1、第8章 采樣控制系統(tǒng)的分析與設計,8-1 引言 8-2 信號的采樣與復現(xiàn) 8-3 Z變換與Z反變換 8-4 脈沖傳遞函數(shù) 8-5 采樣系統(tǒng)的分析 8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正,8-1 引言,前面各章分析了連續(xù)控制系統(tǒng)，這些系統(tǒng)中的變量是時間上連續(xù)的； 隨著被控系統(tǒng)復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數(shù)學模型的復雜化而急劇上升模擬實現(xiàn)； 隨著數(shù)字元件,特別是數(shù)字計算機技術的迅速發(fā)展，采樣控制系統(tǒng)得到了廣泛的應用； 在采樣控制系統(tǒng)中,有一處或多處的信號不是連續(xù)信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數(shù)碼,這種信號稱為采樣信號。,典型的采樣系統(tǒng),計算機直接數(shù)字控制系統(tǒng),上面控制系統(tǒng)框圖

2、實際控制系統(tǒng)中是不存在采樣開關的。,計算機控制系統(tǒng)的優(yōu)點： 1、有利于實現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制； 2、數(shù)字信號傳輸有利于抗干擾； 3、可以完成復雜的控制算法，而且參數(shù)修 改容易； 4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能； 5、易于實現(xiàn)遠程或網絡控制。,采樣控制系統(tǒng)也是一類動態(tài)系統(tǒng)； 該系統(tǒng)的性能也和連續(xù)系統(tǒng)一樣可以分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩部分； 這類系統(tǒng)的分析也可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)中的一些方法，但要注意其本身的特殊性； 采樣系統(tǒng)的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態(tài)空間分析方法。,8-2 信號的采樣與復現(xiàn),1、采樣：把連續(xù)信號變成脈沖或數(shù)字序列的過程叫做采樣； 2、采樣器：實現(xiàn)采樣的裝

3、置，又名采樣開關； 3、復現(xiàn)：將采樣后的采樣信號恢復為原來的連續(xù)信號的過程； 4、采樣方式： （1）等周期采樣： （2）多階采樣：采樣是周期性重復的 （3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關對信號同時進行采樣 （4）隨機采樣：采樣是隨機進行的,沒有固定的規(guī)律,一個連續(xù)信號經采樣開關變成了采樣信號 采樣脈沖的持續(xù)時間遠小于采樣周期T和系統(tǒng)的時間常數(shù) 可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后 的采樣信號為,1、信號的采樣過程,是理想脈沖出現(xiàn)的時刻 因此采樣信號只在脈沖 出現(xiàn)的瞬間才有數(shù)值， 于是采樣信號變?yōu)?因此采樣過程可以看作一個調制過程。,采樣信號的調制過程,考慮到 時， 因此，可以

4、將原來采樣信號表達式變?yōu)槿缦?形式：,將窄脈沖看作理想脈沖的條件是采樣持續(xù)時間遠遠小于采樣周期和被控對象的時間常數(shù),2、采樣定理,由前面的分析可知，采樣窄脈沖為周期性的，采樣后的信號 取該信號的拉氏變換,并令 :,說明采樣后信號頻譜是以s為周期的。,采樣時間滿足什么條件？才能復現(xiàn)原信號！,連續(xù)信號在時域上是連續(xù)的，但頻域中的頻譜是孤立的； 連續(xù)信號采樣之后，具有以采樣角頻率 為周期的無限多個頻譜。,采樣信號的頻譜,采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原連續(xù)信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當?shù)睦硐霝V波器把原信號毫無畸變的復現(xiàn)出來。 香農定理的物理意義是：滿足

5、香農定理的采樣信號中含有連續(xù)信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現(xiàn)出來。,3、零階保持器,保持器是采樣系統(tǒng)的一個基本單元，功能是將采樣信號恢復成連續(xù)信號。 理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續(xù)信號； 理想濾波器是物理上不可實現(xiàn)的，因此要尋找一種物理上可實現(xiàn)，特性上又接近于理想濾波器的設備保持器。 采樣信號只在采樣點上有定義, e*(KT)和e*(K+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續(xù)信號應該是什么樣子呢? 這就是保持器要解決的問題.,保持器是一種時域外推裝置，即將過去時刻或現(xiàn)在時刻的采樣值進行外推。 通常把按照常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器稱為零階、一階

