1、3.7 相關(guān)函數(shù)和譜密度 (只講3.7.1),描述平均功率隨頻率的分布情況。,平均功率也可以在頻域內(nèi)獲得，稱為帕什瓦爾定理：,周期信號 的平均功率為,稱為功率信號的功率譜。,1.能量信號：有能量譜密度； 2.功率信號：有功率譜密度。,下面討論在頻域中如何計算能量？,能量信號的能量定義為,由,非周期信號有,對于 為實函數(shù)的情況，有 ，得,上式稱為帕什瓦爾等式，或能量等式。表明能量信號的能量不僅可以從時域中求取，也可以從頻域中求取。,曲線稱為信號的能量譜曲線,可以理解為信號的能量是由其所有頻率分量的貢獻(xiàn)而合成的，信號的總能量是 軸上的積分值。,顯然，能量譜只與信號的幅度譜有關(guān)，與相位譜無關(guān)。,如,

2、如信號,上式可以幫助我們計算一些積分。,且由帕什瓦爾等式可得,可以方便的求出積分的值來。,作為能量譜密度的應(yīng)用，介紹信號的脈沖寬度(脈寬)和頻帶寬度(帶寬)的一般概念。,對于一個矩形脈沖來說，其脈寬：,它的頻譜存在零交點 ，,定義,為其脈寬。,但它沒有普遍意義。如高斯脈沖，它在時域和頻域中都沒有零交點。,定義有效脈沖寬度 為,一般取,定義有效頻帶寬度 為,同樣取,一般選用 較小的脈沖信號。,3-8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析,前面討論了連續(xù)信號分析的內(nèi)容。,傅里葉變換有兩大作用：,一. 信號的頻譜分析（時域、頻域全面了解 了一個信號）,二. 信號作用于線性系統(tǒng)時，頻域求解其零狀 態(tài)響應(yīng)；直觀了解輸入、

3、輸出信號頻譜和 系統(tǒng)的頻率特性。,討論信號作用于線性系統(tǒng)時在頻域中求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法，又稱頻域分析法。,由線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,兩邊取傅氏變換，用時域微分性質(zhì)，得,頻域分析法的理論基礎(chǔ)是時域卷積定理。,一. 系統(tǒng)函數(shù) 的意義,顯然，沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)是一對傅氏變換。,系統(tǒng)函數(shù)可以從微分方程直接求得。它是響應(yīng)傅氏變換與激勵傅氏變換的比。它同樣表征了系統(tǒng)自身的特性，與輸入波形無關(guān)。其分子、分母均為 j的多項式之比。,傅氏分析法的步驟：,1. 求取 的傅氏變換 ；,2. 確定系統(tǒng)函數(shù) ；,3. 計算 ；,4. 取 的反變換，得 。,可見， 意義重大，下面重點討論它。,1. 由,當(dāng),時，,由,，

4、得,2. 設(shè)激勵,假設(shè) 為參變量（一個確定的實數(shù)）,由時域 卷積分析法，得,這說明，虛指數(shù)信號作用于系統(tǒng)時，其零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號，不同的僅僅是零狀態(tài)響應(yīng)（也是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也是強(qiáng)制響應(yīng)；也為激勵是從 加上的，所以，自然響應(yīng)為零）是激勵加了個權(quán) 。,所以，系統(tǒng)函數(shù)也可定義為,我們下面更深一步理解傅氏變換的物理意義：,實質(zhì)上，在時域中，把信號分解為無窮多個沖激信號分量的和；,而 在頻域中，把信號分解為無窮多個虛指數(shù)信號分量的和。,如果把積分號看成是求和號，則在 范圍內(nèi)，,的分量為,則響應(yīng)的分量為,把無窮多個響應(yīng)分量疊加起來，得,即,傅里葉分析法是把信號分解為無窮多個無時限虛指數(shù)信號之和，

5、即單元信號是 ，先求取各個單元信號作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，再疊加。,實際上，電路分析中的相量法，僅僅是 取 為常數(shù)，又取其實部時的情況。,或者說，相量法是頻域分析法中單一頻率的特例。（這也解釋了虛指函數(shù)的實際意義）,二. 的求法,1. 從微分方程直接求解;(方程兩邊取傅氏變換),2. 從系統(tǒng)的沖激響應(yīng),3. 設(shè)激勵為 求其響應(yīng)；,4. 由電路模型求得。,例：已知微分方程,求：系統(tǒng)函數(shù) 。,解：(1) 對方程兩邊求傅氏變換，可得,(2) 若由第二章已經(jīng)求得沖激響應(yīng)為,對沖激響應(yīng)求傅氏正變換，得,當(dāng)然，很多情況下是反向運作，用來求 的。,(3) 設(shè),這時的響應(yīng)為 , 代入原微分方程，得,響應(yīng)與激勵之比，

