1、1,第二章 經濟時間序列的 季節(jié)調整、分解與平滑,本章主要介紹經濟時間序列的分解和平滑方法。時間序列分解方法包括季節(jié)調整和趨勢分解，指數平滑是目前比較常用的時間序列平滑方法。,2,經濟指標的月度或季度時間序列包含4種變動要素：長期趨勢要素T、循環(huán)要素C、季節(jié)變動要素S 和不規(guī)則要素I。 長期趨勢要素 (T ): 代表經濟時間序列長期的趨勢特性。 循環(huán)要素 (C ): 是以數年為周期的一種周期性變動。 季節(jié)要素 (S ): 是每年重復出現的循環(huán)變動，以12個月或4個季度為周期的周期性影響，由溫度、降雨、每年中的假期和政策等因素引起。季節(jié)要素和循環(huán)要素的區(qū)別在于季節(jié)變動是固定間距（如季或月）中的自

2、我循環(huán)，而循環(huán)要素是從一個周期變動到另一個周期，間距比較長且不固定的一種周期性波動。 不規(guī)則要素 (I ): 又稱隨機因子、殘余變動或噪聲，其變動無規(guī)則可循，這類因素是由偶然發(fā)生的事件引起的，如罷工、意外事故、地震、水災、惡劣氣候、戰(zhàn)爭、法令更改和預測誤差等。,一、經濟時間序列的分解,3,圖1 我國工業(yè)總產值的時間序列 Y 圖形 圖2 工業(yè)總產值的趨勢循環(huán)要素 TC 圖形,圖3 工業(yè)總產值的季節(jié)變動要素 S 圖形 圖4 工業(yè)總產值的不規(guī)則要素 I 圖形,4,二、季節(jié)調整的概念,季節(jié)性變動的發(fā)生，不僅是由于氣候的直接影響，而且社會制度及風俗習慣也會引起季節(jié)變動。經濟統計中的月度和季度數據或大或小

3、都含有季節(jié)變動因素，以月份或季度作為時間觀測單位的經濟時間序列通常具有一年一度的周期性變化，這種周期變化是由于季節(jié)因素的影響造成的，在經濟分析中稱為季節(jié)性波動。經濟時間序列的季節(jié)性波動是非常顯著的，它往往遮蓋或混淆經濟發(fā)展中其他客觀變化規(guī)律，以致給經濟增長速度和宏觀經濟形勢的分析造成困難和麻煩。因此，在進行經濟增長分析時，必須去掉季節(jié)波動的影響，將季節(jié)要素從原序列中剔除，這就是所謂的“季節(jié)調整” (Seasonal Adjustment)。,5,2.1 移動平均方法,移動平均法(Moving Averages)的基本思路是很簡單的，是算術平均的一種。它具有如下特性： 1. 周期（及其整數倍）與

4、移動平均項數相等的周期性變動基本得到消除; 2. 互相獨立的不規(guī)則變動得到平滑。 這兩條特性可以證明。,6,2.1.1 簡單的移動平均公式,時間序列數據 y = y1, y2, , yT ，T 為樣本長度，在時點 t 上的2k+1項移動平均值 MAt 的一般表示為 (2.1.1) 式中的k為正整數，此時移動平均后的序列MA的始端和末端各欠缺k項值，需要用插值或其它方法補齊。,7,例如，常用的三項移動平均 (2.1.2) 兩端補欠項： (2.1.3) (2.1.4),1.1.2 中心化移動平均,考慮消除季節(jié)變動時，最簡單的方法是對月度數據進行12個月移動平均。此時，由于項數是偶數，故常常進行所謂

5、“移動平均的中心化”，即取連續(xù)的兩個移動平均值的平均值作為該月的值。,8,(2.1.5) 因為12是偶數，通過求平均值可以達到中心化，即中心化移動平均值為 (2.1.6) 中心化移動平均的一般公式為 (2.1.7),9,需要指出的是由于采用12個月中心化移動平均后，序列的兩端各有6個欠項值，需要用插值或其它數值計算方法將其補齊。,2.1.3加權移動平均,上面介紹的12個月中心化移動平均是二次移動平均，也可以用一次移動平均(2.1.7)式表示，這種移動平均方法就叫做加權平均，其中每一期的權數不相等，下面介紹幾種常用的加權移動平均方法。,10,除了上述移動平均方法外，X-11季節(jié)調整法中還采用亨德

6、松(Henderson)的5, 9, 13和23項加權移動平均。選擇特殊的移動平均法是基于數列中存在的隨機因子，隨機因子越大，求移動平均的項數應越多。,11,1. 季節(jié)調整方法的發(fā)展,1954年美國商務部國勢普查局(Bureau of Census，Depart- ment of Commerce)在美國全國經濟研究局(NBER)戰(zhàn)前研究的移動平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基礎上，開發(fā)了關于季節(jié)調整的最初的電子計算機程序，開始大規(guī)模地對經濟時間序列進行季節(jié)調整。此后，季節(jié)調整方法不斷改進，每次改進都以X再加上序號表示。1960年，發(fā)表了X-3方法，