6、和二階保持器。 如果取 則當前時刻的采樣值將被保持到下一個采樣時刻. 這種保持器稱為零階保持器. 如何用數(shù)學語言描述這種特性呢?,零階保持器:把采樣時刻KT的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（K1）T。,零階保持器的輸入和輸出信號,由于在采樣時刻,故保持器的輸出,拉氏變換為,零階保持器的傳遞函數(shù)為,零階保持器的傳遞函數(shù)為,零階保持器的頻率特性為,零階保持器的頻率特性如圖所示 零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復現(xiàn)出的信號與原信號是有差別的。,4、小結,采樣控制系統(tǒng)的結構； 計算機控制的采樣系統(tǒng)的優(yōu)點； 采樣過程和采樣定理； 零階保持器的傳函和特性。,8-3

7、Z變換與反變換,線性連續(xù)控制系統(tǒng)可用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。 對于線性采樣控制系統(tǒng)則可用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。 Z變換是研究采樣系統(tǒng)主要的數(shù)學工具，由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。,連續(xù)信號f（t）的拉普拉斯變換為 連續(xù)信號f（t）經過采樣得到采樣信號 f*（t）為 其拉普拉斯變換為 定義新的變量,采樣信號的Z變換,有,1、常用的Z變換方法,級數(shù)求和法： 將采樣信號f *（t）展開如下 對上式逐項進行拉普拉斯變換，得 在一定條件下，常用函數(shù)的Z變換都能夠寫成閉合形式。,【例1】求單位階躍函數(shù)1（t）的Z

8、變換。 解： 單位階躍函數(shù)的采樣脈沖序列為,代入E(z)的級數(shù)表達式，得,對上列級數(shù)求和，寫成閉合形式，得,部分分式法,當連續(xù)信號是以拉普拉斯變換式F（S）的形式給出,且 F（S）為有理函數(shù)時,可以展開成部分分式的形式，即,可得與其對應的z變換為,由此可得F（S）的z變換為,對應的時域表達式,【例2】已知,，試求其Z變換.,解 將G（s）展開成部分分式,其對應的時域表示式為,兩個時域信號的疊加,留數(shù)法,設連續(xù)信號f(t)的拉普拉斯變換式F（S）及其全部極點pi為已知，可利用留數(shù)法求其Z變換F(z)，即,當s=pi為一階極點時，其留數(shù)為,當s=pj為q階極點時，其留數(shù)為,【例】求f（t）=t的z

9、變換 t0 ,在s=0處有二階極點，f(t)的z變換F(z)為,解：由于,2、Z變換基本定理,1.線性定理,若i為常數(shù)，則,線性定理表明,時域函數(shù)線性組合的z變換等于各時域函數(shù)z變換的線性組合。,設有連續(xù)時間函數(shù),2.滯后定理,設e(t)的z變換為E（z），且t0時，e(t)=0,則,滯后定理說明，原函數(shù)在時域中延遲k個采樣周期求z變換,相當于它的z變換乘以z-k。因此 z-k可以表示時域中的滯后環(huán)節(jié),它把采樣信號延遲k個采樣周期,3. 超前定理,4. 初值定理,設函數(shù)e(t)的z變換為E(z)，則,5. 終值定理,6 .復數(shù)位移定理,設函數(shù)e(t)的z變換為E(z)，則,3、Z反變換,由E(

10、z)求e*(t)過程稱為z反變換，表示為,由于z變換只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性,并不反映采樣時刻之間的特性,因此z反變換只能求出采樣函數(shù)e*(t),不能求出其連續(xù)函數(shù)e(t)。即有,常用的Z反變換方法,1、長除法,將E(z)的分子、分母多項式按z的降冪形式排列,用分子多項式除以分母多項式,可得到E(z)關于z-1的無窮級數(shù)形式,在根據(jù)延遲定理得到e*(t)。,對上式求z反變換,得,2、部分分式法,將E(z)/z展開成部分分式。由于在E(z)式中,分子 表達式中通常含有z。得到部分分式后,再將z乘到各 部分分式的分子部分,再查表進行反變換即可,所以也 稱為查表法。,【例3】求,的z反變換。,

