1、7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識梳理1空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類 (2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：.(3)等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系3必記結(jié)論(1)唯一性定理過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(2)異面直線的判定定理平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線與

2、平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線互為異面直線診斷自測1概念思辨(1)兩兩相交的三條直線最少可以確定三個(gè)平面()(2)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合()(3)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線()(4)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說，相交于過A點(diǎn)的任意一條直線()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P52B組T1(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A30 B45C60 D90答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角又B1D1B

3、1CD1C，所以D1B1C60.故選C.(2)(必修A2P63B組T1)在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PC，PB的中點(diǎn)，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為_，平面AEF與平面ABCD的交線是_答案平行AD解析E，F(xiàn)分別為PC，PB中點(diǎn)，所以EFBC，又BCAD.所以EFAD，而AD平面PAD，EF平面PAD.所以EF平面PAD.由上述推證易得兩面交線為AD.3小題熱身(1)(2016山東高考)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析由題意

4、知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A.(2)(2017廣東五校聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確命題的序號是_答案解析對于，當(dāng)兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，分別位于這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線未必垂直，因此不正確；對于，若m，mn，則n或n，又n，由面面垂直的判定定理得到結(jié)論，可知正確；對于，分別與兩條平行直線平行的兩個(gè)平面未必平

5、行，因此不正確；對于，由n得在平面內(nèi)必存在直線n1平行于直線n；由m，得m，mn1；又n1n，因此有mn，正確綜上所述，所有正確命題的序號是.題型1平面的基本性質(zhì)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ (1)用直接法；(2)納入平面法解(1)證明：由已知FGGA，F(xiàn)HHD，得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)由BE綊AF，G為FA中點(diǎn)，知BE綊GF，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EFBG.由(1)知BGCH

6、，所以EFCH.所以EF與CH共面，又DFH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面結(jié)論探究若典例中條件不變，證明：FE，AB，DC交于一點(diǎn)證明由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形，ECHF，且ECDF，四邊形ECDF為梯形FE，DC交于一點(diǎn)，設(shè)FEDCM.MFE，F(xiàn)E平面BAFE，M平面BAFE.同理M平面BADC.又平面BAFE平面BADCBA，MBA，F(xiàn)E，AB，DC交于一點(diǎn)方法技巧1證明點(diǎn)共面或線共面的常用方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)如典例(2)(3)輔助平面法

7、：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合2證明空間點(diǎn)共線問題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上3證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)如本典例中的結(jié)論探究沖關(guān)針對訓(xùn)練如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線證明(1)E，F(xiàn)分別為AB，AD

8、的中點(diǎn)，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三點(diǎn)共線題型2空間兩直線的位置關(guān)系(2018金華模擬)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)可利用定義判斷不同在任一平面內(nèi)，從而說明兩直線異面答案解析在圖中，直線GHMN；在圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，NGH，因此直線GH與MN異面；在圖中，連接GM，GMHN，因此GH與MN

9、共面；在圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH與MN異面所以在圖中GH與MN異面方法技巧異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2017武漢調(diào)研)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個(gè)命題：若aM，bM，則ab或a，b相交或a，b異面；若bM，ab，則aM；若ac，bc，則ab；若aM，bM，則ab.其中正確的為()A B C D答案A解析

10、對于，當(dāng)aM，bM時(shí)，則a與b平行、相交或異面，為真命題中，bM，ab，則aM或aM，為假命題命題中，a與b相交、平行或異面，為假命題由線面垂直的性質(zhì)，命題為真命題，所以，為真命題故選A.2(2017上饒模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)P，Q，R分別是線段B1B，AB和A1C上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線CP與D1Q，CP與D1R，給出下列結(jié)論：對于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)Q，使得D1QCP；對于任意給定的點(diǎn)Q，存在點(diǎn)P，使得CPD1Q；對于任意給定的點(diǎn)R，存在點(diǎn)P，使得CPD1R；對于任意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)R，使得D1RCP.其中正確的結(jié)論是_答案解析只有D1Q平面BCC1B1時(shí)才能滿足對于任