7、X-3方法和以前的程序相比，特異項的代替方法和季節(jié)要素的計算方法略有不同。1961年，國勢普查局又發(fā)表了X-10方法。X-10方法考慮到了根據不規(guī)則變動和季節(jié)變動的相對大小來選擇計算季節(jié)要素的移動平均項數。1965年10月發(fā)表了X-11方法，這一方法歷經幾次演變，已成為一種相當精細、典型的季節(jié)調整方法,2.2 經濟時間序列的季節(jié)調整方法,12,X-11方法是基于移動平均法的季節(jié)調整方法。它的特征在于除了能適應各種經濟指標的性質，根據各種季節(jié)調整的目的，選擇計算方式外，在不作選擇的情況下，也能根據事先編入的統計基準，按數據的特征自動選擇計算方式。在計算過程中可根據數據中的隨機因素大小，采用不同長

8、度的移動平均，隨機因素越大，移動平均長度越大。X-11方法是通過幾次迭代來進行分解的，每一次對組成因子的估算都進一步精化。正因為如此，X-11方法受到很高的評價，已為歐美、日本等國的官方和民間企業(yè)、國際機構(IMF)等采用，成為目前普遍使用的季節(jié)調整方法。,13,美國商務部國勢普查局的X12季節(jié)調整程序是在X11方法的基礎上發(fā)展而來的，包括X11季節(jié)調整方法的全部功能，并對X11方法進行了以下3方面的重要改進： (1) 擴展了貿易日和節(jié)假日影響的調節(jié)功能，增加了季節(jié)、趨勢循環(huán)和不規(guī)則要素分解模型的選擇功能； (2) 新的季節(jié)調整結果穩(wěn)定性診斷功能； (3) 增加X12-ARIMA模型的建模和模

9、型選擇功能。,14,X12季節(jié)調整方法的核心算法是擴展的X11季節(jié)調整程序。共包括4種季節(jié)調整的分解形式：乘法、加法、偽加法和對數加法模型。注意采用乘法、偽加法和對數加法模型進行季節(jié)調整時，時間序列中不允許有零和負數。 加法模型 (2.2.1) 乘法模型： (2.2.2) 對數加法模型： (2.2.3) 偽加法模型： (2.2.4),2季節(jié)調整的模型選擇,15,設Yt 表示一個無奇異值的月度時間序列，通過預測和回推來擴展序列使得在序列的尾端不需要對季節(jié)調整公式進行修改。把Yt 分解為趨勢循環(huán)項TCt 、季節(jié)項St 和不規(guī)則要素It ?，F以加法模型為例，介紹X12季節(jié)調整方法的核心算法（為敘述簡

10、便而不考慮補欠項的問題）。共分為三個階段：,3X12季節(jié)調整方法的核心算法,16, 通過中心化12項移動計算平均趨勢循環(huán)要素的初始估計 (2.2.5) 計算SI項的初始估計 (2.2.6) 通過33移動平均計算季節(jié)因子S的初始估計 (2.2.7) 消除季節(jié)因子中的殘余趨勢 (2.2.8) 季節(jié)調整結果的初始估計 (2.2.9),第一階段 季節(jié)調整的初始估計,17, 利用Henderson移動平均公式計算暫定的趨勢循環(huán)要素 (2.2.10) 計算暫定的SI項 (2.2.11) 通過35項移動平均計算暫定的季節(jié)因子 (2.2.12) 計算最終的季節(jié)因子 (2.2.13) 季節(jié)調整的第二次估計結果

11、(2.2.14),第二階段 計算暫定的趨勢循環(huán)要素和最終的季節(jié)因子,18, 利用Henderson移動平均公式計算最終的趨勢循環(huán)要素 (2.2.15) 計算最終的不規(guī)則要素 (2.2.16),第三階段 計算最終的趨勢循環(huán)要素和最終的不規(guī)則要素,19,本節(jié)主要介紹利用EViews軟件對一個月度或季度時間序列進行季節(jié)調整的操作方法。在EViews工作環(huán)境中，打開一個月度或季度時間序列的工作文件，雙擊需進行數據處理的序列名，進入這個序列對象，在序列窗口的工具欄中單擊Proc按鈕將顯示菜單：,2.2.4 季節(jié)調整相關操作 (EViews軟件),20,一、 X11方法,X-11法是美國商務部標準的季節(jié)調

12、整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型適用于序列可被分解為季節(jié)調整后序列（趨勢循環(huán)不規(guī)則要素項）與季節(jié)項的乘積，加法模型適用于序列可被分解為季節(jié)調整后序列與季節(jié)項的和。乘法模型只適用于序列值都為正的情形。,21,如果在季節(jié)調整對話框中選擇X-11選項，調整后的序列及因子序列會被自動存入EViews工作文件中，在過程的結尾X-11簡要的輸出及錯誤信息也會在序列窗口中顯示。 關于調整后的序列的名字。EViews在原序列名后加SA，但也可以改變調整后的序列名，這將被存儲在工作文件中。 需要注意，季節(jié)調整的觀測值的個數是有限制的。X-11只作用于含季節(jié)數據的序列，需要至少4整年的數據，最多能調整20年