11、解 將E (z)/z展開成部分分式為,則對應的時間函數(shù)e*(t)為,則有,3. 留數(shù)法,由z變換的定義有,用zm-1乘上式兩端,得,根據(jù)復變函數(shù)理論,知,當z=pi為單極點時，其留數(shù)為,當z=pj為n重極點時，其留數(shù)為,4 差分方程,描述n階線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型為微分方程，而描述線性采樣系統(tǒng)的教學模型為差分方程。 差分的定義： 一階前向差分定義為 二階前向差分定義為,一階后向差分定義為： 二階后向差分定義為：,前向和后向差分示意圖,【例】 一階采樣系統(tǒng)的差分方程為,解:對方程兩邊進行在z變換，并由實移定理,其中b為常數(shù),因為,所以,8-4 脈沖傳遞函數(shù),一、脈沖傳遞函數(shù)的基本概念,線性采樣系

12、統(tǒng)初始條件為零時,系統(tǒng)輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比,稱為線性采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),或簡稱為z傳遞函數(shù)。,實際采樣系統(tǒng)的輸出信號通常是連續(xù)信號,為了應用脈沖傳遞函數(shù)概念,可在系統(tǒng)的輸出端虛設一個同步采樣開關,使輸出成為采樣信號。,實際采樣系統(tǒng),設輸入脈沖序列為,由疊加原理可求出系統(tǒng)對脈沖序列的響應為,根據(jù)z變換的卷積定理，上式的z變換為,式中：G(z)、R(z)、Y(z)分別為g(t)、r(t)、y(t)的z變換。,即采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為,采樣脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應的Z變換,脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣表征了采樣系統(tǒng)的固有特性； 它除了與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關系，還與采

13、樣開關在系統(tǒng)中的具體位置有關。,1、兩個環(huán)節(jié)有采樣開關時 根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：,當環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，等效脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。該結論也可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況,二、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳函,2、兩個環(huán)節(jié)沒有采樣開關時,當串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關時,系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換。該結論可推廣到相互間無采樣開關的n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。,3、有零階保持器時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),有零階保持器時的開環(huán)采樣系統(tǒng),三、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)輸出,當系統(tǒng)有擾動作用時 ,可得閉環(huán)系統(tǒng)的誤差與擾動間的脈沖傳遞函數(shù)為

14、,系統(tǒng)輸出與擾動之間 的脈沖傳遞函數(shù),由于系統(tǒng)中有采樣器的存在， 所以一般情況下,例 設閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖如圖所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,閉環(huán)采樣系統(tǒng)結構圖,對于有些采樣控制系統(tǒng)，無法寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)只能寫出輸出的Z變換,8-5 采樣系統(tǒng)的分析,穩(wěn)定性分析 閉環(huán)極點分布與瞬態(tài)響應的關系 穩(wěn)態(tài)誤差分析,1、采樣穩(wěn)定性分析,1）穩(wěn)定性的基本概念 穩(wěn)定性是指在擾動的作用下，系統(tǒng)會偏離原來的平衡位置，在擾動撤除后，系統(tǒng)恢復到原來平衡狀態(tài)的能力； 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以采用脈沖響應的情況來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 系統(tǒng)的脈沖響應如果能夠衰減到0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,采樣系統(tǒng)的脈沖響

15、應： 由Z反變換得 由上式可若 ，即系統(tǒng)的所有極點位于Z平面的單位圓內，則,2）穩(wěn)定條件：,采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：,系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點位于Z 平面上的單位圓內?；蛘哒f，所有極點的模都 小于1,即 ，單位圓就是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。,S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內； S平面的虛軸 ，對應z平面的單位圓； 當 由 變到 時，,3）s平面與z平面的映射關系,線性采樣系統(tǒng)不能直接使用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，因為采樣系統(tǒng)穩(wěn)定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據(jù)，可將z平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變

