù)摹?在本書中，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用 x1, x2, xn 表示，大家要注意從上下文中加以識(shí)別。,12,例5.1.3 啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640 克。由于隨機(jī)性，事實(shí)

6、上不可能使得所有的啤酒 凈含量均為640克?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī) 抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果： 641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640,這是一個(gè)容量為10的樣本的觀測值， 對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。,完全樣本,13,例5.1.4 考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命，選了100只進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：,表5.1.2 100只元件的壽命數(shù)據(jù),壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) ( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 43

7、2 4 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13,表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值， 只有一個(gè)范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。,14,獨(dú)立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 它樣品的取值 - x1, x2, , xn 相互獨(dú)立。,要使得推斷可靠，對(duì)樣本就有要

8、求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個(gè)要求：,隨機(jī)性: 總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì) 被選入樣本 - xi 與總體X有相同的分布。,樣本的要求：簡單隨機(jī)樣本,15,用簡單隨機(jī)抽樣方法得到的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本，也簡稱樣本。,于是，樣本 x1, x2, , xn 可以看成是 獨(dú)立同分布( iid ) 的隨機(jī)變量， 其共同分布即為總體分布。,iidindependent identical distribution,16,若總體 的分布函數(shù)為,則樣本 的聯(lián)合分布函數(shù)為,若總體 的密度函數(shù)為,則樣本 的聯(lián)合密度函數(shù)為,17,若總體 的分布列為,則樣本 的聯(lián)合分布列為：,18,總體分為有限總體與

9、無限總體,實(shí)際中總體中的個(gè)體數(shù)大多是有限的。當(dāng)個(gè)體數(shù)充分大時(shí)，將有限總體看作無限總體是一種合理的抽象。,對(duì)無限總體，隨機(jī)性與獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)，困難在于排除有意或無意的人為干擾。,對(duì)有限總體，只要總體所含個(gè)體數(shù)很大，特別是與樣本量相比很大，則獨(dú)立性也可基本得到滿足。,本書以無限總體為主要研究對(duì)象。,19,例5.1.5 設(shè)有一批產(chǎn)品共N個(gè)，需要進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)以了解其不合格品率p?，F(xiàn)從中采取不放回抽樣抽出2個(gè)產(chǎn)品，這時(shí)，第二次抽到不合格品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格品，如果第一次抽到不合格品，則,而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為,P(x2 = 1 | x1 = 1) = (

10、Np1)/(N1),P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1),20,顯然，如此得到的樣本不是簡單隨機(jī)樣本。但是，當(dāng)N 很大時(shí)，我們可以看到上述兩種情形的概率都近似等于p 。所以當(dāng)N 很大，而n不大（一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則是 n N 0.1）時(shí)可以把該樣本近似地看成簡單隨機(jī)樣本。,作業(yè)：P256 4、6,21,5.2.1 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示,設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列,為 x(1), x(2), , x(n)，則稱 x(1), x(2), , x(n) 為有序樣本， 用有序樣本定義如下函數(shù),22

11、,則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足,Fn() = 0 和 Fn() = 1,由此可見，F(xiàn)n(x)是一個(gè)分布函數(shù)， 并稱Fn(x)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,23,例5.2.1 某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克） 351 347 355 344 351,x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 351, x(5)= 355,這是一個(gè)容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：,故其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為,24,定理5.2.1 設(shè) 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本， 為其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，有,更深刻的結(jié)論：格里紋科定理,由伯努里大數(shù)定律

12、： 兩點(diǎn)分布，只要 n 相當(dāng)大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x) 。,格里紋科定理表明：當(dāng)n 相當(dāng)大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)F(x)的一個(gè)良好的近似。 經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)中一切統(tǒng)計(jì)推斷都以樣本為依據(jù)，其理由就在于此。,25,5.2.2 頻數(shù)-頻率分布表,樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計(jì)研究的基礎(chǔ)，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。,例5.2.2 為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力， 我們隨機(jī)調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品 的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下,26,(1) 對(duì)樣本進(jìn)行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通 常在520個(gè)，對(duì)容量較小的樣本;,(2) 確定每組組距：近似公式為 組距d = (最大觀測

