1、31.2用二分法求方程的近似解,【課標(biāo)要求】 1能用二分法求出方程的近似解 2知道二分法是求方程近似解的一種常用方法，體會“逐步逼近”的思想 【核心掃描】 1利用二分法求方程的近似解(重點) 2判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間及方程根的個數(shù)(難點) 3精確度與近似值(易混點),新知導(dǎo)學(xué) 1二分法定義的理解及應(yīng)用 對于在區(qū)間a，b上 且 的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩個端點 ，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法 溫馨提示：二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點的方法，找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點

2、,連續(xù)不斷,f(a)f(b)0,逐步逼近零點,一分為二,2二分法的步驟 給定精確度，用二分法求f(x)零點近似值的步驟如下： (1)確定區(qū)間a，b，驗證 ，給定精確度； (2)求區(qū)間(a，b)的中點c； (3)計算f(c) 若f(c)0，則 ； 若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點x0(a，c)； 若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點x0(c，b) (4)判斷是否達(dá)到精確度：即若 ，則得到零點近似值a(或b)，否則重復(fù)(2)(4),f(a)f(b)0,c就是零點,|ab|,互動探究 探究點1 已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，采用什么方法能進(jìn)一步有效縮小零點所在的區(qū)間？ 提示

3、可采用“取中點”的辦法逐步縮小零點所在的區(qū)間 探究點2 能用二分法求圖象連續(xù)的任何函數(shù)的近似零點嗎？ 提示不能看一個函數(shù)能否用二分法求其零點關(guān)鍵要看是否具備應(yīng)用二分法的條件，即函數(shù)圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且在該零點左右函數(shù)值異號 探究點3 用二分法求方程的近似解時，如何決定步驟的結(jié)束？ 提示看清題目的精確度，當(dāng)零點所在區(qū)間的兩個端點值之差的絕對值小于精確度時，則二分法步驟結(jié)束.,類型一二分法概念的理解及應(yīng)用 【例1】 用二分法求如圖所示函數(shù)f(x)的零點時，不可能求出的零點是 (),Ax1 Bx2 Cx3 Dx4,思路探索逐一分析每個零點附近左、右兩側(cè)函數(shù)值的符號，看是否存在區(qū)間a，b滿足

4、f(a)f(b)0. 解析由二分法的思想可知，零點x1，x2，x4左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，即存在區(qū)間a，b，使得f(a)f(b)0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3a，b時均有f(a)f(b)0，故不可以用二分法求該零點 答案C,規(guī)律方法(1)判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用 (2)二分法是通過不斷地將選擇的區(qū)間一分為二，逐步逼近零點，直到滿足精確度的要求,【活學(xué)活用1】 如圖所示，下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點，但不能用二分法求交點橫坐標(biāo)的

5、是(),解析按二分法定義，f(x)在a，b上是連續(xù)的，且f(a)f(b)0，才能不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，進(jìn)而利用二分法求出函數(shù)的零點故結(jié)合各圖象可得選項B，C，D滿足條件，而選項A不滿足在A中，圖象經(jīng)過零點x0時，函數(shù)值不變號，因此不能用二分法求解 答案A,類型二用二分法求函數(shù)零點的近似值 【例2】 用二分法求函數(shù)f(x)x3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個零點(精確度0.01) 思路探索本題已給出函數(shù)表達(dá)式和規(guī)定的區(qū)間，可根據(jù)二分法求函數(shù)零點的步驟逐次計算縮小區(qū)間，直到達(dá)到所要求的精確度停止計算，確定出零點的近似值 解經(jīng)計算f(1)0，f(1.5)0，所以函數(shù)在1,1.5內(nèi)存在零點x

6、0. 取(1,1.5)的中點x11.25，經(jīng)計算f(1.25)0.因為f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5),如此繼續(xù)下去，如下表：,因為|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01， 所以函數(shù)f(x)x3x1精確度為0.01的一個近似零點可取為1.328 125.,規(guī)律方法(1)用二分法求函數(shù)零點的近似值的兩個關(guān)鍵點初始區(qū)間的選取，既符合條件(包含零點)，又要使其長度盡量小(關(guān)鍵詞：選初始區(qū)間)進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算(關(guān)鍵詞：判斷精確度) (2)準(zhǔn)確計算區(qū)間中點的函數(shù)值，進(jìn)而判斷零點所在的區(qū)間是利用二分法求函數(shù)零點近似