13、的月度數據及30年的季度數據。,22,圖2.1 社會消費品零售總額的TCI 序列 (季節(jié)調整后序列),23,圖2.2 社會消費品零售總額的原序列(藍線)和 季節(jié)調整后序列 (TCI 序列, 紅線),24,二、Census X12方法,EViews是將美國國勢調查局的X12季節(jié)調整程序直接安裝到EViews子目錄中，建立了一個接口程序。 EViews進行季節(jié)調整時將執(zhí)行以下步驟： 1給出一個被調整序列的說明文件和數據文件； 2利用給定的信息執(zhí)行X12程序； 3返回一個輸出文件，將調整后的結果存在EViews工作文件中。 X12的EViews接口菜單只是一個簡短的描述，EViews還提供了一些菜單

14、不能實現的接口功能，更一般的命令接口程序。,25,調用X12季節(jié)調整過程，在序列窗口選擇Procs/Seasonal Adjustment / Census X12，打開一個對話框：,X12方法有5種選擇框，下面分別介紹。,26,1. 季節(jié)調整選擇（Seasonal Ajustment Option） X11方法（X11 Method） 這一部分指定季節(jié)調整分解的形式：乘法；加法；偽加法（此形式必須伴隨ARIMA說明）；對數加法。注意乘法、偽加法和對數加法不允許有零和負數。 季節(jié)濾波(Seasonal Filter) 當估計季節(jié)因子時，允許選擇季節(jié)移動平均濾波（月別移動平均項數），缺省是X12

15、自動確定。近似地可選擇(X11 default)缺省選擇。需要注意如果序列短于20年，X12不允許指定315的季節(jié)濾波。,27, 存調整后的分量序列名（Component Series to save） X12將被調整的序列名作為缺省列在Base name框中，可以改變序列名。在下面的多選鈕中選擇要保存的季節(jié)調整后分量序列，X12將加上相應的后綴存在工作文件中： 最終的季節(jié)調整后序列（SA）； 最終的季節(jié)因子（SF）； 最終的趨勢循環(huán)序列（TC）； 最終的不規(guī)則要素分量（IR）； 季節(jié)/貿易日因子（D16）； 假日/貿易日因子（D18）；, 趨勢濾波（Trend Filter (Henders

16、on)） 當估計趨勢循環(huán)分量時，允許指定亨德松移動平均的項數，可以輸入大于1和小于等于101的奇數，缺省是由X12自動選擇。,28,例2.1a 利用X12加法模型進行季節(jié)調整,圖2.3a 社會消費品零售總額原序列,圖2.3b 社會消費品零售總額的TCI 序列 圖2.3c 社會消費品零售總額的TC序列,29,圖2.3d 社會消費品零售總額 I 序列 圖2.3e 社會消費品零售總額的 S 序列,30,例2.1b 利用X12乘法模型進行季節(jié)調整,圖2.4a 工業(yè)總產值原序列,圖2.4b 工業(yè)總產值的TCI 序列 圖2.4c 工業(yè)總產值的TC序列,31,圖2.4d 工業(yè)總產值的 I 序列 圖2.4e

17、工業(yè)總產值的 S 序列,32,X12方法是基于移動平均法的季節(jié)調整方法。它的一個主要缺點是在進行季節(jié)調整時，需要在原序列的兩端補欠項，如果補欠項的方法不當，就會造成信息損失。X12 - ARIMA方法是由X12方法和時間序列模型組合而成的季節(jié)調整方法。通過用ARIMA模型 (autoregressive integrated moving Average) 延長原序列，彌補了移動平均法末端項補欠值的問題。 建立ARIMA(p, d, q)模型，需要確定模型的參數，包括單整階數d；自回歸模型(AR)的延遲階數p；動平均模型(MA)的延遲階數q。也可以在模型中指定一些外生回歸因子，建立ARIMAX

18、模型。對于時間序列中的一些確定性的影響（如節(jié)假日和貿易日影響），應在季節(jié)調整之前去掉。,2. ARIMA選擇（ARIMA Option）,33,點擊ARIMA Option標簽，可出現下列對話框：,X12允許在季節(jié)調整前對被調整序列建立一個合適的ARIMA模型。,34,(1) 數據轉換（Data Transformation） 在配備一個合適的ARMA模型之前允許轉換序列： (1) 缺省是不轉換； (2) Auto選擇是根據計算出來的AIC準則自動確定是不做轉換還是進行對數轉換； (3) Logistic選擇將序列 y 轉換為 log(y/(1-y)， y序列的值要求在0和1之間； (4) B

19、ox-Cox power選擇要求提供一個參數 ，做下列轉換：,35,(2) ARIMA說明(ARIMA Spec) 允許在2種不同的方法中選擇ARIMA模型。, Specify in-line 選擇 要求提供ARIMA模型階數的說明（p d q）(P D Q),36,缺省的指定是“(0 1 1)(0 1 1)”是指季節(jié)的IMA模型： (2.5.2) L是滯后算子，這里季節(jié)差分是指 (1Ls )yt = yt yts ，季度數據時s =4；月度數據時s =12。下面是一些例子：,注意在模型中總的AR、MA、和差分的系數不超過25；AR或MA參數的最大延遲為24；在ARIMA因子中的最大差分階數不

