1、82兩條直線的位置關(guān)系 知識(shí)梳理1兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系2三種距離3常用的直線系方程(1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC)(2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAym0(mR)(3)過直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.診斷自測1概念思辨(1)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(2)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(3)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B

2、2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P89A組T1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)(a2，1)和(a2,1)，且與經(jīng)過點(diǎn)(2,1)、斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是()A B C. D.答案A解析由于直線l與經(jīng)過點(diǎn)(2,1)的斜率為的直線垂直，可知a2a2.因?yàn)橹本€l的斜率k1，所以1，所以a.故選A.(2)(必修A2P101A組T11)已知直線l：xy10，l1：2xy20，若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則l2的方程是()Ax2y1

3、0 Bx2y10Cxy10 Dx2y10答案B解析求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，任取l1上一點(diǎn)(2,2)，求出其關(guān)于直線xy10的對(duì)稱點(diǎn)為(3,1)，之后利用兩點(diǎn)式求出l2的方程為x2y10.故選B.3小題熱身(1)設(shè)aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)l1l2時(shí)，得，解得a1或a2，代入檢驗(yàn)符合，當(dāng)a1時(shí)，易知l1l2，“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件，故選A.(2)(2017廣州模擬)直線x2y10關(guān)于x1對(duì)稱的直線方程是()Ax2y10 B2xy1

4、0C2xy30 Dx2y30答案D解析由題意得直線x2y10與x1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，又直線x2y10上的點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線x1對(duì)稱的點(diǎn)為(3,0)，所以由直線方程兩點(diǎn)式，得，即x2y30.故選D.題型1兩直線的平行與垂直已知兩條直線l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，則a等于()A1 B2 C0或2 D1或2分類討論法答案D解析若a0，兩直線方程分別為x2y10和x3，此時(shí)兩直線相交，不平行，所以a0；當(dāng)a0時(shí)，兩直線平行，則有，解得a1或2.故選D.已知經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)Q(a，2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_

5、分類討論法答案1或0解析l1的斜率k1a.當(dāng)a0時(shí)，l2的斜率k2.因?yàn)閘1l2，所以k1k21，即a1，解得a1.當(dāng)a0時(shí)，P(0，1)，Q(0,0)，這時(shí)直線l2為y軸，A(2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為1或0.方法技巧研究兩直線平行與垂直關(guān)系的解題策略1已知兩直線的斜率存在(1)兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等；(2)兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.2當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練

6、1(2018寧夏銀川九中模擬)已知b0，直線(b21)xay20與直線xb2y10垂直，則ab的最小值為()A1 B2 C2 D2答案B解析由已知兩直線垂直，得(b21)ab20，即ab2b21，又b0，abb.由基本不等式得b2 2，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)等號(hào)成立，(ab)min2.故選B.2(2017西安模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_答案25解析由兩直線平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)1313225，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時(shí)取等號(hào)，故2a3b的最小值為25.題型2兩條直線相交及距離問題(2

7、018福建廈門聯(lián)考)“C5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件直接求滿足條件的C的取值再判定答案B解析點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3等價(jià)于3，解得C5或C25，所以“C5”是“點(diǎn)(2,1)到直線3x4yC0的距離為3”的充分不必要條件，故選B.已知直線ykx2k1與直線yx2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_畫出直線yx2，分析直線系ykx2k1動(dòng)態(tài)思考答案解析如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4，0)，B(0,2)而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點(diǎn)

8、P(2,1)，斜率為k的動(dòng)直線兩直線的交點(diǎn)在第一象限，兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn))，動(dòng)直線的斜率k需滿足kPAkkPB.kPA，kPB.k0)，若在直線l：xy90上存在點(diǎn)P，使得PAPB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,3) B(0,4)C3，) D4，)答案C解析設(shè)P(x，y)，則kPA，kPB，由已知可得消去x得4y216y63m22m0，由題意得解得m3.故選C.8(2017湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為()A4x3y90 B4x3y90C3x4y90 D3x4y90答案A解析由方程組解得即交點(diǎn)為.所求直

9、線與直線3x4y70垂直，所求直線的斜率為k.由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y，即4x3y90.故選A.9(2017湖南岳陽二模)已知?jiǎng)又本€l：axbyc20(a0，c0)恒過點(diǎn)P(1，m)且Q(4,0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，則的最小值為()A. B. C1 D9答案B解析因?yàn)閯?dòng)直線l：axbyc20(a0，c0)恒過點(diǎn)P(1，m)，所以abmc20，又因?yàn)镼(4,0)到動(dòng)直線l的最大距離為3，所以3，解得m0.所以ac2，則(ac)，當(dāng)且僅當(dāng)c2a時(shí)取等號(hào)，故選B.10(2016四川高考)設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與

10、y軸相交于點(diǎn)A，B，則PAB的面積的取值范圍是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案A解析設(shè)l1是yln x(0x1)的切線，切點(diǎn)P2(x2，y2)，l1：yy1(xx1)，l2：yy2(xx2)，得xP，易知A(0，y11)，B(0，y21)，l1l2，1，x1x21，SPAB|AB|xP|y1y22|，又0x11，x1x21，x1x222，0SPAB0)，則|PN|x0，|PM|，因此|PM|PN|1，即|PM|PN|為定值(2)直線PM的方程為yx0(xx0)，即yx2x0，解方程組得xyx0.所以|OM|.連接OP，S四邊形OMPNSNPOSOPM|PN|ON|PM|

11、OM|x01，當(dāng)且僅當(dāng)x0，即x01時(shí)等號(hào)成立，因此四邊形OMPN面積的最小值為1.17已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值：(1)l1l2，且l1過點(diǎn)(3，1)；(2)l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過點(diǎn)(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此種情況不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1過點(diǎn)(3，1)，3ab40.由聯(lián)立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在且l1l2，直線l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1l2，l1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即b，聯(lián)立，解得或a2，b2或a，b2.18已知直線l經(jīng)過直線2xy50與x2y0的