1、平行數(shù)據(jù)的分析,一、平行數(shù)據(jù) 二、固定影響模型 三、隨機(jī)影響模型 四、似不相關(guān)回歸模型,一、平行數(shù)據(jù) 將截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列結(jié)合在一起的數(shù)據(jù)稱為平行數(shù)據(jù)(Panel Data)。 截面數(shù)據(jù)是指在某一時(shí)間段內(nèi)所收集的關(guān)于某地（研究范圍）許多不同個(gè)體（樣本）各方面特征（應(yīng)變量和自變量）信息的數(shù)據(jù)。例如，我們的數(shù)據(jù) 有N個(gè)樣本，K+1個(gè)變量，即,時(shí)間序列數(shù)據(jù)是指所收集的關(guān)于某一個(gè)體（研究范圍）在不同時(shí)間（樣本）各方面特征變化（應(yīng)變量和自變量）信息的數(shù)據(jù)。例如，我們的數(shù)據(jù) 有T個(gè)樣本（時(shí)間），K+1個(gè)變量，即,如果我們將這兩種數(shù)據(jù)合并到一起，就有：,我們的模型是 更詳細(xì)的模型應(yīng)該是,二、固定影響模型（F

2、ixed Effect Model),固定影響模型，也被叫做“虛擬變量模型（Dummy Variables Model）。如果我們有一組平行數(shù)據(jù)，我們 假設(shè)這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)橫截面樣本（個(gè)體單位）都有 各自的截距，可以寫成,這里， 就是第i個(gè)模型截面樣本自己的截距。我們可以用虛 擬變量的形式來表示這個(gè)截距，即 這里， 是對(duì)應(yīng)每一個(gè)橫截面樣本的虛擬變量， 則是這些虛 擬變量的參數(shù)，也就是其截距，共有N個(gè)。,一般來說，我們比較國(guó)與國(guó)之間、省與省、地區(qū) 與地區(qū)之間的經(jīng)濟(jì)狀況，認(rèn)為地域間存在有自然的差 異，而時(shí)間數(shù)據(jù)中的差異則不很大。那么，我們就要 為橫截面數(shù)據(jù)中的差異設(shè)虛擬變量，來估計(jì)每個(gè)橫截 面樣本

3、各自的截距。 若沒有足夠的信息來確定如何對(duì)數(shù)據(jù)做假設(shè)時(shí)， 根據(jù)N和T的大小來定。 如果NT，可假設(shè)每個(gè)時(shí)間段的單位 有各自的截距。,現(xiàn)在我們來討論一下假設(shè)時(shí)間段（樣本）各有其截距的情況。我們可以將模型改寫成 這里， 就是第t時(shí)間段樣本自己的截距。我們可以用虛擬變量的形式來表示這個(gè)截距，即 這里， 是對(duì)應(yīng)每一個(gè)時(shí)間序列樣本的虛擬變量， 則是這些虛擬變量的參數(shù)，也就是個(gè)時(shí)期的截距，共有T個(gè)。,我們?cè)谶@所要介紹的回歸模型叫做隨機(jī)影響模型，也被叫做“誤差成分模型”（Error Components Model）。如果我們有一組板面數(shù)據(jù)，與前面所說的情況一樣，橫截面有N個(gè)單位（樣本數(shù)），時(shí)間序列上有T個(gè)

4、時(shí)期（樣本數(shù)），數(shù)據(jù)中有一個(gè)因變量和K個(gè)自變量。那么，我們有適應(yīng)這組數(shù)據(jù)的模型如下： 這里，誤差項(xiàng) 的期望值為0，方差為 。 我們不假設(shè) 為表示某種虛擬變量的固定參數(shù)，而假設(shè)它們?yōu)殡S機(jī)的，相互獨(dú)立的變量。它們的均值為 ，方差為 那么 就可以被寫成 這里的誤差項(xiàng)的期望值為0，方差為 ，而且相互獨(dú)立， 我們還假設(shè) 與 不相關(guān)，Cov（ ， ）=0。這樣，我們可以把上面的模型改寫為,三、隨機(jī)影響模型（Random Effect Model),這個(gè)模型比前面所討論的模型要復(fù)雜些，因?yàn)檫@里多了一個(gè)誤差項(xiàng)。為了消除 在模型中的隨機(jī)影響，我們先要估計(jì)出 的方差和 的方差，再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后再作回歸估計(jì)分