20、超過3。,37, Select from file 選擇 X12將從一個外部文件提供的說明集合中選擇ARIMA模型。EViews將利用一個包含一系列缺省模型指定說明的文件（X12A.MDL）： (0 1 1)(0 1 1) * (0 1 2)(0 1 1) X (2 1 0)(0 1 1) X (0 2 2)(0 1 1) X (2 1 2)(0 1 1) 缺省說明用“*”表示，除最后一個外，中間的用“X”結尾。有2個選擇： Select best 檢驗列表中的所有模型，選一個最小預測誤差的模型，缺省是第一個模型。 Select by out-of-sample-fit 對模型的評價用外部樣本

21、誤差，缺省是用內部樣本預測誤差。,38,(3) 回歸因子選擇（Regressors） 允許在ARIMA模型中指定一些外生回歸因子，利用多選鈕可選擇常數項，或季節(jié)虛擬變量，事先定義的回歸因子可以捕捉貿易日和節(jié)假日的影響。,39,由每天經濟活動的總和組成的月度時間序列受該月各周的影響，這種影響稱為貿易日影響（或周工作日影響）。例如，對于零售業(yè)在每周的星期一至星期五的銷售額比該周的星期六、星期日要少得多。因此，在某月如果多出的星期天數是一周的前五天，那么該月份銷售額將較低；如果多出的星期天數是一周的星期六、星期日，那么該月份銷售額將較高。又如，在流量序列中平均每天的影響將產生“月長度”影響。因為在每

22、年中二月份的長度是不相同的，所以這種影響不可能完全被季節(jié)因素承受。二月份殘留的影響被稱為潤年影響。,3. 貿易日和節(jié)假日影響 （1）貿易日影響,40,Young(1965)討論了浮動貿易日的影響，Cleveland and Grupe(1983)討論了固定貿易日的影響。貿易日影響和季節(jié)影響一樣使得比較各月的序列值變得困難，而且不利于研究序列間的相互影響。由于這個原因，當貿易日影響的估計在統計上顯著時，通常在季節(jié)調整之前先把貿易日的影響從序列中剔除。在調整的內容中，形成了又一個分解要素：貿易日要素 D。 在X12季節(jié)調整中，假設貿易日影響要素包含在不規(guī)則要素中，即不規(guī)則要素的形式是 ID，假設已

23、從原序列 Y 中分解出 ID。然后用回歸分析求出星期一，星期二，星期日的相應權重，從而可以將 ID 分解為真正的不規(guī)則要素 I 和貿易日要素 D。,41,美國的圣誕節(jié)、復活節(jié)及感恩節(jié)等節(jié)假日對經濟時間序列也會產生影響。例如，圣誕節(jié)的影響可以增加當周或前一周商品的零售額，或者是降低特定工廠在圣誕節(jié)前幾天的產量。在X12方法中，貿易日和節(jié)假日影響可以從不規(guī)則要素中同時估計得到。在X12方法中，可以對不規(guī)則要素建立ARIMAX模型，包括貿易日和節(jié)假日影響的回歸變量，而且還可以指明奇異值的影響，并在估計其他回歸影響的同時消除它們。注意EViews中的節(jié)假日調整只針對美國，不能應用于其他國家。,（2）節(jié)

24、假日影響的調整,42,可以在進行季節(jié)調整和利用ARIMA模型得到用于季節(jié)調整的向前/向后預測值之前，先去掉確定性的影響（例如節(jié)假日和貿易日影響）。首先要選擇: （Ajustment Option）是否進行這項調整？，確定在那一個步驟里調整：在ARIMA步驟，還是X-11步驟？,貿易日和節(jié)假日影響操作,43, Trading Day Effects消除貿易日影響有2種選擇，依賴于序列是流量序列還是存量序列（諸如存貨）。對于流量序列還有2種選擇，是對周工作日影響進行調整還是對僅對周日-周末影響進行調整。存量序列僅對月度序列進行調整，需給出被觀測序列的月天數。 Holiday effects 僅對流

25、量序列做節(jié)假日調整。對每一個節(jié)日，必須提供一個數，是到這個節(jié)日之前影響的持續(xù)天數。 Easter 復活節(jié) Labor 美國、加拿大的勞工節(jié)，九月第一個星期一 Thanksgiving 感恩節(jié)（在美國為11月第4個星期4；加拿大為10月第2個星期1） Christmas 圣誕節(jié) 注意這些節(jié)日只針對美國，不能應用于其他國家。,44,外部影響調整包括附加的外部沖擊(addtive outlier，AO)和水平變換(level shift，LS)。附加的外部沖擊(AO)調整是指對序列中存在的奇異點數據進行調整，水平變換(LS)是指對水平上發(fā)生突然變化的序列的處理。,4. 外部影響(Outlier Ef

26、fects),圖2.5 經濟時間序列水平變換示意圖,45,通過對ARIMAX模型中的回歸方程添加外部沖擊和水平變換回歸變量，可以處理奇異點數據和在水平上發(fā)生突然變化的序列。在對序列進行預調整的同時得到外部影響調整是X12-ARIMA模型的特殊能力。 在奇異點t0的外部沖擊變量： (2.2.26) 在水平位移點t0的水平變換變量： (2.2.27),46,外部影響操作 外部影響調整也是分別在ARIMA步驟和X11步驟中進行。然而，必須在X11步驟中作了貿易日/節(jié)日調整，才能在X11步驟中做外部調整，而且只能做附加的外部調整；,47,在ARIMA步驟中有4種外部調整： 附加的外部調整； 水平變換；