6、為,例：求圖示電路的系統(tǒng)函數(shù)。,解：先畫出其零狀態(tài)頻域電路模型：,(即：把電路中的所有元件都進(jìn)行傅氏變換：其中包括電源、支路電流和電壓、無源元件 電感L用 表示；,電感C用 表示；電阻R不變),下面的計算與電路分析中的方法也一樣。本例由分壓公式，得,得響應(yīng)傅氏變換與激勵傅氏變換之比，為,注意：系統(tǒng)函數(shù)的定義是:,可見，如果已知電路，可不必先求得微分方程；然后再求沖激響應(yīng)；最后求得系統(tǒng)函數(shù)。而可以直接求得 。當(dāng)然，通過 還能得到微分方程。,響應(yīng)傅氏變換與激勵傅氏變換之比。,三. 系統(tǒng)的頻率特性,總稱系統(tǒng)的頻率特性,可見，系統(tǒng) 的頻率特性與實信號的頻譜密度函數(shù)的特性相類似。,即：幅頻特性是偶函數(shù)；

7、相頻特性是奇函數(shù)。,但也有不相同的地方：系統(tǒng)帶寬(不同于信號帶寬)一般定義為 等于 最大值的 處的頻率為 (稱為半功率點頻率，或截止頻率或 3 分貝頻率)作為系統(tǒng)帶寬的根據(jù)。,如系統(tǒng)為低通濾波器時系統(tǒng)帶寬為 等等。,由公式,可以清楚的看到：,響應(yīng)的頻譜取決于激勵的頻譜和系統(tǒng)的頻率特性 。,例：RC低通濾波器,式中 。通帶寬度為 。,幅度頻譜為,相位頻譜為,顯然，激勵頻譜分別為,在頻域中很容易判定失真的大小,傅氏分析法與卷積分析法比較,相同之處：都是對信號作單元信號的分解，求取系統(tǒng)在各個單元信號作用下的響應(yīng)，然后再進(jìn)行疊加。,不同之處：分解的單元信號不同，前者是求響應(yīng)的變換域的方法，后者是求響應(yīng)

8、的時域積分的方法。卷積運算稍顯麻煩，而傅氏分析法，則計算比較簡便。,例：某系統(tǒng)的微分方程為,試求全響應(yīng)。,該系統(tǒng)的齊次微分方程為,零輸入響應(yīng)的通解為,求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t),很明顯，激勵信號是周期信號，其基波頻率為5,解：取輸入信號的傅氏變換得,取上式的傅里葉反變換，得,可見，輸入信號通過系統(tǒng)后，直流分量不變，基波分量幅度衰減為一半，且相移90度，二次諧波分量被完全濾除。,例子也說明通過頻域分析使問題的解決變得非常容易。,例：已知,求：1. 2. 3.,解：畫頻域等效圖；,得,反變換，得,如果用時域求解：,如果用頻域求解：,頻域分析法小結(jié)：,1.只能求零狀態(tài)響應(yīng)；(由傅氏變換定義，無法表示初始條

9、件),2.反變換有時不太容易;(如激勵是 ) 故一般情況下求到 就為止了。,3.從頻域的觀點來看，激勵與響應(yīng)的差異概念十分清楚；,4.可以用代數(shù)方程代替微分方程卷積求解。, 用傅氏分析法要注意的一點：,如,兩邊傅氏變換，得,本來是因果系統(tǒng)，結(jié)果卻是非因果的響應(yīng)。原因是上述過程隱含,即，上式只能得到,其實：,上述等式都成立。這里，取A1。即得,即：系統(tǒng)分析時，要盡量滿足響應(yīng)是因果的。,部分分式展開法注意點：需展開的分式必須是真分式。如,得,最后得,3-9 信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器,下式顯示了輸入信號通過系統(tǒng)后頻譜的變化。,用極坐標(biāo)表示：,一般情況下，輸出信號與輸入信號波形不同。,如前面討論的

10、低通濾波器，它的幅度頻譜隨著頻率的增加而減少；相位頻譜也是一條通過原點的曲線。,1.幅度失真；,2.相位失真。,一般地，信號通過線性系統(tǒng)引起的失真稱為線性失真。,3.9.1 無失真?zhèn)鬏?如果輸出信號和輸入信號之間的幅度成一定的倍數(shù)，波形保持相同，允許保持一定的延時，這種傳輸叫無失真?zhèn)鬏敗?有時要求輸出信號重現(xiàn)輸入波形，沒有失真。,無失真?zhèn)鬏?無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)時域表示：,上式的傅里葉變換為(無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)時域表示),系統(tǒng)函數(shù)為,無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足的兩個條件：,3.9.2 理想濾波器,理想濾波器能在某一頻帶內(nèi)無畸變地傳輸信號并抑制其它頻譜分量。,理想濾波器的沖激響應(yīng),理想低通與理想系統(tǒng)相比，通帶不