5、析。 前面我們介紹了面板數(shù)據(jù)的理論模型和處理方法。我們有一組面板數(shù)據(jù)有十個(gè)企業(yè)，三年的數(shù)據(jù)，包括產(chǎn)量Q，勞動(dòng)力投入L和資本投入K。,（續(xù)表）,我們有生產(chǎn)模型 我們假設(shè)各企業(yè)之間是有很大差異的，所以我們要用固定影響 模型，即使用虛擬變量來區(qū)分企業(yè)之間的差異。那么，我們有,那么我們就估計(jì)出了我們所想要的模型，即 這就是用固定影響模型的方法估計(jì)出來的面板數(shù)據(jù)模型。同樣，在不同的假設(shè)條件下，我們可以用隨機(jī)影響模型的方法來估計(jì)面板數(shù)據(jù)的模型,四、似不相關(guān)回歸,描述第i個(gè)公司在第t個(gè)時(shí)期總投資的經(jīng)濟(jì)模型可以表述成： 這里令 表示因變量的數(shù)值， 和 表示解釋變量的數(shù)值，于是，一個(gè)線性統(tǒng)計(jì)模型為： 在這個(gè)一般

6、模型中，不同的公司在同一個(gè)時(shí)期它們的截距和響應(yīng)參數(shù)是允許不同的。由于未知參數(shù)比數(shù)據(jù)點(diǎn)多，所以按當(dāng)前的形式模型不能被估計(jì)。這樣，我們就必須作許多簡(jiǎn)化假設(shè)使得模型可以運(yùn)行。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)挑戰(zhàn)性問題就是設(shè)定一個(gè)與數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程一致的統(tǒng)計(jì)模型。所謂似不相關(guān)回歸模型，即：,就是說投資函數(shù)的參數(shù)關(guān)于不同的公司是不同的，但關(guān)于時(shí)間卻是不變的。這個(gè)假設(shè)意味著模型將變成： 我們使用數(shù)據(jù)來說明SUR模型這些數(shù)據(jù)包括通用電器（GE）和威斯汀豪（WH）兩家公司20個(gè)關(guān)于投資，股票市場(chǎng)價(jià)值和資本存量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。我們所用的下標(biāo)含義為：I=G和 W，以及t=1,2,20。這兩個(gè)公司的投資函數(shù)我們考慮為： 或者 這里我

7、們主要考慮上述函數(shù)形式,我們可以設(shè)定兩個(gè)回歸類型，一個(gè)是通用電器，另一個(gè)是威斯汀豪，即； 對(duì)于誤差項(xiàng)我們作普通最小二乘法關(guān)于矩的假設(shè)： 假設(shè)在第一個(gè)投資函數(shù)中的誤差項(xiàng)具有下列特征：（1）零均值；（2）同方差；（3）關(guān)于時(shí)間不相關(guān)，即自相關(guān)不存在。同樣的假設(shè)對(duì)第二個(gè)投資函數(shù)也成立。注意，這兩個(gè)投資函數(shù)具有不同的誤差方差 和,1.估計(jì)各個(gè)方程,由于假設(shè)精確地保證了未知數(shù)的最小二乘估計(jì)是最佳線性無偏計(jì)量，因此我們可以把最小二乘法分別應(yīng)用于每個(gè)方程，并確信所得到的估計(jì)量是合理有效的。運(yùn)用這樣的步驟和方法，就解決了當(dāng)給頂了有關(guān)通用電器的信息后，什么是通用電器方程的最佳估計(jì)量和當(dāng)給頂了有關(guān)威斯汀豪方程的最