16、換。,4）線性采樣系統(tǒng)勞斯判據(jù),式中，z、w均為復變量，可分別寫為,代入雙線性變換公式，得,w平面虛軸上的點對應于 上式中實部為零的點，即,則,設,z平面上單位圓內(x2+y21)對應著w平面實部為負數(shù)的左半平面。z平面上單位圓外(x2+y21)對應著w平面實部為正數(shù)的右半平面。z平面與w平面的映射關系所示。,【例】設采樣控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示。,采樣周期T=1s, T=0.5s,試求使系統(tǒng)穩(wěn)定 的K值范圍。,解 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,相應的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為,將T=1s代入上式，得,進行w變換可求得w域系統(tǒng)的特征方程為,根據(jù)代數(shù)判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為,所以穩(wěn)定時K的取值為,同理可得T

17、=1s時,穩(wěn)定時K的取值為,穩(wěn)定時K的取值為,同理可得,T=0.5s時,開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響： (1)采樣周期T一定時，增加開環(huán)增益K會使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (2)開環(huán)增益K一定時, 采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點分布與暫態(tài)響應的一般關系,1）系統(tǒng)的單位階躍響應,設閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,當輸入為單位階躍信號時,系統(tǒng)輸出信號的z變換為,將上式展成部分分式可得,式中：,對上式進行z反變換，得采樣系統(tǒng)輸出采樣信號為,上式右邊第一項為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應分量，第二項為暫

18、態(tài)響應分量。,顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態(tài) 分量也不同。,實數(shù)極點：若實數(shù)極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數(shù)極點對應的單調衰減，負實數(shù)極點對應的振蕩衰減； 共軛極點：,暫態(tài)響應與極點位置關系,1)當閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內時,其對應的暫態(tài)分量是衰減的。 2)要使控制系統(tǒng)具有比較滿意的暫態(tài)響應,其閉環(huán)極點應盡量避免分布在Z平面單位圓內的左半部,最好分布在單位圓內的右半部。 3)極點盡量靠近坐標原點,相應的暫態(tài)分量衰減速度較快。 4)離單位圓周最近且附近無閉環(huán)零點的共軛復數(shù)極點為主導極點。,3、采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,與連續(xù)系統(tǒng)類似地求穩(wěn)

19、態(tài)誤差有兩種方法： 1)應用z變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差的終值； 2)應用誤差脈沖傳遞函數(shù)計算靜態(tài)誤差系數(shù),進而得到穩(wěn)態(tài)誤差。,誤差脈沖傳遞函數(shù)為,閉環(huán)采樣控制系統(tǒng),由z變換終值定理得穩(wěn)態(tài)誤差為,與連續(xù)系統(tǒng)類似,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為,=0稱為0型系統(tǒng)；=1稱為I型系統(tǒng)；=n 稱為n型系統(tǒng)。,定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù) 對于0型系統(tǒng) 為一常量，穩(wěn)態(tài)誤差為 對于型及以上系統(tǒng),1）單位階躍輸入：,定義靜態(tài)速度誤差系數(shù) 對于0型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為 對于型 為常值 , 也為常值 對于型及以上系統(tǒng),2）單位斜坡輸入：,定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 對于0型和型系統(tǒng) ，穩(wěn)態(tài)誤差為 對于型 為常值, 也為常值,3

20、）單位加速度輸入：,采樣系統(tǒng)誤差除了與系統(tǒng)的結構、參數(shù)和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。,例 采樣系統(tǒng)結構圖如圖所示，設T=0.2s，輸入信號為 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,解： 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為,T=0.2s時,系統(tǒng)特征方程為,所以系統(tǒng)穩(wěn)定,所以采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為,關于采樣時刻之間的波紋引起的誤差,由于采樣，系統(tǒng)中增加了高頻分量，造成了采樣間隔的紋波如圖所示。它們同樣影響到采樣點的穩(wěn)態(tài)誤差，所以在用上述方法求誤差時，嚴格說還應將它們也考慮進去。分析紋波須應用修正z變換法。,采樣時刻間的紋波,8-6 最少拍采樣系統(tǒng)的校正,在采樣系統(tǒng)中通常將一個采樣周期稱之為一拍，若在典型輸入信號作用下，經過最少采樣周期，系統(tǒng)的采樣誤差信號減小為零實現(xiàn)完全跟蹤，則稱之為最少拍系統(tǒng)。,具有數(shù)字控制器的采樣控制系統(tǒng),閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),誤差脈沖傳遞函數(shù)為,求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為,或,最小拍系統(tǒng)的設計是針對典型輸入作用進行的. 典型輸入信號的z變換可以表示為如下一