11、意給定的點(diǎn)P，存在點(diǎn)Q使D1QCP，而過D1只有D1C1平面BCC1B1故錯(cuò)誤；正確，當(dāng)P與B1重合時(shí)，CP平面ABD1.故此時(shí)Q具有任意性；當(dāng)R與A1重合時(shí)，在線段BB1上不存在點(diǎn)P，使CPD1R，故錯(cuò)誤； 如圖所示：對任意的點(diǎn)P，在AA1上存在P1使得DP1CP，過點(diǎn)D1作D1R1，使得D1R1DP1且交A1D于點(diǎn)R1，作RR1CD交A1C于點(diǎn)R，則RR1平面ADD1A1，所以RR1DP1，又D1R1DP1，則DP1平面D1R1R，即CP平面D1R1R，故D1RCP，故正確題型3異面直線所成的角(2014全國卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)

12、，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D.異面直線所成角問題轉(zhuǎn)化為共面直線所成角的問題，注意平移法答案C解析取BC的中點(diǎn)Q，連接QN，AQ，易知BMQN，則ANQ或其補(bǔ)角即為所求，設(shè)BCCACC12，則AQ，AN，QN，cosANQ.故選C.正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求直線DB1與EF所成的角本題采用補(bǔ)形法，然后平移直線解如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1右側(cè)作正方體BB2C2CB1A2D2C1.連接B1D2，DD2在DB1D2中，DB1a，B1D2a.DD2a.DDDBB1D.DB1與B1D2的夾角為

13、90.又EFB1D2，直線DB1與EF所成的角為90.方法技巧求異面直線所成角的步驟1作：通過作平行線，得到相交直線2證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)3求：解三角形，求作出的角沖關(guān)針對訓(xùn)練(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A. B. C. D.答案A解析如圖，過點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCDA1B1C1D1相同棱長的正方體，易知m，n所成角為EAF1，因?yàn)镋AF1為正三角形，所以sinEAF1sin60，故選A.1.(2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，A

14、BC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角 ，所以cos.故選C.2(2018山西四校聯(lián)考)如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)N在正方體的底面ABC

15、D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是 ()A4 B C2 D.答案D解析當(dāng)點(diǎn)M不與D1，D重合時(shí)，連接DN，則MDN為直角三角形，在RtMDN中，MN2，P為MN的中點(diǎn)，連接DP，則DP1，所以點(diǎn)P在以D為球心，1為半徑的球面上(經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M與點(diǎn)D1或D重合時(shí)也滿足該結(jié)論)，又因?yàn)辄c(diǎn)P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S4R2.故選D.3(2017安徽安慶二模)正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)，則異面直線AF，CE所成角的余弦值為_答案解析如圖，取BF的中點(diǎn)G，連接CG，EG，易知EGAF，所以異面直線AF、CE所成的角即為GEC(或其補(bǔ)

16、角)不妨設(shè)正四面體棱長為2，易求得CE，EG，CG，由余弦定理推論，得cosGEC，異面直線AF，CE所成角的余弦值為.4(2017湖北武漢武昌調(diào)研)在矩形ABCD中，ABBC，這與已知矛盾，所以不正確 基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析對于A，m與l可能平行或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，D，m與n可能平行、相交或異面，故B，D錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)閚，l，所以nl，故C正確故選C.2若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2

17、，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn)l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1l2，l2l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；l1l2，l2l3l1l3，故B正確；當(dāng)l1l2l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確故選B.3(2016雅安期末)已知正方體ABCDA1B1C1D1，則過點(diǎn)A與AB，BC，CC1所成角均相等的直線有()A1條 B2條 C4條 D無數(shù)條答案C解析若直線和AB，BC所成角相等，得直線在對角面BDD1B1內(nèi)或者和

18、對角面平行，同時(shí)和CC1所成角相等，此時(shí)在對角面內(nèi)只有體對角線BD1滿足條件此時(shí)過A的直線和BD1平行即可，同理體對角線A1C，AC1，DB1也滿足條件則過點(diǎn)A與AB，BC，CC1所成角均相等的直線只要和四條體對角線平行即可，共有4條故選C.4(2017寧德期末)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為()A0 B45C60 D90答案D解析如圖，把正方體的平面展開圖還原成正方體ADNECMFB，CDBN，CDAM，AMBN，在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為90.故選D.5如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12A