8、佳估計(jì)量 實(shí)際上，我們可以利用有關(guān)通用電器的信息得到比單獨(dú)利用威斯汀豪的信息估計(jì)威斯汀豪方程更好的估計(jì)量，反過來也一樣。關(guān)于利用一個(gè)方程的信息如何去改善對(duì)另一個(gè)方程的估計(jì)的問題，需要建立這兩個(gè)方程之間的一些聯(lián)系。讓我們來研究這方面的一些可能的聯(lián)系,根據(jù)我們?cè)?jīng)學(xué)過的知識(shí)，對(duì)所給的模型使用的變量是組合兩個(gè)方程的一種方式 這里的 是虛擬變量，當(dāng)它等于1時(shí)代表觀測(cè)來自于威斯汀豪，當(dāng)它等于0時(shí)觀測(cè)來自于通電器，可以認(rèn)為模型代表了擁有40個(gè)觀測(cè)值的合并收集。由于我們已經(jīng)把通用電器20 個(gè)觀測(cè)和威斯汀豪的20個(gè)觀測(cè)組合在一起，所以可以省略變量的下標(biāo)。 我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)它們于參數(shù)之間的下述關(guān)系是一致的：,一個(gè)很

9、自然的問題就是：如果應(yīng)用最小二乘法，并運(yùn)用所有40個(gè)觀測(cè)會(huì)發(fā)生什么？?jī)纱螒?yīng)用最小二乘法，一次對(duì)威斯汀豪用20個(gè)觀測(cè)。另一次對(duì)通用電器20個(gè)觀測(cè)，估計(jì)會(huì)有怎樣的不同？ 回答是產(chǎn)生的參數(shù)的估計(jì)完全相同，因?yàn)樾履Ｐ陀猛耆嗤姆绞教幚硭械膮?shù)。然而，來自于兩個(gè)過程的標(biāo)準(zhǔn)誤差將是不同的。 如果我們用最小二乘法估計(jì)合并虛擬變量模型，必然會(huì)假設(shè)對(duì)所有40個(gè)觀測(cè)誤差項(xiàng) 的方差是常數(shù)，當(dāng)分別估計(jì)通用電器和威斯汀豪時(shí)，我們將認(rèn)定前者20個(gè) 值的方差為 ，而后20個(gè) 值的方差為 。從而，對(duì)每個(gè)方程我們就得到不同的方差估計(jì)。 如果我們確認(rèn)存在異方差性 ，并對(duì)合并的虛擬變量運(yùn)用廣義最小二乘法，這種情況下將會(huì)發(fā)生什么

10、？,在這種情況下，兩個(gè)系數(shù)的估計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)誤差將與分別對(duì)這兩個(gè)方程用最小二乘法所得到的結(jié)果完全一致。換句話說，如果我們確認(rèn) ，用虛擬變量模型連接兩個(gè)方程所得到的估計(jì)不會(huì)比分別對(duì)這兩個(gè)方程應(yīng)用最小二乘法所得到的結(jié)果更精確。所以，我們需要尋找進(jìn)一步的聯(lián)系。 2、方程的聯(lián)合估計(jì) 我們現(xiàn)在考慮運(yùn)用比分別使用最小二乘估計(jì)更好的聯(lián)合估計(jì)過程所需附加的假設(shè)：,這個(gè)假設(shè)就是說在兩個(gè)方程中的誤差項(xiàng)在同一時(shí)點(diǎn)上是相關(guān)的。這類相關(guān)通常被稱為同期相關(guān)，為了理解 和 為什么會(huì)相關(guān)，我們進(jìn)一步觀察這些誤差項(xiàng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們所包含的影響投資的一些因子可能已經(jīng)從方程中省略掉了。這些因子可能包含機(jī)器設(shè)備的利用，當(dāng)前和過去的利率，流動(dòng)性

11、以及經(jīng)濟(jì)的一般狀態(tài)。 由于這兩個(gè)公司在許多方面是相似的，所以很可能省略的影響通用電器設(shè)備投資的因子產(chǎn)生的作用與省略的影響威斯汀豪投資的因子產(chǎn)生的左右相近。如果是這樣的話，那么 和 由于具有相似的作用而產(chǎn)生相關(guān)性。所以，增加同期相關(guān)性的假設(shè)具有引入額外信息的作用，而當(dāng)我們對(duì)兩個(gè)方程分別實(shí)施最小二乘估計(jì)的時(shí)候，這些信息并沒有包括在內(nèi)。,假定工作和不工作的效用之差為 ， 那么，如果她愿意工作，相對(duì)效用 ；如果她不愿意工作，相對(duì)效用 ， 模型為 否則W=0和H=0,合并虛擬變量模型中對(duì)誤差項(xiàng)來說假設(shè)的含義是什么？ 它意味著所有40個(gè)誤差將不再不相關(guān)。在我們分別估計(jì)兩個(gè)方程的時(shí)候，通用電器的誤差與其他公

