1、角 平 分 線,匯泉學(xué)校 李麗,請在紙上畫一個角，你能不利用工具很快將這個角分成兩個相等的角嗎？你有什么辦法？,再打開紙片 ，看看折痕與這個角有何關(guān)系？,（對折）,情境問題,一、,請用尺規(guī)作AOB角平分線,（）分別以M，N為圓心大于MN一半的長為半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于C,（3）作射線 則射線OC即為所作。,A,B,()以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N,想一想：為什么OC是角平分線呢？,已知：OM=ON，MC=NC. 求證：OC平分AOB.,證明：連接 CM，CN 在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMCONC （SSS） MOC=NOC

2、 即：OC平分AOB,A,B,還記得角平分線上的點具有什么性質(zhì)嗎？,(1)實驗：將AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？,得出:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,二、,證明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分線的定義） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 在PDO和PEO中, PDO= PEO（已證） 1= 2 （已證） OP=OP （公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）,已知：如圖，OC平分AOB，點P在OC上，PDOA于點D，PEOB于點E 求證: P

3、D=PE,（2）證明：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,符號語言：, 1= 2, PD OA， PE OB PD=PE,(3)得到角平分線的性質(zhì)：,角平分線上的點到角兩邊的距離相等。,1、判斷正誤，并說明理由： （1）如圖1，P在射線OC上，PEOA，PFOB，則PE=PF. ( ) （2）如圖2，P是AOB的平分線OC上的一點，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF.( ),隨堂練習(xí),2、如圖，在RtABC 中，,角平分線的性質(zhì)，為我們證明兩條線段相等 又提供了新的方法與途徑。,A,B,C,C90,BD是角平分線 ，,DEAB，垂足為E，,E,DE與DC 相等嗎？,答：,DE=DC。,

4、 BD是ABC的平分線,且DEBA，, DE=DC。,為什么？,DCBC，,3、如圖，E是AOB的角平分線OC上的一點， EMOB垂足為M，且EM=3cm，求點E 到OA的距離,分析：點E 到OA的距離是過點E作OA的垂線段，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，可知點E到OA的距離。,解：過E作ENOA垂足為N E是AOB的角平分線上的一點， EMOB， ENOA， EM=EN 又 EM=3cm， EN=3cm 即點E 到OA的距離為3cm。,E,課堂練習(xí),M,3cm,4、已知：OD平分AOB,在OA,OB邊上取OAOB,PMBD,PNAD. 求證：PMPN,O,B,D,M,N,A,1,2,3,4,P,通

5、過以上練習(xí)你有什么收獲?,1、定理的應(yīng)用有兩個條件，缺什么就求證什么。 2、有“角平分線”常見的輔助線就是向角兩邊作垂線段。 3、在證明邊相等的問題時可以不用證明全等而直接用該定理，該定理為我們證明邊相等提供了思路。,已知：如圖,P為角內(nèi)一點且PDOA，PEOB， 點D、E為垂足，PDPE 求證：點P在AOB的平分線上,PDOA，PEOB，,在Rt PDO 與Rt PEO中,PDO= PEO=900,PD=PE（已知）,OP=OP（公共邊）,RtPDO Rt PDO(HL),1=2 即點P在AOB的平分線上,角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。,逆命題,在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相

6、等的點，在這個角的平分線上.,三、,證明：過點O、P作射線OC,符號語言：, PD OA， PE OB且 PD=PE 點P在AOB的平分線上,得到角平分線的判定定理,在一個角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.,P,O,B,A,A,C,B,E,D,P,M,H,K,如圖，在ABC的 頂點 B的外角的平分線BD與 頂點 C的外角的平分線CE相交于點P 求證：點到三邊AB、BC、AC的距離相等,證明：過點P作PM、PK、 PH分別垂直于AB、BC、AC，垂足為M、K、H。 BD平分CBM PKPM 同理PKPH PKPMPH 即點P到三邊AB、BC、AC的距離相等,若求證點P在BAC的平分線上，又該如何證明呢？,感悟與收獲,2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？,1