27、 暫時的水平變化； 彎道影響。,48,5. 診斷（Diagnostics）,49,這項選擇提供了各種診斷： 季節(jié)因素的穩(wěn)定性分析（Stability Analysis of Seasonals） Sliding spans 移動間距 檢驗被調整序列在固定大小的移動樣本上的變化； Historical revisions 歷史修正檢驗被調整序列增加一個新觀測值，即增加一個樣本時的變化。 其他診斷（Other Diagnostics） 還可以選擇顯示各種診斷輸出。,50,三、 移動平均方法,X-11法與移動平均法的最大不同是：X-11法中季節(jié)因子年與年有可能不同，而在移動平均法中，季節(jié)因子被假設為

28、是一樣的。,51,TRAMO(Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observation, and Outliers)用來估計和預測具有缺失觀測值、非平穩(wěn)ARIMA誤差及外部影響的回歸模型。它能夠對原序列進行插值，識別和修正幾種不同類型的異常值，并對工作日變化及復活節(jié)等特殊回歸因素及假定為ARIMA過程的誤差項的參數進行估計。 SEATS(Signal Extraction in ARIMA Time Series)是基于ARIMA模型來對時間序列中不可觀測成分進行估計。 這兩個程序往往聯合起來使用，先用TRAMO對數據進行預處理，

29、然后用SEATS將時間序列分解為趨勢要素、循環(huán)要素、季節(jié)要素及不規(guī)則要素4個部分。這兩個程序是由Victor Gomez 和Agustin Maravall 開發(fā)的。,四、tramo/Seats方法,52,tramo/Seats方法操作,當選擇了Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 時，EViews執(zhí)行外部程序，將數據輸給外部程序，然后將結果返回EViews。,53,2.3 趨勢分解,本章第2節(jié)介紹的季節(jié)調整方法可以對經濟時間序列進行分解，但在季節(jié)調整方法中，趨勢和循環(huán)要素視為一體不能分開。本節(jié)專門討論如何將趨勢和循環(huán)要素進行分解的方法。測定長期趨勢有多種

30、方法，比較常用的方法有回歸分析方法、移動平均法、階段平均法(phase average，PA方法)、HP濾波方法和頻譜濾波方法（frequency (band-pass) filer， BP濾波）。本節(jié)主要介紹HP濾波方法和BP濾波方法。,54,2.3.1 Hodrick-Prescott（HP）濾波,在宏觀經濟學中，人們非常關心序列組成成分中的長期趨勢，Hodrick-Prescott濾波是被廣泛使用的一種方法。該方法在Hodrick and Prescott(1980) 分析戰(zhàn)后美國經濟周期的論文中首次使用。我們簡要介紹這種方法的原理。 設Yt是包含趨勢成分和波動成分的經濟時間序列，YtT

31、是其中含有的趨勢成分， YtC是其中含有的波動成分。則 (2.3.1) 計算HP濾波就是從Yt中將YtT 分離出來 。,55,一般地，時間序列Yt中的不可觀測部分趨勢YtT常被定義為下面最小化問題的解： (2.3.2) 其中：c(L)是延遲算子多項式 (2.3.3) 將式(2.3.3)代入式(2.3.2)，則HP濾波的問題就是使下面損失函數最小，即 (2.3.4),56,最小化問題用c(L)YtT2 來調整趨勢的變化，并隨著 的增大而增大。這里存在一個權衡問題，要在趨勢要素對實際序列的跟蹤程度和趨勢光滑度之間作一個選擇。 = 0 時，滿足最小化問題的趨勢等于序列Yt； 增加時，估計趨勢中的變化

32、總數相對于序列中的變化減少，即 越大，估計趨勢越光滑； 趨于無窮大時，估計趨勢將接近線性函數。一般經驗地， 的取值如下：,57,HP濾波的運用比較靈活，它不象階段平均法那樣依賴于經濟周期峰和谷的確定。它把經濟周期看成宏觀經濟波動對某些緩慢變動路徑的偏離，這種路徑在期間內單調地增長，所以稱之為趨勢。HP濾波增大了經濟周期的頻率，使周期波動減弱。,58,使用Hodrick-Prescott濾波來平滑序列，選擇Procs/ Hodrick Prescott Filter出現下面的HP濾波對話框：,首先對平滑后的序列給一個名字，EViews將默認一個名字，也可填入一個新的名字。然后給定平滑參數的值，年

33、度數據取100，季度和月度數據分別取1600和14400。不允許填入非整數的數據。點擊OK后，EViews與原序列一起顯示處理后的序列。注意只有包括在當前工作文件樣本區(qū)間內的數據才被處理，平滑后序列區(qū)間外的數據都為NA。,59,圖2.6 藍線表示社會消費品零售總額TC序列、 紅線表示趨勢T序列 、綠線表示循環(huán)C序列,例2.3 利用HP濾波方法求經濟時間序列的趨勢項T,先做季節(jié)調整得到趨勢-循環(huán)要素序列，記為TC，然后利用HP濾波方法求中國社會消費品零售總額月度時間序列(1990:12007:6),60,圖2.7 藍線表示社會消費品零售總額、 紅線表示趨勢T序列,61,首先對季度GDP做季節(jié)調整

