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1、2020/7/30,高等數學課件,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第十一節(jié),微分方程的冪級數解法,一、一階微分方程問題,二、二階齊次線性微分方程問題,微分方程解法:,積分法, 只能解一些特殊類型方程,冪級數法, 本節(jié)介紹,數值解法, 計算數學內容,本節(jié)內容:,第十二章,2020/7/30,高等數學課件,一、一階微分方程問題,冪級數解法:,將其代入原方程, 比較同次冪系數可定常數,由此確定的級數即為定解問題在收斂區(qū)間內的解.,設所求解為,本質上是待定系數法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,例1.,解:,根據初始條件, 設所求特解為,代入原方程, 得,比較

2、同次冪系數, 得,故所求解的冪級數前幾項為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,二、二階齊次線性微分方程,定理.,則在R x R 內方程必有冪級數解:,設 P(x), Q(x) 在 (R, R ) 內可展成 x 的冪級數,(證明略),此定理在數學物理方程及特殊函數中非常有用,很多,重要的特殊函數都是根據它從微分方程中得到的.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,例2.,的一個特解.,解:,設特解為,代入原方程整理得,比較系數得:,可任意取值,因是求特解, 故取,從而得,當n 4 時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,因此,注意到:,此題的上述特解即為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3.,解:,求解勒讓德 (Legendre) 方程,展成冪級數,滿足定理條件(因其特點不用具體展開它).,設方程的解為,代入:,2020/7/30,高等數學課件,整理后得:,比較系數, 得,例如:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2020/7/30,高等數學課件,于是得勒讓德方程的通解:,上式中兩個級數都在(1, 1 )內收斂,可以任意取,它們是方程的,兩個線性無關特解.

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