1、概 念： 正交矩陣、正交變換、特征值、特征向量、 特征多項式、特征方程、相似矩陣,前次課內(nèi)容回顧,若 p 是A的對應(yīng)于的特征向量, 則 kp (k0) 也是 A 的 對應(yīng)于的特征向量。 若p1, p2是A的對應(yīng)于的特征向量, 則 p1+p2 (p1+p2 0) 也是A的對應(yīng)于的特征向量。,一些結(jié)論：,一般地，,3）若是 A 的特征值，則,若A可逆,且是A的特征值, 則 是A-1的特征值.,注意 n 階方陣A的特征值、特征向量的求法,2) 對每個特征值 解方程組,定理 3 若 n 階方陣A與B相似，則A與B的特征多項式相 同，從而A與B的特征值亦相同。,定理 4 n 階方陣A相似于對角陣（即A能

2、對角化）充分 必要條件是A有n 個線性無關(guān)的特征向量。,推論 如果 n 階矩陣A的 n 個特征值各不相等，則A與對 角陣相似。,注意 由定理4的證明過程可知：,1）對角陣的對角線上的元素就是A的 n 個特征值； 2）相似變換矩陣 P 的列向量就是A的 n個線性無關(guān) 的特征向量。,定理 6 設(shè)1,2 是實對稱矩陣A的兩個特征值，P1, P2 是對應(yīng)的特征向量，若12，則P1, P2正交。,定理7 設(shè)A是 n 階實對稱矩陣, 是 A的特征方程的 r 重 根, 則特征值恰有 r 個線性無關(guān)的特征向量。 （此時矩陣（AE）的秩 R(AE)= n - r 。),定理表明, n 階實對稱矩陣一定有 n 個

3、線性無關(guān)的特 征向量。,在上述三個定理的基礎(chǔ)上，可得下述定理8.,定理8 設(shè)A是 n 階實對稱矩陣, 則必有正交矩陣 P, 使 ，其中 是以 A 的 n 個特征值為對角元素 的對角陣。,注意此定理不僅表明實對稱矩陣可以對角化，而且指 出其相似變換矩陣可以是正交矩陣。,5 二次型及其標準形,的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺诵D(zhuǎn)變換,把方程化為標準形,引言 在解析幾何中，為了便于研究二次曲線,注意 此為正 交變換,稱為二次型。,（*）式的左邊是一個二次齊次多項式，從數(shù)學(xué)的觀點 看，化標準形的過程就是通過變量的線性變換化簡一個 二次齊次多項式，使它只含有平方項。 我們把二次齊次多項式稱為二次型。,

4、稱只含平方項的二次型，如,于是，有,為二次型的標準形。,當(dāng) 為復(fù)數(shù)時， 稱為復(fù)二次型；當(dāng) 為實數(shù) 時， 稱為實二次型。我們僅討論實二次型。,二次型的矩陣形式表示,記, 矩陣A是實的對稱陣；,易知，在上述記法下：,稱對稱陣A為二次型 f 的矩陣，也把 f 叫做對 稱陣A的二次型，A的秩就叫做二次型 f 的秩。, 實二次型與實對稱陣之間是一一對應(yīng)的。,例 寫出下列二次型所對應(yīng)的矩陣：,注意：這種習(xí)題雖然簡單，但它是正確解題的前提， 千萬不能寫錯。,解,可見，與標準形對 應(yīng)的矩陣是對角陣,解,問： 與標準形,對應(yīng)的矩陣是什么？此標準形用矩陣如何表示？,用矩陣表述，即尋求可逆變換 X=CY ，其中,為

5、可逆陣，使二次型,化為標準形。也即：,尋求可逆的 線性變換,即,要討論的問題是：,證,A 為對稱陣，則 B 亦為對稱陣，且,由上可見：二次型化簡，即,稱滿足此式 的矩陣A， B是合同的。,的問題等價于：當(dāng)實對稱陣A給定后，如何求 一個可逆陣C，使得 成為對角陣。,總有正交變換 ，使 化為標準形 其中 是 的矩陣 的特征值。,定理10 任給實二次型,在本章第四節(jié)，我們已經(jīng)知道，對于任意實對稱陣A， 一定有正交矩陣 P，使得 ，而對正交矩陣來 說 。因此，我們可以借助于正交變換來將二 次型化簡。從而有,例（教材P124例11）, 寫出二次型的矩陣A（一定是對稱陣）； 求A的特征值（共 n 個，重根

6、按重數(shù)計算）； 求各特征值對應(yīng)的特征向量； （在正交化、單位化后）寫出正交矩陣P； 寫出二次型的標準形及所用的正交變換。,注 此類習(xí)題是本章的基本題型之一，要求大家必須掌 握，其解法步驟如下：,求一個正交變換把下列二次型化為標準形。,解 二次型 的矩陣為,它的特征 多項式為,于是A的特征值為,對于,解方程組,得基礎(chǔ)解系,單位化得,對于,解方程組,可得正交的基礎(chǔ)解系,單位化 即得,于是，正 交變換為,標準形為,例 化簡二次型,6 化二次型為標準形的其它方法,若不限于用正交變換，還可以有多種方法把二次型 化成標準形，這里僅介紹配方法。其它方法請大家自 學(xué)。用配方法可以分為兩種情形： 1）二次型中含有平方項； 2）二次型中不含平方項。,解 由于 中含