13、值 最小觀測值)/組數(shù);,(3) 確定每組組限： 各組區(qū)間端點(diǎn)為 a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, , ak=a0+kd, 形成如下的分組區(qū)間 (a0 , a1 , (a1, a2, , (ak-1 , ak,對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)(樣本)進(jìn)行整理,具體步驟如下:,其中a0 略小于最小觀測值, ak 略大于最大觀測值.,(4) 統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)落入每個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)頻數(shù)， 并列出其頻數(shù)頻率分布表。,27,表5.2.1 例5.2.2 的頻數(shù)頻率分布表,組序 分組區(qū)間 組中值 頻數(shù) 頻率 累計(jì)頻率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60

14、 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100 合計(jì) 20 1,28,5.2.3 樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示,一、直方圖,直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。,29,把每一個(gè)數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個(gè)位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：,二、莖葉圖

15、,數(shù)值 分開 莖 和 葉 112 11 | 2 11 和 2,30,例5.2.3 某公司對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行能力測試，測試 成績總分為 150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測 試成績（已經(jīng)過排序）：,我們用這批數(shù)據(jù)給出一個(gè)莖葉圖，見下頁。,31,圖5.2.3 測試成績的莖葉圖,32,在要比較兩組樣本時(shí)， 可畫出它們的背靠背的莖葉圖。,注意：莖葉圖保留數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較 大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)， 莖葉圖并不適用。,作業(yè)：P261 2、7,33,5.3.1 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,5.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布,當(dāng)人們需要從樣本獲得對(duì)總體各種參數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總

16、體的不同特征。,定義5.3.1 設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣 本，若樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有任 何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布 稱為抽樣分布。,34,按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本， 則 以及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)都是統(tǒng)計(jì)量。而當(dāng), 2 未知時(shí)，x1, x1/ 等均不是統(tǒng)計(jì)量。,盡管統(tǒng)計(jì)量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。,下面介紹一些常見的統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布。,35,5.3.2 樣本均值及其抽樣分布,定義5.3.2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用

17、 表示，即,思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計(jì)算？ 二者結(jié)果相同嗎？,x,x= (x1+xn)/n,注意：樣本均值是一個(gè)隨機(jī)變量，應(yīng)理解為：,36,定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，,樣本均值的基本性質(zhì)：,定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即,最小，其中c為任意給定常數(shù)。,證明：板述,例5.3.2：見書,37,若總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時(shí) 的漸近分 布為N(, 2/n) ,常記為 。,樣本均值的抽樣分布：,定理5.3.3 設(shè)x1, x2, ,

18、 xn 是來自某個(gè)總體的樣本，,為樣本均值。,(1) 若總體分布為N(, 2)，則,的精確分布為N(, 2/n) ;,這里漸近分布是指n 較大時(shí)的近似分布.,例：5.3.3 ：見書,38,5.3.3 樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差,稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,定義5.3.3,稱為樣本方差，,其算術(shù)平方根,在n 不大時(shí)，常用 作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,39,在這個(gè)定義中，, ( xi x )2,n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：,在 確定后, n 個(gè)偏差,x1x, x2x, , xnx,能自由取值，因?yàn)?只有n1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變動(dòng)，而第n個(gè)則不,(xi x ) = 0 .,稱為偏差平方和，,

19、中,樣本偏差平方和有三個(gè)不同的表達(dá)式：,( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx,它們都可用來計(jì)算樣本方差。,思考：分組樣本如何計(jì)算樣本方差？,40,以下定理表明：樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。,定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)= , Var(x)=2 , x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，,x,和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則,E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2,證明：板述,41,5.3.4 樣本矩及其函數(shù),樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常

20、見的統(tǒng)計(jì)量。,定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱為樣本 k 階原點(diǎn)矩， 特別，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。,稱為樣本k階中心矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。,bk = (xi x)k/n,42,當(dāng)總體關(guān)于分布中心對(duì)稱時(shí)，我們用,和 s,刻畫樣本特征很有代表性，而當(dāng)其不對(duì)稱時(shí)， 只用,就顯得很不夠。為此，需要一些刻畫分布形狀的統(tǒng)計(jì)量，如樣本偏度和樣本峰度，它們都是樣本中心矩的函數(shù)。,樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對(duì)稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。,定義： 1 = b3/b23/2 稱為樣本偏度， 2 = b4/b22-3 稱為樣本峰度。,和

21、 s,圖見書中圖5.3.4,43,5.3.5 次序統(tǒng)計(jì)量及其分布,另一類常見的統(tǒng)計(jì)量是次序統(tǒng)計(jì)量。,一、定義5.3.7 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個(gè) 觀測值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計(jì)量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。,44,在一個(gè)樣本中，x1, x2,xn 是獨(dú)立同分布的，而次序統(tǒng)計(jì)量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨(dú)立，分布也不相同，看下例。,現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33