11、為無限大。故稱為“帶限系統(tǒng)”。,如果輸入是一個有限帶寬(即小于 )的信號,下面討論理想低通的單位沖激響應(yīng)：,方法一：利用傅氏變換定義來做：,由對稱性：,方法二：利用傅氏變換性質(zhì)來做：,由變換對：,最后考慮時移因子，得,定義：上升時間，為,可見，系統(tǒng)失真了。,再討論其階躍響應(yīng)：,顯然，上升時間與理想低通的帶寬成反比。,S,顯然失真了。,信號通過的即使是理想低通濾波器，也有可能產(chǎn)生失真。失真的大小取決于：,1.理想系統(tǒng)的帶寬； 2.輸入信號的帶寬。,推廣：理想高通濾波器、理想帶通濾波器等等。 它們都是非因果系統(tǒng)。,從頻域的角度來證明理想濾波器的非因果性是十分方便的。,工程上為了方便，還是經(jīng)常用理想

12、系統(tǒng)討論問題。,理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，物理上是不可實現(xiàn)的。實際濾波器或稱物理可實現(xiàn)的濾波器必須首先滿足 時，沖激響應(yīng)為零。,例：已知系統(tǒng)圖，試畫出A,B,C和D點的頻譜。,解：,由卷積定理,例：某線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng),基本變換對：,由變換對：,3.11 取樣定理 (只講時域取樣定理),根據(jù)調(diào)制定理，可以把信號搬移到不同的頻段來實現(xiàn)“頻分多路通信”。（頻分復(fù)用）,可以想象：連續(xù)信號是否能不全部傳輸?shù)綄Ψ?，而仍然保留“信號的全部信息”?以兩路信號的傳輸為例，說明“時分多路通信”是可能的。,(時分復(fù)用),(這也是引入離散信號的基礎(chǔ)),一. 取樣與取樣信號,利用取樣脈沖序列 從連續(xù)時間信號

13、 中抽取一系列離散的樣值的過程稱為取樣。,取樣后得到的離散信號稱之為取樣信號。,直觀取樣的例子：,開關(guān) 周期地來回動作（等間隔取樣）,開關(guān)接觸 1 的時間；,開關(guān)轉(zhuǎn)換周期。,用數(shù)學(xué)表達(dá)：,取樣脈沖,(時域相乘)的結(jié)果,相當(dāng)于通過一個乘法器,二.理想取樣,由頻域卷積定理,由于這時響應(yīng)信號的頻譜沒有被破壞，從頻域的觀點，它沒有丟失原信號的任何信息。,當(dāng)取樣頻率 大于或等于信號帶寬的兩倍，可從 這恢復(fù)原信號。,定義,為奈奎斯特取樣率。,三.自然取樣,用矩形脈沖序列代替理想沖激序列。,由頻域卷積定理,時域取樣定理,可見，取樣定理必須滿足兩個條件：,一個在 頻譜區(qū)間( )以外為零的頻帶有限信號(帶限信號

14、) ，可以唯一地由其均勻時 間間隔 上的取樣值 確定。,2. 取樣頻率不能過低，必須滿足 。,與時域相對應(yīng)，還有頻域取樣定理。,根據(jù) 時域與頻域的對稱性,取樣定理同時也說明了時域中不易解決的問題頻域中很容易得到嚴(yán)格的證明。,三. 重新恢復(fù)過程(信號 的又一種疊加形式),取樣后的信號如果通過嚴(yán)格理想低通濾波器。就可以恢復(fù)原信號。,在頻域中乘一個門函數(shù)，這里假設(shè)是理想取樣，得,得,在時域中：,用 代入,所以，,這里,得,得,可見，任意信號可以分解為無窮多個取樣函數(shù)的代數(shù)和。,若用取樣序列 對信號 進(jìn)行取樣，得取樣信號 ，求,的頻譜 ； 并畫出其頻譜圖。,若用取樣序列 分別對信號 和 進(jìn)行取樣，試分別畫 出取樣信號 和 的頻譜。,例：若下列信號被取樣，求奈奎斯特取樣頻率,(2)時域相乘相當(dāng)于頻域卷積，頻帶展寬1倍。,解