12、司的誤差是不相關(guān)的。威斯汀豪的誤差與其他公司的誤差也是不相關(guān)的。 這個(gè)信息在我們分別估計(jì)兩個(gè)方程的時(shí)候沒有被利用。然而，在合并虛擬變量模型中當(dāng)方程被聯(lián)合估計(jì)時(shí)運(yùn)用了這個(gè)信息，就會(huì)產(chǎn)生更好的估計(jì)。 為改善合并虛擬變量模型估計(jì)的精度，誤差項(xiàng)必須進(jìn)行變換，以便他們具有同方差和不相關(guān)的性質(zhì)。我們特別需要把威斯汀豪的誤差轉(zhuǎn)變成通用電器的誤差不相關(guān)。在誤差項(xiàng)變換的同時(shí)，變量也相應(yīng)地隨著變換。這個(gè)變換由于太復(fù)雜，這里就不再寫出來了。但運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件中“似不相關(guān)回歸”的一些命令它就會(huì)自動(dòng)實(shí)施轉(zhuǎn)換。這些軟件的一般操作步驟如下：（1）用最小二乘法分別估計(jì)兩個(gè)方程；（2）運(yùn)用來自步驟（1）的最小二乘殘差估計(jì) 和 ;

13、（3）運(yùn)用來自步驟（2）的估計(jì)，在廣義最小二乘估計(jì)的框架中聯(lián)合地估計(jì)兩個(gè)方程。 兩個(gè)公司投資函數(shù)的系數(shù)估計(jì)列在表6.2當(dāng)中，標(biāo)準(zhǔn)誤差列在括號(hào)里面。表6.2中給出了對(duì)兩個(gè)方程分別使用最小二乘法所得到的估計(jì)以及運(yùn)用似不相關(guān)技術(shù)所得到的估計(jì)。,由于似不相關(guān)技術(shù)利用了誤差項(xiàng)之間相關(guān)的信息。它就比最小二乘估計(jì)更精確。這個(gè)事實(shí)得到了似不相關(guān)估計(jì)具有較低標(biāo)準(zhǔn)誤差的支持。這里請(qǐng)注意，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)精度進(jìn)行判斷時(shí)必須謹(jǐn)慎。由于標(biāo)準(zhǔn)誤差本身就是一個(gè)估計(jì)，所以即使似不相關(guān)的估計(jì)量比最小二乘估計(jì)量好，也可能出現(xiàn)不相關(guān)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差大于相應(yīng)最小二乘估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 從經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，我們估計(jì)的資本存量K和變量V的系

14、數(shù)應(yīng)該有預(yù)期的正符號(hào)，表中的結(jié)果也驗(yàn)證了這點(diǎn)。由于威斯汀豪方程中的資本存量系數(shù)估計(jì)的t值低，所以其并沒有顯著地不同于0，說明它被估計(jì)的精確有限，而余下的所有系數(shù)估計(jì)都顯著地不同于0。,方程顯示同期相關(guān)性而被稱為“似不相關(guān)”，得名于它的發(fā)明者，著名計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿諾德澤爾納。他認(rèn)為“似不相關(guān)”就是方程看上去不相關(guān)，但方程誤差項(xiàng)之間的相關(guān)所提供的額外信息卻使得聯(lián)合廣義最小二乘估計(jì)優(yōu)于單個(gè)方程的最小二乘估計(jì)。 3、分別估計(jì)和聯(lián)合估計(jì) 是否聯(lián)合估計(jì)兩個(gè)或多個(gè)方程總有較好的結(jié)果？什么時(shí)候、什么場(chǎng)合它恰好與分別估計(jì)每個(gè)方程具有同樣好的結(jié)果？我們的回答是在兩種情況下用最小二乘發(fā)分別估計(jì)恰好與似不相關(guān)技術(shù)估計(jì)得

