1、第四篇振動與波動,15章 振動學(xué)基礎(chǔ),兩垂直振動的合成 振動的一般形式,五、簡諧振動的合成,1. 同方向同頻率的簡諧振動的合成,分振動 :,x1=A1cos(0 t+ 1) ， x2=A2cos(0 t+ 2),合振動 : x = x1+ x2,x = A cos(0 t+ ),合振動是簡諧振動, 其頻率仍為0,結(jié)論：,(1)合振動仍是同頻率的簡諧振動。,(2)合振幅不僅與分振幅有關(guān)還與 有關(guān)。(3)合振幅的大小不隨時間變化,a,2. 同向不同頻率的簡諧振動合成,分振動,合振動,合振動不是簡諧振動,當(dāng) 2 1時 2- 1 2+ 1,其中,隨 t 緩變,隨 t 快變,合振動可看作振幅緩變的簡諧振

2、動。,x = x1+ x2,合振動的 振幅,b,特例,x1=Acos(1t+j) x2=Acos(2t+j),拍與拍頻,3. 垂直方向同頻率簡諧振動的合成,兩分振動,x=A1cos(0t+1) y=A2cos(0t+2),合運動一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范圍內(nèi)的一個橢圓,(2) 橢圓的性質(zhì) (方位、長短軸、左右旋 ) 在 A1 、A2確定之后, 主要決定于 = 2-1,特 點:,1,合運動（消去t）：,幾種特殊情況：,1） =2 -1=0,2= 1=,斜率：,x,y,距原點的位移：,2） =2 -1=,位移、頻率、振幅同上，質(zhì)點沿 直線振動,斜率：,2,則有：,軌跡

3、為一正橢圓長短軸分別為2A1、2A2,若A1=A2，就是一個圓。,問題：振動方向？,當(dāng) 0t+1=0 時：,x=A1，,y =0,.,.,右旋橢圓,而0(t+t)+1時：,x 0,y 0,振動為順時針方向,同理：,0(t+t)+1時：,x 0,y 0,左旋橢圓,3,5） =2 -1=,為其它任意值，,軌跡是任意一個斜橢圓,左旋或右旋？,為便于討論：令 1=0,則,當(dāng) 0 ，,t =0 時：,x =A1,y =A2cos,o,.,A1,又：,0,右旋橢圓,當(dāng) 2 ，或 0,左旋橢圓,0,o,A1,.,4,結(jié) 論,5,(2),解：(1),求（1）合振動的軌跡 （2）已知A, , ,m求質(zhì)點在任一位

4、置所受的力,6,4. 垂直方向不同頻率簡諧振動的合成,1) 兩分振動頻率相差很小, = (2-1) t + (2-1),可看作兩頻率相等, 而 2- 1隨 t 緩慢變化（ 將從 0 /2 3 /2 2 ）,軌跡稱為利薩如圖形(Lissajous figure),x y = 32 2=0, 1= /4,2) 兩振動的頻率成整數(shù)比,一般情況很復(fù)雜，介紹兩種簡單情況：,合運動軌跡將按上頁圖依次（從直線斜橢圓正橢圓斜橢圓直線）不停地變化下去,7,如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為利薩如圖形。,用利薩如圖形在無線電技術(shù)中可以測量頻率：,在

5、示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的利薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。,利薩如圖(Lissajous figures),8,動畫,9,動畫,1. 諧振子的阻尼振動 (damped vibration),六、振動的一般情形,根據(jù)牛頓定律：,則：,即：,其中：,動力學(xué)方程,1）動力學(xué)方程,F彈,f阻,阻尼因數(shù) damping coefficient,阻尼項,10, 阻力系數(shù),動畫,2）運動學(xué)特征,一般 不同振動狀態(tài)就不同,（1）阻尼較小時， 0，稱為弱阻尼,此方程的解：,其中：振幅,頻率,振動特點, 振幅隨t按指數(shù)衰減,經(jīng)一周期兩振