22、=27種，表5.3.6列出了這些值，由此,例5.3.6 設(shè)總體X 的分布為僅取0，1，2的離散均勻分布，分布列為,45,我們可以清楚地看到這三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不相同的。,可給出的 x(1) , x(2), x(3) 分布列如下：,46,進(jìn)一步，我們可以給出兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為,因?yàn)?P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，,而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，,二者不等，由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨(dú)立的。,47,二、單個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布,定理5.3.5 設(shè)總體X的

23、密度函數(shù)為p(x)，分布函數(shù)為F(x)， x1, x2, xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為,48,例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0 x1. 從該總體抽得一個(gè)容量為5的樣本， 試計(jì)算 P(x(2)1/2)。,例5.3.8 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣 本，試求第 k 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布。,49,三、多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布,對(duì)任意多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量可給出其聯(lián)合分布，以兩個(gè)為例說明：,定理5.3.6 在定理5.3.5的記號(hào)下，次序統(tǒng)計(jì) 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,50,次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)在實(shí)際中經(jīng)常用到。

24、 如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程 x(n) x(1)/2。,樣本極差是一個(gè)很常用的統(tǒng)計(jì)量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。,51,令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出 0 x(1) = x(n)R 1 R ， 則,例5.3.9 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n), x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為,p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1,這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。,作業(yè)：P279 8、20,52,5.4 三大抽樣分布,有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而

25、構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“ 三大抽樣分布 ” 。,53,5.4.1 2 分布(卡方分布),定義5.4.1 設(shè) X1, X2, Xn, 獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布N(0,1) ，則2= X12+ Xn2的分布稱 為自由度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。,自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，常記為,分布的密度函數(shù)為,54,該密度函數(shù)的圖像是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布,55,當(dāng)隨機(jī)變量 2 2(n) 時(shí)，對(duì)給定 (01)，稱滿足 P(2 12(n) 的 12(n) 是自由度為n的卡方分布的1 分

26、位數(shù).分位數(shù) 12(n) 可以從附表3 中查到。,顯然，在自由度n取定以后， 的值只與有關(guān).,例如，當(dāng)n=21，=0.05時(shí)，由附表3(P425)可查得，,32.6706,即,56,例 設(shè)總體X N( ，22) ， 從總體X中抽取容量為16的樣本X1，X2，X16. 如果已知=0，求 的概率；,57,5.4.2 F 分布,定義5.4.2 設(shè)X1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨(dú)立， 則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自 由度，n 稱為分母自由度。,其中,F分布的密度函數(shù)為:,58,該密度函數(shù)的圖象

27、也是一只取非負(fù)值的偏態(tài)分布,59,當(dāng)隨機(jī)變量F F(m,n) 時(shí)，對(duì)給定 (01) ，稱滿足 P(F F1(m,n) =1 的F1(m,n) 是自由度為m 與 n 的F 分布的1 分位數(shù)。,一個(gè)有用的結(jié)論： F(n,m) = 1/F1(m,n)。,60,F1- (m，n)的值可由F 分布表查得.,附表5(P431P434 )分 =0.1、 =0.05、 =0.025 、 =0.01給出了F分布的1-分位數(shù).,如當(dāng)m=2, n=18時(shí)，,對(duì)=0.01有,F1-0.01(2, 18)= F0.99(2, 18),=6.01,在附表5中所列的值都比較小，當(dāng) 較大 時(shí)，可用下面公式,查表時(shí)應(yīng)先找到相應(yīng)

28、的值的表.,例如，,0.166,F1- (2, 18）=,61,解,因?yàn)?所以,F(3，n-3).,例 設(shè)總體XN(0,1)， X1，X2，Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問以下統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？,且,與,相互獨(dú)立,62,5.4.3 t 分布,定義 5.4.3 設(shè)隨機(jī)變量X1 與X2 獨(dú)立， 且X1 N(0,1), X2 2(n), 則稱,的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。,t分布的概率密度函數(shù)為,63,t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。,64,n1時(shí), t 分布的數(shù)學(xué)期望存

29、在且為0； n2時(shí)，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當(dāng)自由度較大 (如n30) 時(shí)， t 分布可以用 正態(tài)分布 N(0,1)近似。,自由度為1的 t 分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布， 它的均值不存在；,65,當(dāng)隨機(jī)變量t t(n) 時(shí)，稱滿足 P(t t1(n) =1 的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的1分位數(shù). 分位數(shù) t1(n) 可以從附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么從附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10),由于 t 分布的密度函數(shù)關(guān)于0 對(duì)稱, 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系 t(n1)= t1(n1),=1.812,66,例 設(shè)總體XN(0,1)，