34、，然后對得到的趨勢-循環(huán)序列GDP.TC序列利用HP濾波方法求中國GDP季度時間序列的趨勢項(1997:12007:6)。,圖2.8 藍線表示GDP序列、 紅線表示趨勢T序列、 綠線表示循環(huán) C 序列,62,圖2.9 藍線表示GDP序列、 紅線表示趨勢T序列,63,例2.4 利用HP濾波方法求潛在產出和產出缺口,設Yt為我國的季度GDP指標(1997年1季度2007年4季度)，利用季節(jié)調整方法將GDP中的季節(jié)因素和不規(guī)則因素去掉，得到GDP_TC序列。本例的潛在產出Y*，即趨勢利用HP濾波計算出來的YtT來代替，GDP的循環(huán)要素Yt序列由式(2.3.6)計算： (2.3.6),圖2.6 藍線表

35、示 GDP_TC 、 紅線表示趨勢序列GDP_T,圖2.7 GDP的循環(huán)要素 序列,64,圖2.7顯示的GDP的循環(huán)要素YtC序列實際上就是圍繞趨勢線上下的波動，稱為GDP缺口序列。它是一個絕對量的產出缺口。也可以用相對量表示產出缺口，本例用Gapt來表示相對產出缺口，可由下式計算得到： (2.3.7),圖2.8 通貨膨脹率 (藍線) 產出缺口Gap (紅線),65,2.3.2 頻譜濾波（BP濾波）方法,20世紀以來，利用統計方法特別是時間序列分析方法研究經濟時間序列和經濟周期的變動特征得到越來越廣泛的應用。自時間序列分析產生以來，一直存在兩種觀察、分析和解釋時間序列的方法。第一種是直接分析數

36、據隨時間變化的結構特征，即所謂時域（time domain）分析法，使用的工具是自相關（或自協方差）函數和差分方程；另一種方法是把時間序列看成不同諧波的疊加，研究時間序列在頻率域（frequency domain）里的結構特征，由于這種分析主要是用功率譜的概念進行討論，所以通常稱為譜分析。,66,譜分析的基本思想是：把時間序列看作是互不相關的周期（頻率）分量的疊加，通過研究和比較各分量的周期變化，以充分揭示時間序列的頻域結構，掌握其主要波動特征。因此，在研究時間序列的周期波動方面，它具有時域方法所無法企及的優(yōu)勢。,67,1. 經濟時間序列的功率譜,設時間序列數據 X=(x1, x2, , xT

37、)，T 為樣本長度。譜分析（spectral analysis）的實質是把時間序列 X 的變動分解成不同的周期波動之和?？紤]時間序列 X 由對應于不同頻率的多個周期變動的和構成，假定存在n個頻率1, 2, , n，則 這里，uj ，vj 是隨機變量。 （對所有的i，j） （對所有的 i j）,68,可以計算得到 X 的方差： 在這里很有趣的是，X 的方差可以由n個方差j2 的和來表示。j2是對應于頻率j 的循環(huán)變動 uj cosj t+vj sinj t 的方差，表示了對隨機過程全變動的貢獻，下圖是對應于頻率的方差圖。,69,頻率 和周期 p 有如下關系： 頻率 周期 = p = 2 (2.3

38、.8) 時間序列 X 的變動可以分解成各種不同頻率波動的疊加和，根據哪種頻率的波動具有更大的貢獻率來解釋 X 的周期波動的成分，這就是譜分析（頻率分析）名稱的緣由。這就是說當具有各種周期的無數個波包含于景氣變動中時，看看哪個周期(頻率)的波強烈地表現現實景氣變動。譜分析中的核心概念是功率譜密度函數（簡稱功率譜），它集中反映了時間序列中不同頻率分量對功率或方差的貢獻程度。,70,（1）白噪音的功率譜 在隨機過程ut是白噪音的情形，白噪音的功率譜 f () 可由下式表示 (2.3.9) 其中： 2是ut的方差。如圖所示，白噪音的功率譜是水平的。因此，可知白噪音的功率譜的所有頻率是具有同一權重的隨機

39、過程。圖的橫軸為頻率，頻率下面是對應的周期。在這里，2是指以2期為周期的周期變動，4是指以4期為一周期的周期變動。在這個功率譜圖中，0，的頻率對應的周期從 到2期，（由于譜密度函數的對稱性，圖中只給出0，間的譜圖）。,71,（2） 一般隨機過程的功率譜 圖2.10 (a) 一般的功率譜的例子如圖2.10所示。圖2.10a是低頻率處顯示高功率譜的隨機過程，因為長周期變動的比重高，所以表明是以長期波動為主要特征的隨機過程。而當 = 0時的功率譜有無限大的周期，即表示時間序列是以趨勢要素為主要特征。經濟數據多數具有顯著的上升趨勢，所以Granger（1996）指出：“經濟變量的典型的譜形狀是如圖2.