19、B，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，設(shè)AB1，則AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.故選D.6(2018江西景德鎮(zhèn)模擬)將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線AD折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A相交且垂直 B相交但不垂直C異面且垂直 D異面但不垂直答案C解析在題圖1中，ADBC，故在題圖2中，ADBD，ADDC，又因?yàn)锽DDCD，所以AD平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC

20、上，所以ADBC，且AD與BC異面故選C.7(2017河北唐山模擬)已知P是ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，若MNBC4，PA4，則異面直線PA與MN所成角的大小是 ()A30 B45 C60 D90答案A解析取AC的中點(diǎn)O，連接OM，ON，則ONAP, ONAP, OMBC, OMBC，所以異面直線PA與MN所成的角為ONM(或其補(bǔ)角)，在ONM中，OM2，ON2，MN4，由勾股定理的逆定理得OMON，則ONM30.故選A.8如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么mn()A8

21、B9 C10 D11答案A解析如圖，CE平面ABPQ，從而CE平面A1B1P1Q1，易知CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，m4；EF平面BPP1B1，EF平面AQQ1A1，且EF與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，n4，故mn8.故選A.9下列各圖是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是()答案D解析在A中易證PSQR，P，Q，R，S四點(diǎn)共面在C中易證PQSR，P，Q，R，S四點(diǎn)共面在D中，QR平面ABC，PS面ABCP且PQR，直線PS與QR為異面直線P，Q，R，S四點(diǎn)不共面在B中P，Q，R，S四點(diǎn)共面，證明如下：取BC中點(diǎn)N，可證PS，NR交于直線

22、B1C1上一點(diǎn)，P，N，R，S四點(diǎn)共面，設(shè)為，可證PSQN，P，Q，N，S四點(diǎn)共面，設(shè)為.，都經(jīng)過P，N，S三點(diǎn)，與重合，P，Q，R，S四點(diǎn)共面故選D.10(2018廣東惠州三調(diào))如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案B解析將展開圖還原為幾何體(如圖)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以EFADBC，則直線BE與CF共面，錯(cuò)誤；因?yàn)锳F平面PAD，

23、B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線，正確；因?yàn)镋FADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，錯(cuò)誤故選B.二、填空題11如圖所示，是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60角；DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是_答案解析如圖所示，把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，顯然BM與ED為異面直線，故命題不成立；而CN與BE平行，故命題不成立BECN，CN與BM所成角為MBE.MBE60，故正確；BC面CDNM，BCDM，又DMNC，DM面BCN，DMB

24、N，故正確，故填.12(2017仙桃期末)在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若ACBD2，且AC與BD成60，則四邊形EFGH的面積為_答案解析如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EHFGBD, EHFGBD1.四邊形EFGH是平行四邊形，同理可得EFGHAC1，四邊形EFGH是菱形AC與BD成60，F(xiàn)EH60或120.四邊形EFGH的面積2EF2sin60.13(2018湖北武昌調(diào)研)若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即ABCD，ACBD，ADBC，則_(寫出所有正確結(jié)論的編號)四面體ABCD每組對棱相互垂直；四面體ABCD每

25、個(gè)面的面積相等；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180；連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長答案解析對于，把四面體ABCD放置在如圖所示的長方體中，顯然命題錯(cuò)誤；對于，因四個(gè)面對應(yīng)的三角形的三邊分別對應(yīng)相等，即它們?yōu)槿鹊娜切?，所以正確；對于，當(dāng)四面體ABCD為正四面體時(shí)，夾角之和等于180，所以錯(cuò)誤；對于，因每組對棱中點(diǎn)的連線分別與長方體的棱平行，且都經(jīng)過長方體的中心，所以正確；又命題顯然成立，故填.14如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成正四面體PDEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為_答案解析折成的正四面體，如圖，連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，PK，則GKD