30、 X1，X2，Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？,解,(1),因?yàn)閄iN(0,1)，i=1, 2, , n.且各Xi相互獨(dú)立,所以,X1-X2 N(0, 2)，即,有,t(2).,又因?yàn)?與,相互獨(dú)立，故根據(jù)t分布的定義,67,解,(2),所以X1N(0,1)，,有,t(n-1).,例 設(shè)總體XN(0,1)， X1，X2，Xn為簡單隨機(jī)樣本，試問下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？,因?yàn)閄iN(0,1)，i=1, 2, , n.且各Xi相互獨(dú)立,又因?yàn)?與,相互獨(dú)立，故根據(jù)t分布的定義，,作業(yè)：P292 9、11,68,5.4.4 一些重要結(jié)論,定理5.4.1 設(shè) x1, x2, xn

31、是來自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為,和,x = xi/n,(3) (n1) s2/2 2(n1)。,則有,與 s2 相互獨(dú)立；,(2) x N(, 2/n) ；,69,為n維隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望向量，簡稱為 的數(shù)學(xué)期望，而稱,定義 記n維隨機(jī)向量為 ， 若其每個(gè)分量的數(shù)學(xué)期望都存在，則稱,為該隨機(jī)向量的方差-協(xié)方差陣，簡稱協(xié)方差陣， 記為 。,70,定理5.4.4的證明：記 則有：,71,取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行元素均為 如：,72,令 ，根據(jù)多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，且,可以看出， 的各個(gè)分量相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，其中,（2）得證,73,又因

32、為,且,故,從而,74,又因?yàn)?和 相互獨(dú)立，而,且 各分量相互獨(dú)立，,從而,從而 與 相互獨(dú)立，結(jié)論（1）得證。又因?yàn)?結(jié)論（3）得證.,75,從表面上看，,但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，,它們之間有一種線性約束關(guān)系：,=0,這表明，當(dāng)這n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有n-1項(xiàng)是獨(dú)立的.所以（3）的自由度是n-1.,關(guān)于（3）的自由度的一些直觀說明：,76,推論5.4.1,設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量,證,由定義得,77,推論5.4.2 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(1, 12) 的樣本

33、，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨(dú)立，則有,特別，若12 =22 ，則,F=sx2/sy2 F(m1,n1),78,推論5.4.3 在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè) 12 =22 = 2 ， 并記,則,79,例 設(shè)總體X N( ，2) ，從總體X中抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值小于2的概率，如果： （1）已知 ； （2）未知 ，但已知樣本方差值,注意（1）和（2）所用的統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別,80,例 設(shè)總體X N( ，22) ， 從總體X中抽取容量為16的樣本X1，X2，X16. （1）如果已知=0，求 的概率； （2）如果未知，求 的概率；,

34、注意（1）和（2）所用的統(tǒng)計(jì)量的區(qū)別,81,例設(shè)總體XN( , 42)， X1，X2，X10是n=10簡單隨機(jī)樣本， s2為樣本方差，已知Ps2=0.1,求 .,解,因?yàn)閚=10，n-1=9， 2=42，,所以,2(9).,又,Ps2 =,=0.1，,所以,14.6837.,故, ,14.6837x,26.105,82,5.5 充分統(tǒng)計(jì)量,5.5.1 充分性的概念,例5.5.1 為研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，我們 對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的 觀測結(jié)果包含了兩種信息：,(1) 打靶10次命中8次；,(2) 2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6

35、次 打靶上。,83,第二種信息對(duì)了解該運(yùn)動(dòng)員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行n 次觀測，得到 x1, x2, xn，每個(gè)xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+xn ，T為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T 不會(huì)丟失任何與命中率 有關(guān)的信息，統(tǒng)計(jì)上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。,樣本 x=(x1,x2,xn) 有一個(gè)樣本分布F (x)， 這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。,84,統(tǒng)計(jì)量T =T (x1,x2,xn) 也有一個(gè)抽樣分布FT(t) ，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量T 代替原始樣本并且不損失任何有關(guān) 的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布 FT(t) 像 F(x) 一樣概括了有關(guān) 的一切信息，這即是說在統(tǒng)計(jì)量 T 的取值為 t 的情況下樣本 x 的條件分布 F(x|T=t) 已不含 的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。,85,這,與 無關(guān),86,定義5