1、2020/7/30,2-1-1,第二章 隨機變量及其分布,1 離散型隨機變量的概率分布 2 隨機變量的分布函數(shù) 3 連續(xù)型隨機變量的概率密度 4 隨機變量的函數(shù)的分布,2020/7/30,2-1-2,2 .1 離散型隨機變量及其分布,隨機變量的概念,離散型隨機變量的概念及分布,一些常用的離散型隨機變量,2020/7/30,2-1-3,一. 隨機變量的概念：,例如：1.拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，反面兩種結果，于是 =正，反，規(guī)定：,2.某工廠產(chǎn)品分為一等，二等，三等，等外。于是 =一等，二等，三等，等外，若規(guī)定：,2020/7/30,2-1-4,3 .在上午 8:009:00 時間段內某路口觀

2、察通過的汽 車數(shù)，可能是0，1，2，3，于是 =0，1，2， 3，規(guī)定：,4 .燈泡的壽命（單位：秒），可能的壽命t是大于等 于0,于是 =t:t0，規(guī)定：,以上四例的共同點是：對于樣本空間中的每一個樣 本點e均標以一個實數(shù)，即確定了一個定義在樣本空 間上的變量隨機變量。,2020/7/30,2-1-5,定義：設有隨機試驗E的樣本空間 ，如果對于樣本空間中的每一個樣本點e都對應一個確定的實數(shù)X(e)，由此確定的一個定義在上的單值函數(shù)：X=X(e),稱此為隨機變量。一般用大寫字母X,Y,Z,說明 隨機變量與高等數(shù)學中函數(shù)的概念不同。,1.隨機變量定義在樣本空間上，函數(shù)定義在實數(shù)上。,2.隨機變量

3、取值具有隨機性，因試驗的結果不同而取值不同，其每個可能的取值均對應一定的概率，但取值范圍是確定的。,3.隨機事件是由樣本點構成的集合，故可說隨機變量是隨機事件基礎上的一個概念。,2020/7/30,2-1-6,說明：定義隨機變量依問題的需要而定，如擲一 枚骰子， 我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點 數(shù)我們可以定義其隨機變量為：,2020/7/30,2-1-7,定義:設有隨機試驗E的樣本空間，如果對于樣本 空間中的每一個樣本點e都以一定的概率確定一個 實數(shù)X(e)，此時所確定的定義在上的單值函數(shù)： X=X(e),稱為隨機變量。,對于每個試驗的結果的出現(xiàn)均有一定的概率,因 而隨機變量的取值有一定概率

4、.,隨機變量根據(jù)取值可分為離散型隨機變量與非離 散型隨機變量。,2020/7/30,2-1-8,二、離散型隨機變量的概念及分布,1. 離散型隨機變量的定義,定義 如果隨機變量X的取值是有限個或可列無窮 個，則稱X為離散型隨機變量,設離散型隨機變量X的所有可能取值為,其相應的概率為 ：,2020/7/30,2-1-9,2.離散型隨機變量的概率分布,設離散型隨機變量 X 的所有可能取值為,其相應的概率為 ：,稱 為離散型隨機變量X的 概率函數(shù)或概率分布,公式可以用表格形式給出,離散型隨機變量 X 的分布律,2020/7/30,2-1-10,由定義得:,必然事件的概率等于1,2.一個離散型隨機變量的

5、統(tǒng)計規(guī)律須知道X的所有可能取值及每一個可能取值的概率。,說明： 1.判斷一個變量是否為隨機變量只需驗證這兩條。,2020/7/30,2-1-11,例1 設隨機變量 X 的分布律為,解：由分布律的性質，得,所以, c = 3,級數(shù)為等比級數(shù),2020/7/30,2-1-12,例2 將 1 枚硬幣擲 3 次，令X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反 面次數(shù)之差試求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值為,-3， - 1，1，3,其分布律為,2020/7/30,2-1-13,例3 設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信 號燈以概率p禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時，它已通過 的信號燈

6、的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號燈的工作是相互獨立的).,PX=3,=(1-p)3p,解： 以 p 表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率,于是 X 的概率分布為：,PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3,以 p = 1/2 代入得：,PX= 4 = (1-p)4,X 的可能取值是0,1,2,3,4,2020/7/30,2-1-14,三、常用的離散型隨機變量,1. Bernoulli分布,設隨機變量X的取值只是0，1，其概率函數(shù)為,則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布,其分布律為：,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點分布,2020/7/30,2-1-1

7、5,Bernoulli分布的概率背景,進行一次Bernoulli試驗， A是隨機事件。設：,設X 表示這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者設,2020/7/30,2-1-16,2. n重Bernoulli試驗、二 項 分 布,(1)n重獨立隨機試驗,(2) n重Bernoulli試驗,設有隨機試驗E ，將試驗E重復獨立進行n次，即對試驗 E重復進行n次，每次試驗的結果出現(xiàn)的概率均不依賴于其他 各次試驗結果。稱這一系列試驗為n重獨立試驗。,設有n重獨立隨機試驗,如果每次試驗E的結果僅有可能的 結果：A與 ，則稱這一系列試驗為n重Bernoulli試驗。,2020/7/30,2-1-