6、幅之比：, 是準(zhǔn)周期運動,出現(xiàn)兩次極大的時間間隔：,位相改變2所經(jīng)歷的時間周期,周期變長，振動變慢, 能量E隨振幅A的減小而衰減,11,動畫,振動特點,（3） =0，稱為臨界阻尼,方程的解：,其中C1 、C2是積分常數(shù)，由初始條件來決定。,*無振動發(fā)生,（2）阻尼較大時 0，稱為過阻尼,*非周期運動,t,運動一開始，便逐漸 回到平衡位置,過阻尼,臨界阻尼,方程的解：,C1、C2由初始條件決定,是從有周期性因子 到無周期性的臨界點。,振動特點同上，,但很快回到平衡位置。,12,動畫,1) 諧振子的受迫振動方程,2. 諧振子的受迫振動共振( resonance ),設(shè)強迫力,由微分方程理論：,方程

7、的通解=齊次微分方程的解+非齊次的一個特解,經(jīng)過足夠長的時間， 稱為穩(wěn)態(tài)解：,反映系統(tǒng)的暫態(tài)行為,動力學(xué)方程,則有：,系統(tǒng)的穩(wěn)定振動狀態(tài),13,F外,即：穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化,穩(wěn)態(tài)頻率:,振幅:,穩(wěn)態(tài)解,位相:,將穩(wěn)態(tài)解代入方程可得：,2) 穩(wěn)定受迫振動與簡諧振動的區(qū)別：,1. 受力不同：,彈簧振子 F彈，,受迫振動F外,2. 三特征量的本質(zhì)不同：,彈簧振子,系統(tǒng)固有,由初始 條件決定,受迫振動,解方程 求得,外力決定,簡諧振動系統(tǒng)能量守恒,受迫振動系統(tǒng)阻力消耗的能量=外力作功,3. 能量情況不同：,14,3. 共振,在一定條件下, 振幅出現(xiàn) 極大值, 振動劇烈的現(xiàn)象。, 位移

8、共振( displacement resonance ),令：,共振振幅,若 0 , 則 r 0,共振頻率,r=,Ap f0 /(2 0 ),尖銳共振,一般 r0 ,與 有關(guān),大， r 小,Amax小,小， r 大,Amax大,若 0,Amax ,實際上不可能,15,動畫,當(dāng) 弱阻尼時,共振發(fā)生在固有頻率處， 稱為尖銳共振。,但是，隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷 增大，最后與強迫力的功率相抵，從而使振幅保 持恒定。從能量觀點看在共振時，這能量轉(zhuǎn)變?yōu)?共振質(zhì)點的能量，也叫共振吸收。,16,動畫,諧振分析,1. 一個周期性振動可分解為一系列頻率分立的簡諧振動,若周期振動的頻率為 : 0,則各分振

9、動的頻率為: 0, 20, 30, (基頻 , 二次諧頻 , 三次諧頻 , ),17,動畫,方波的分解,18,動畫,深井寬頻地震計觀測曲線,19,20,低通濾波結(jié)果(0.001Hz),HUST地震與固體潮臺的重力觀測曲線,21,“郗氏”展開：10000多項潮汐波,潮汐波的展開：杜德森（約600項潮汐分波）,云南普洱哈尼彝族自治縣6.4地震信號 2007/6/2 21:34:56.0(UTC) HUST,22,震相（地方震、近震、遠(yuǎn)震）,P波、S波、面波（Lg和Rg）,作 業(yè),15 T16 T19 預(yù)習(xí)16章1、2節(jié),13-T18 如圖，兩圓環(huán)，初始時同心共面。 求：(1) 小環(huán)中產(chǎn)生的感生電流；(2) 小環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度；(3) 大環(huán)中產(chǎn)生的感生電動勢。,參考解答（2008）：,(1) 小環(huán)感生電流,(2) 小環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度,(3) 大圓環(huán)的感生電動勢,問題：, Ir的方向？, 的分析？,加速？減速？,“永動機”？,原因？,13-T18 如圖，兩圓環(huán)，初始時同心共面。 求：(1) 小環(huán)中產(chǎn)生的感生電流；(2) 小環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度；(3) 大環(huán)中產(chǎn)生的感生電動勢。,解：,分析與討論,(1) 小環(huán)處為均勻場,方向,(2) 小環(huán)受磁力矩，轉(zhuǎn)動定律：,方向同 。,方向與