7、值的關(guān)鍵對于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)f(x)g(x)零點的近似值,【活學(xué)活用2】 求方程x22x1的一個近似解(精確度0.1) 解設(shè)f(x)x22x1. f(2)10，f(3)20， 在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x22x10有根，記為x0. 取2與3的平均數(shù)2.5， f(2.5)0.250，2x02.5. 再取2與2.5的平均數(shù)2.25，f(2.25)0.437 50， 2.25x02.5；如此繼續(xù)下去，有 f(2.375)0，f(2.5)0 x0(2.375,2.5)； f(2.375)0，f(2.437 5)0 x0(2.375,2.437 5) |2.37

8、52.437 5|0.062 50.1， 方程x22x1的一個精確度為0.1的近似解可取為2.437 5.,類型三二分法的實際應(yīng)用 【例3】 從某水庫閘房(設(shè)為A)到防洪指揮部(設(shè)為B)的電話線路發(fā)生了故障這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個點，就要爬一次電線桿子.10 km長，大約有200多根電線桿子呢！想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半算一算，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m100 m之間，要查多少次？,解(1)如圖所示，他首先從中點C檢查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時，假設(shè)發(fā)現(xiàn)AC

9、段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點D查，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；再到CD段中點E查,【活學(xué)活用3】 某娛樂節(jié)目有一個給選手在限定時間內(nèi)猜一物品的售價的環(huán)節(jié)，某次猜一品牌手機(jī)的價格，手機(jī)價格在5001 000元，選手開始報價1 000元，主持人回答高了；緊接著報900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了，850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分，實際上體現(xiàn)了“逼近”的思想，試設(shè)計出可行的猜價方案 解取價格區(qū)間500,1 000的中點750，低了；就再取750,1 000的中點875，高了；就取750,875的中點，遇到

10、小數(shù)，則取整數(shù)，照此猜下去可以猜價：750,875,812,843,859,851，經(jīng)過6次即能猜中價格,易錯辨析因“二分法”精確度的理解不清致錯 【示例】 用二分法求方程x250的一個非負(fù)近似解(精確度為0.1) 錯解 令f(x)x25， 因為f(2.2)2.2250.160， f(2.4)2.4250.760， 所以f(2.2)f(2.4)0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(2.2，2.4)內(nèi)有零點x0，取區(qū)間(2.2,2.4)的中點x12.3， f(2.3)2.3250.290， 因為f(2.2)f(2.3)0，所以x0(2.2,2.3)，,再取區(qū)間(2.2,2.3)的中點x22.25， f(2.2

11、5)0.062 50， 因為f(2.2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25)， 同理可得x0(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)， 又f(2.225)0.049 4， f(2.237 5)0.006 4， 且|0.006 4(0.049 4)|0.055 80.1， 所以原方程的非負(fù)近似解可取為2.225. 錯因分析本題錯解的原因是對精確度的理解不正確，精確度滿足的關(guān)系式為|ab|，而本題誤認(rèn)為是|f(a)f(b)|.,正解 由于f(2)10，f(3)40，故取區(qū)間2,3作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如下：,根據(jù)上表計算知，區(qū)間2.1875,2.25的

12、長度是0.06250.1，所以這個區(qū)間的兩個端點值就可作為其近似值，所以其近似值可以為2.1875.,防范措施求函數(shù)零點的近似值時，所要求的精確度不同，得到的結(jié)果也不相同精確度為是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，若其長度小于，即認(rèn)為已達(dá)到所要求的精確度，可停止計算，否則應(yīng)繼續(xù)計算，直到|ab|為止,課堂達(dá)標(biāo) 1下列函數(shù)圖象中，能用二分法求零點的是 (),解析依據(jù)二分法求零點的原理可知C正確 答案C,2用二分法求函數(shù)f(x)x35的零點可以取的初始區(qū)間是 () A2,1 B1,0 C0,1 D1,2 解析f(2)30，f(1)60， f(2)f(1)0，故可取2,1作為初始區(qū)間，用二分法逐次計算 答案A,3用二分法求方程f(x)0在區(qū)間0,1上的近似解時，經(jīng)計算，f(0.425)0，f(0.532)0，f(0.605)0，即得到方程的一個近似解為_(精確度為0.1) 解析因為|0.6050.532|0.0730.1，所以0.605或0.532都可作為方程f(x)0的一個近似解 答案0.532(答案不唯一),4用二分法求方程x32x50在區(qū)間(2,3)內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為x02.5，那么下一個有根的區(qū)間是_ 解析f(2)2322510，f(2.5)2.5322.555.6250，