40、10a中所示的那樣趨勢性強的功率譜?！?72,相反地，圖2.10b是高頻率處顯示高功率譜的隨機過程，說明主要包含短周期的波動，是比白噪音還不規(guī)則的隨機過程。進一步地，圖2.10c是功率譜集中在某個特定的頻數附近的情形，意味著這個隨機過程變動的大部分是由這個頻數所確定的周期波動。 (b) (c),73,2. 頻率響應函數 考慮隨機過程 xt 的線性變換 (2.3.10) 其中：wj 是確定的權重序列，比如是 xt 的移動平均權重。上面的變換可以用延遲算子表示為 (2.3.11) 其中：,74,由這種變換構成的延遲多項式被稱為線性濾波(linear filter)，或只稱為濾波。這樣的變換還可以被

41、說成對xt作用了濾波。由譜分析的知識可知，yt 的功率譜可以表示為 (2.3.12) 其中：fy()和fx()分別是yt和xt的功率譜，關于e-i=cos-isin的指數函數W(e-i)被定義為： (2.3.13) 其中：i 是滿足i2=-1的虛數。W(e-i) 等同于W(L)中的 Lj 用 e-ij 置換的結果。,75,w()=W(e-i)稱為濾波的頻率響應函數(frequency response function)。W(e-i)是復數，它的絕對值 |W(e-i)| 是實數，稱為濾波的增益(gain)。因此，變換后的功率譜給定為實數。進一步，增益的平方|W(e-i)|2稱為濾波的功率傳遞函

42、數(power transfer function)，或只稱為傳遞函數。 要想得到理想的濾波，需要無限階移動平均。實際應用中，我們必須要用有限項移動平均近似理想的濾波，設截斷點為n，這時的頻率響應函數為 (2.3.14),76,形如式(2.3.10)的線性變換被稱為線性濾波，是因為通過適當設計權重序列，可以使傳遞函數 W(e-i)2 在某些頻率區(qū)間內等于0或近似等于0。這樣根據式(2.3.12)就可以將輸入中所有在這個頻率帶中的分量“過濾”掉，留下其他成分。根據被保留下來的頻率位于低頻處、高頻處或某個中間帶上，分別稱為低通濾波（low-pass filters，LP）、高通濾波（high-pa

43、ss filters，HP）和帶通濾波（band-pass filters，BP）。,77,例2.5 差分濾波的效果,現在設時間序列xt有功率譜fx() ?？紤]取差分系列yt (2.3.15) 用延遲多項式來表示 (2.3.16) 因此，差分濾波的頻率響應函數是 (2.3.17),78,傳遞函數由下式給定 (2.3.18) 因此，yt 的功率譜由下式給定 (2.3.19),圖2.11 差分濾波的圖形,79,像圖2.11(a) 所示的那樣，差分濾波的傳遞函數在 = 0 處取0，然后先緩緩上升，很快就急速上升。如果原來的時間序列 xt 的功率譜如圖2.11 (b)，趨勢很強，作為差分結果的 yt

44、的功率譜就如圖2.11(c) 的形狀。這樣的差分處理，趨勢要素（ = 0的功率）完全被消除，具有大幅度減少長期變動的效果。,圖2.11 差分濾波的圖形,80,4帶通濾波 可以使得在頻率帶L1| L2 的范圍內，頻率響應函數為1，而其他區(qū)間為0。顯然帶通濾波的權重便是兩個低通濾波權重的差，即 (2.3.30) 從頻率的角度定義了這些類型的濾波，這經常和周期相聯系。頻率為的循環(huán)的周期是 p=2/，切斷頻率為c、截斷點為n的近似的低通濾波可以記為LPn(p)，意味著周期大于等于p(=2/c)的那些成份將保留。帶通濾波可以類似地分別定義為 (2.3.32),81,截斷點n的選擇是決定理想濾波BPn(p

45、，q)近似優(yōu)劣的根本因素，如果n取得過小，將會產生譜泄漏（leakage）和擺動(gibbs)現象。前者是說，濾波在剔除不想保留的成分的同時，也將想要保留下來的一部分成分剔除掉了；后者是指頻率響應函數在大于1和小于1兩種狀態(tài)之間擺動。隨著n的增加，這些現象明顯改善。但是，n不能選擇太大，因為那樣兩端將缺失過多數據。 設 =2 ，則頻率響應函數的頻率 的取值范圍是0,，對應標準化后頻率 的取值范圍為0，0.5。因此，在周期p為18，q為60的帶通濾波的理想的頻率響應函數在1/60，1/18的頻率區(qū)間的取值應為1。,82,圖2.12 實線表示BP(p,q)濾波頻率響應函數 虛線表示n 取不同值得到

46、的帶通濾波的頻率響應函數,83,BP濾波的操作 在EViews中，可以使用 Band-Pass 濾波對經濟時間序列進行趨勢循環(huán)分解。在序列對象的菜單中選擇 Proc/ Frequency Filter，顯示圖2.13所示的對話框。 圖2.13 頻率濾波對話框,84,為了使用Band-Pass濾波，首先要選擇一種濾波類型。共有3種類型： （1） BK固定長度對稱濾波（Fixed length symmetric (Baxter-King，BK)）； （2）CF固定長度對稱濾波（Fixed length symmetric (Christiano-Fitzgerald，CF)）； （3）全樣本長度

