1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)1.理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行和垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線(xiàn)和平面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理(包括三垂線(xiàn)定理).4.能用向量方法解決直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第122頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1空間位置關(guān)系的向量表示直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直線(xiàn)l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmnm02.異面直線(xiàn)的夾

2、角已知直線(xiàn)l1與l2的方向向量分別為s1，s2.當(dāng)0s1，s2時(shí)，直線(xiàn)l1與l2的夾角等于s1，s2；當(dāng)s1，s2時(shí)，直線(xiàn)l1與l2的夾角等于s1，s23直線(xiàn)與平面的夾角設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線(xiàn)l與平面的夾角為，則sin |cosa，n|.4二面角(1)如圖771(1)，AB，CD是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小，圖771(2)如圖771(2)(3)，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿(mǎn)足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打

3、“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若兩直線(xiàn)的方向向量不平行，則兩直線(xiàn)不平行()(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合()(3)兩直線(xiàn)的方向向量所成的角就是兩條直線(xiàn)的夾角()(4)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量的夾角就是直線(xiàn)與平面的夾角()(5)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角()(6)兩異面直線(xiàn)夾角的范圍是，直線(xiàn)與平面夾角的范圍是，二面角的范圍是0，()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改編)設(shè)u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t()A3 B4C5D6C，則uv262(4)4t0，t5.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)

4、，則下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1，1,1)CDC設(shè)n(x，y，z)為平面ABC的法向量，則化簡(jiǎn)得xyz.故選C4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN夾角的余弦值為()A B C DC建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，設(shè)BC2，則B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM與AN夾角的余弦值cos .5過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線(xiàn)段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_(kāi)45如圖，建立空間直角坐

5、標(biāo)系，設(shè)ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD.(0,1,0)，分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45.第1課時(shí)利用空間向量證明平行與垂直(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第123頁(yè))利用空間向量證明平行問(wèn)題(2017天津高考節(jié)選)如圖772，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC90.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，PAAC4，AB2.圖772求證：MN平面BDE.解如圖，以A為原點(diǎn)，分

6、別以，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)證明：(0,2,0)，(2,0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，則即不妨設(shè)z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因?yàn)镸N平面BDE，所以MN平面BDE.規(guī)律方法(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.(2)證明直線(xiàn)與平面平行，只需證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的

7、不共線(xiàn)的兩個(gè)向量共面，或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行，然后說(shuō)明直線(xiàn)在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練如圖773所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段PA，PD，CD的中點(diǎn)求證：PB平面EFG.圖773證明平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,

8、2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，設(shè)st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2，22，又與不共線(xiàn)，與共面PB平面EFG，PB平面EFG.利用空間向量證明垂直問(wèn)題(2017開(kāi)封模擬)如圖774，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB.求證：平面BCE平面CDE. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖774證明設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)所以(a，a，a)，(2a,0，a)，(a，a,0)，(0,0，2a)設(shè)平面BCE

9、的法向量為n1(x1，y1，z1)，由n10，n10可得即令z12，可得n1(1，2)設(shè)平面CDE的法向量為n2(x2，y2，z2)，由n20，n20可得即令y21，可得n2(，1,0)因?yàn)閚1n211()0.所以n1n2，所以平面BCE平面CDE.若本例中條件不變，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，證明DF平面BCE.證明由例2知C(2a,0,0)，E(a，a,2a)，平面BCE的法向量n1(1，2)點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，F(xiàn)，n1，n1，故DF平面BCE.規(guī)律方法1.利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.2.用向量證明垂直的方法(

10、1)線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.(2)線(xiàn)面垂直：證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn)，或?qū)⒕€(xiàn)面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?跟蹤訓(xùn)練如圖775所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.圖775證明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.證明(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，PO底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線(xiàn)為y軸，OP

11、所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示不妨設(shè)CD1，則ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M.，(1,0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.利用空間向量解決探索性問(wèn)題(2018北京東城區(qū)綜合練習(xí)(二)如圖776，在幾何體ABCDEF中，平面ADE平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，且DAB60，EAEDAB2EF，EFAB，M為BC的中點(diǎn)圖776(

12、1)求證：FM平面BDE；(2)求直線(xiàn)CF與平面BDE所成角的正弦值；(3)在棱CF上是否存在點(diǎn)G，使BGDE？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)證明：取CD的中點(diǎn)N，連接MN，F(xiàn)N.因?yàn)镹，M分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以MNBD.又BD平面BDE且MN平面BDE，所以MN平面BDE.因?yàn)镋FAB，AB2EF，所以EFCD，EFDN.所以四邊形EFND為平行四邊形，所以FNED.又ED平面BDE且FN平面BDE，所以FN平面BDE.又FNMNN，所以平面MFN平面BDE.又FM平面MFN，所以FM平面BDE.(2)取AD的中點(diǎn)O，連接EO，BO.因?yàn)镋AED，所以EOAD.因?yàn)槠矫鍭

13、DE平面ABCD，所以EO平面ABCD，EOBO.因?yàn)锳DAB，DAB60，所以ADB為等邊三角形因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，所以ADBO.因?yàn)镋O，BO，AO兩兩垂直，設(shè)AB4，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OE為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意，得A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(4,2，0)，D(2,0,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(1，2)(3，2)，(2,0,2)，(0，2，2)設(shè)平面BDE的法向量為n(x，y，z)則即令z1，則y1，x.所以n(，1,1)設(shè)直線(xiàn)CF與平面BDE所成角為，sin |cos，n|.所以直線(xiàn)CF與平面BDE所成角的正弦值為.(3)設(shè)G是CF

14、上一點(diǎn)，且，0,1因此點(diǎn)G(34，2，2)(34，2)由0，解得.所以在棱CF上存在點(diǎn)G使得BGDE，此時(shí).規(guī)律方法利用空間向量解決探索性問(wèn)題的方法(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線(xiàn)的位置，并用向量表示出來(lái)，然后再加以證明，得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)線(xiàn)、面滿(mǎn)足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.跟蹤訓(xùn)練如圖777，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(diǎn)圖777(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】解以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABa.(1)證明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)