1、第五章大數(shù)定律中心極限定理,主講：周仲禮,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái). 也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,下面我們先介紹大數(shù)定律,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過(guò)程中的 廢品率,幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設(shè) X1, X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方

2、差有共同的上界，即 Var(Xi) K，i=1, 2, ，,切比雪夫,則對(duì)任意的0，,切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.,定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）,設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列，且E(Xi)= ， D(Xi)= ， i=1,2, 則對(duì)任給 0,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.,貝努里,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A

3、發(fā)生的 次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,或,貝努里,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法.,任給0，,下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)任給 0 ，,定理3（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)

4、估計(jì).,這一講我們介紹了大數(shù)定律,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).,大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,第五章第二節(jié) 中心極限定理,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從

5、正態(tài)分布.,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).,現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？,在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限.,的分布函數(shù)的極限.,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,考慮,中心極限定理,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.,下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維林德伯格（L

6、evyLindberg）定理.,定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）,它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差 的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, 是獨(dú)立同分布的隨機(jī) 變量序列，且E(Xi)= D(Xi)= ， i=1,2,，則,定理(棣莫佛拉普拉斯定理）,設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有,定理表明，當(dāng)n很大，0p1是一個(gè)定值時(shí)（或者說(shuō)，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量 的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).,下面我們舉例說(shuō)明中心極限定理的應(yīng)用,不難看到中心極限定理的客觀背景,設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14,方差為4的分布.每

7、箱中裝有這種產(chǎn)品100件. 求:(1)每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)14.5的概率是多少. (2)每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)期望14的概率是多少.,n=100,設(shè)Xi是第i件產(chǎn)品的強(qiáng)度. E(Xi)=14,D(Xi)=4 i=1,2, ,100. 每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度為,解:,例1,根據(jù)定理5.2.1,近似N(0,1) 于是,計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)字計(jì)算時(shí)遵從四舍五入原則. 為使我們此題簡(jiǎn)單考慮,我們假定對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面的第一位進(jìn)行四舍五入運(yùn)算. 則誤差X這個(gè)隨機(jī)變量可以認(rèn)為服從 -0.5,0.5上的均勻分布. 現(xiàn)若在一項(xiàng)計(jì)算中一共進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算.,例2,解:,n=100,設(shè)Xi是第i次運(yùn)算的誤差. 誤差服從-

8、0.5,0.5上的均勻分布 E(Xi)=(-0.5+0.5)/2=0 D(Xi)=0.5-(-0.5)2/12=1/12 i=1,2, ,100. 平均誤差為,根據(jù)中心極限定理,近似N(0,1) 于是,某單位有200部電話分機(jī),每部電話約有5%的時(shí)間要使用外線通話.設(shè)每部電話是否使用外線通話是相互獨(dú)立的. 求:該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線才能以90%以上的概率保證每部電話需要使用外線時(shí)可以打通?,解:,例3, Xi b(1,p).X1,X2 , ,X200相互獨(dú)立. 設(shè)該單位總機(jī)安裝k條外線,則:,P每部電話需要使用外線時(shí)可以打通 =P使用外線的電話數(shù)目k =PX1+X2+X200 k,求

9、最小的k,使 P每部電話需要使用外線時(shí)可以打通90% 求最小的k,使PX1+X2+X200 k90% 求最小的k,使,該單位總機(jī)至少需要安裝14條外線.,某市保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù).被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元. 若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金. 己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005.現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn). 求:保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率.,解:,例4, Xi b(1,p). P=0.005 X1,X2 , ,X200相互獨(dú)立.則:,P20萬(wàn)元總收益 40萬(wàn)元 =P20萬(wàn)元0.016萬(wàn)元保險(xiǎn)費(fèi)參保人數(shù)-2萬(wàn) 元賠金一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)40萬(wàn)元 =P200.0165000- 2(X1+X2+X5000)40, np=25 np(1-p)=250.995,總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率為 0.6826.,如圖,釘板有n=16層，可以求出標(biāo)準(zhǔn)差,n次碰釘后小球的位置 Yn近似服從正態(tài)分布N(0,n). E(Yn)=0, Var(Yn)=n .,如圖釘板有n=16層，可以求出標(biāo)準(zhǔn)差,根據(jù)正態(tài)分布的查表計(jì)算知道,落在2 以內(nèi)即中線 左右8顆釘子以內(nèi)的概率近似為95.6%,即是說(shuō),落在這以外的概率只有4%左右.,