47、非對稱濾波（Full sample asymmetric(Christiano-Fitzgerald)）。 EViews默認的是BK固定長度對稱濾波。如果使用固定長度對稱濾波，還必須指定先行/滯后（Lead/lag）項數n。,85,用戶必須選擇循環(huán)周期（Cycle periods）的區(qū)間以計算Band-Pass濾波的頻率響應函數的權重序列。這個區(qū)間由一對數據（PL，PU）描述，PL、PU 由Band-Pass濾波要保留的循環(huán)波動成分所對應的周期來確定。月度數據填月數；季度數據填季度的個數。EViews將根據數據類型填入了默認數值。例如，例2.6認為中國社會消費品零售總額的增長周期大約在1年半（

48、18個月）到5年（60個月），如果保留在這個區(qū)間內的循環(huán)要素，則區(qū)間的下界是18，上界是60。因此，設定PL=18，PU=60（相當于例2.6中的 p和q）。,86,在Band-Pass濾波的輸出結果中，左側的圖描述了原序列、趨勢序列和循環(huán)序列。對于BK和CF固定長度對稱濾波而言，Eviews 畫出頻率響應函數w()，頻率 的區(qū)間是0，0.5，右面的圖描述了頻率響應函數。但是，對于時變的CF濾波，并沒有畫出頻率響應函數，因為濾波的頻率響應函數隨數據和觀測值個數變化。,87,用戶需要輸入希望保存的結果（循環(huán)成分、趨勢成分）對象的名字。循環(huán)序列（Cycle series）是包含循環(huán)要素的序列對象；

49、趨勢序列(Non-cyclical series)是實際值和循環(huán)序列的差。用戶還能得到在濾波中所用的Band-Pass濾波頻率響應函數的權序列，它將存儲在矩陣對象中。,88,例2.6 利用BP濾波對經濟時間序列進行趨勢、循環(huán)分解 中國社會消費品零售總額月度時間序列（SL）的取值范圍從1980年1月至2007年12月。取對數后的序列記為lnsl。由于帶通（BP）濾波的兩端各欠n項，為了近期的分解結果沒有缺失值，本例利用ARIMA模型將序列l(wèi)nsl外推到2009年6月。然后對lnsl進行季節(jié)調整去掉季節(jié)和不規(guī)則要素，得到只包含趨勢循環(huán)要素的序列l(wèi)nsl_TC。根據增長率周期波動分析，我國社會消費品

50、零售總額的增長率大約存在1.5年5年之間的波動。 取p = 18 (p = 1/18)，q = 60 (q = 1/60)，利用式(2.3.29) 帶通濾波方法希望得到只保留1.5年5年周期成分的濾波序列。而取n =18的BPn(p，q) 濾波中2年3.5年周期成分的權重最大，可以近似地作為中國社會消費品零售總額對數的循環(huán)要素序列l(wèi)nsl_C，同時利用時間序列分解的加法模型從lnsl_TC中減去lnsl_C，可得到趨勢要素序列l(wèi)nsl_T。,89,圖2.14 紅線表示BP(p,q)濾波頻率響應函數 藍線表示帶通濾波的頻率響應函數,90,圖2.15 藍線表示lnSL的原序列 紅線表示趨勢要素序列

51、lnSL_T,由于BP濾波兩端各損失18個月的數據，所以循環(huán)要素序列l(wèi)nsl_C（圖2.14）和趨勢要素序列l(wèi)nsl_T（圖2.15）的數據序列長度為1982年1月2007年12月。,91,圖2.16 循環(huán)要素序列l(wèi)nSL_C,92,分別對lnsl_C和lnsl_T序列取指數，可得到社會消費品零售總額序列SL的循環(huán)要素SL_C和趨勢要素SL_T（乘法模型）。,93,圖2.17 紅線表示HP濾波得到的趨勢要素序列 藍線表示BP濾波得到的趨勢要素序列,94,圖2.18 紅線表示HP濾波得到的循環(huán)要素序列 藍線表示BP濾波得到的循環(huán)要素序列,95,2.3.2 指數平滑,指數平滑是可調整預測的簡單方法

52、。當只有少數觀測值時這種方法是有效的。與使用固定系數的回歸預測模型不同，指數平滑法的預測用過去的預測誤差進行調整。下面，我們對EViews中的指數平滑法作簡要討論。,96,1.單指數平滑（一個參數）,這種單指數平滑方法適用于序列值在一個常數均值上下隨機波動的情況，無趨勢及季節(jié)要素。yt 平滑后的序列 計算公式如下 , , t = 2, 3, , T 其中: , 為平滑因子。 越小， 越平緩，重復迭代，可得到,由此可知為什么這種方法叫指數平滑，y 的預測值是 y 過去值的加權平均，而權數被定義為以時間為指數的形式。,97,單指數平滑的預測對所有未來的觀測值都是常數。這個常數為 （對所有的k0）, T 是估計樣本的期末值。要開始遞歸，我們需要 和 的初值。EVi