8、17,n 次相互獨立試驗的例子,擲 n 次硬幣，可看作是 n 次獨立試驗； 在一批產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進行檢驗，可看作是 n 次獨立試驗； 觀察 n 個元件的使用壽命，可看作是 n 次獨立試驗 擲一顆骰子n次，有六種結果但如果我們只關心出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲一顆骰子”可以作n重是Bernoulli試驗。,2020/7/30,2-1-18,(3) n重Bernoulli 試驗中成功恰好出現(xiàn)k次的概率,定理：設在 n 重Bernoulli 試驗中，,事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為：,證明：在 n 重Bernoulli 試驗中，事件A出現(xiàn)k次，則 出現(xiàn),n-k次，而在 n 次

9、試驗中，事件A出現(xiàn)k次，則 出現(xiàn)n-k次,共有 種排列次序，所對應的概率為：,2020/7/30,2-1-19,令X表示事件A在n重Bernoulli試驗中出現(xiàn)次數(shù), 事件A在n 重Bernoulli試驗中至多出現(xiàn)m次的概率,事件A在n重Bernoulli試驗中出現(xiàn)的次數(shù)不少于m次的概率,2020/7/30,2-1-20,定義：如果隨機變量 X 的分布律為, 0p1及自然數(shù)n , 由二項式定理，,是某個隨機變量的概率分布,說 明：Bernoulli 分布是二項分布的特例,當 n=1 時,2020/7/30,2-1-21,例4 某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗某種新藥是否有效，他事先制

10、定了一個決策規(guī)則：把這藥給10個病人服用，如果這10病人中至少有4個人痊愈，則認為新藥有效；反之，則認為新藥無效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通過試驗卻被否定的概率 新藥完全無效，但通過試驗卻被判為有效的概率,解： 給10個病人服藥可看作是一個10重Bernoulli試驗,令:A=某病人痊愈,P(A)=0.35,2020/7/30,2-1-22, 由于新藥無效，則,此時若肯定新藥，只有在試驗中至少有4人痊愈因此, 若新藥有效，則此時若否定新藥，只有在試驗中不到4人痊 愈因此,2020/7/30,2-1-23,例5 一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件試求下列 事件的概率

11、： B= 取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品 C= 取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品 ,可近似看作是15重Bernoulli試驗,解：,所以，,從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品,每件或是次品,或是合格品.,A=取出一件為次品,P(A)=0.1,一批產(chǎn)品可認為數(shù)目比較大.,2020/7/30,2-1-24,例 6 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其 中只有一個答案是正確的某學生靠猜測能答對4道題以上的 概率是多少？,答5道題相當于做5重Bernoulli試驗,解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，,所以，,2020/7/30,2-1-25,例 7 某人在相同的條件下，相互獨立地

12、向目標射擊5次，每次 擊中目標的概率為0.6,求擊中目標次數(shù)X的分布率，并求至少三 次擊中目標的概率。,解：若用X表示擊中目標的次數(shù)，X可能取值為0，1，2，3， 4，5，則XB(5,0.6),每次射擊目標一次相當于做一次Bernoulli試驗，5次射擊相互獨立,2020/7/30,2-1-26,二項分布的分布形態(tài),則二項分布的分布率 先是隨,著 k 的增加而增大，達到其最大值后再隨著k 的增大而減少 此時稱使PX=k 最大的 為二項分布的最可能值。,可以證明：,2020/7/30,2-1-27,3. Poisson 分布,如果隨機變量X 的分布律為,則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisso

13、n 分布, 由于0,可知對任意的自然數(shù) k，有, 又由于,是某個隨機變量的概率分布,2020/7/30,2-1-28,如果隨機變量X 的分布律為,試確定未知常數(shù)c .,例8,由分布率的性質有,解：,2020/7/30,2-1-29,例 9 設隨機變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知,解：隨機變量 X 的分布律為,由已知,解方程,于是,2020/7/30,2-1-30,Poisson 定理： n重Bernoulli試驗中，用表示pn事件A在試驗中發(fā)生的概率，它與試驗的總次數(shù)n有關，如果,2020/7/30,2-1-31,例10 設每次射擊命中目標的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求

14、至 少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）,解：,2020/7/30,2-1-32,例 11 保險公司售出某種壽險（一年）保單2500份.每單交保費100元，當被保人一年內死亡時，家屬可從保險公司獲得2萬的賠償.若此類被保人一年內死亡的概率為0.001，求 （1）保險公司虧本的概率； （2）保險公司獲利不少于10萬元的概率.,解：設此類被保人一年內死亡的人數(shù)為 X ，則,（1）P(保險公司虧本),（2）P(保險公司獲利不少于10萬元),2020/7/30,2-1-33,4）幾 何 分 布,若隨機變量 X 的分布律為,顯然，, 由條件, 由條件可知,于是知 是一分布律,2020/7/30,2-1-34,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗中，,試驗進行到 A 首次出現(xiàn)為止,即,2020/7/30,2-1-35,例 12,對同一目標進行射擊，設每次射擊時的命中率為 0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令 X：所需射擊 次數(shù) 試求隨機 變量 X 的分布律，并求至少進行2次 射擊才能擊中目標的概率 解：,2020/7/30,2-1-36,5