15、到一樣好的結(jié)果。第一種情況是誤差項(xiàng)不相關(guān)，如果誤差項(xiàng)不相關(guān)，連接這兩個(gè)方程就沒有任何意義，分別估計(jì)也不可能被改善。 第二種情況不太明顯。需要用高等代數(shù)的知識(shí)才能證明當(dāng)每個(gè)方程具有相同的結(jié)實(shí)變量時(shí)最小二乘發(fā)與似不相關(guān)技術(shù)給出同樣的估計(jì)。這里所說的“相同的解釋變量”并不是說像通用電器和威斯汀豪兩家公司的投資方程中具有資本存量和股票時(shí)常價(jià)值這兩種變量那樣，它具有相似的意義。這里“相同的解釋變量”是指這些變量具有相同的數(shù)值。,例如，我們要分別估計(jì)牛肉，雞肉和豬肉的需求方程。由于這些肉制品都可以相互代替，所以每一種肉制品的需求量都設(shè)定為牛肉的價(jià)格，雞肉的價(jià)格，豬肉的價(jià)格和消費(fèi)者收入的函數(shù)是完全合理的。于

16、是，這三個(gè)方程中就出現(xiàn)了具有相同觀測(cè)值的相同變量。即使這些方程的誤差項(xiàng)是相關(guān)的（這種相關(guān)實(shí)際上也相當(dāng)可能），使用似不相關(guān)技術(shù)與分別使用最小二乘法比較，前者相對(duì)于后者在估計(jì)上不會(huì)帶來什么改善。 如果每個(gè)方程中的解釋變量是不同的，則要從檢驗(yàn)中看誤差項(xiàng)之間的相關(guān)是否顯著地不同于零。如果零相關(guān)的原假設(shè)被拒絕，就沒有證據(jù)說明似不相關(guān)技術(shù)可以改善分別最小二乘估計(jì)。為實(shí)施這個(gè)檢驗(yàn)我們計(jì)算如下平方相關(guān)系數(shù)： 方差的估計(jì) 和 來自通常的分別最小二乘估計(jì)，由于大樣本近似的原因，作為除數(shù)的T=20而不是TK=17。所估計(jì)的協(xié)方差用下式計(jì)算：,為檢查 的統(tǒng)計(jì)顯著性，我們檢驗(yàn)原假設(shè) ，如果 ，則在大樣本下，統(tǒng)計(jì)量 就是

17、服從于自由度為1的 分布隨機(jī)變量。自由度為1的 分布的5%顯著性檢驗(yàn)水平的臨界值為3.84。用我們的數(shù)據(jù)計(jì)算的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值是 。于是，我們拒絕 和 之間無相關(guān)性的原假設(shè)。 如果我們對(duì)兩個(gè)或多個(gè)方程檢驗(yàn)相關(guān)的誤差的存在性，則合理有效的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就等于T乘以所有相關(guān)系數(shù)平方的和。在原假設(shè)為真的情況下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率分布是自由度等于相關(guān)系數(shù)個(gè)數(shù)的 分布。例如，三個(gè)方程分別用“1”，“2”，“3”表示，原假設(shè)是： 以及在原假設(shè)為真的情況下，分布為 (3)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是： 像這類方程系統(tǒng)中的問題很多，投資函數(shù)就是其中一個(gè)例子。還有像肉類需求函數(shù)的估計(jì)問題等，我們都可以運(yùn)用似不相關(guān)模型的估計(jì)方法。以后，我們?cè)谘芯炕颥F(xiàn)實(shí)當(dāng)中可能還會(huì)碰到更多的這類例子。,假設(shè)我們對(duì)通用電器和威斯汀豪各自的方程之間是否具有相同的系數(shù)感興趣，那么就必須檢驗(yàn)下述假設(shè)： 對(duì)應(yīng)的備擇假設(shè)是：這些系數(shù)對(duì)中至少有一對(duì)是不相等的。這類檢驗(yàn)在誤差項(xiàng)具有等方差和不相關(guān)的假設(shè)之下，可以采用Chow檢驗(yàn)（Chow test）;在假設(shè) 和 具有不同的方差但仍然不相關(guān)時(shí)也可以被檢驗(yàn)。當(dāng)似不相關(guān)模型的更一般的假定條件是合