1、1,第八章 圓錐曲線方程,軌跡和軌跡方程,第 講,4,（第二課時(shí)）,2,題型3 代入法求軌跡方程,3,4,5,6,求經(jīng)過定點(diǎn)A(1，2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為 的橢圓下方的頂點(diǎn)的軌跡方程. 解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)為F(x0，y0)， 由定義知 所以|AF|=1， 故點(diǎn)F的軌跡方程為(x0-1)2+(y0-2)2=1. 又設(shè)橢圓下方頂點(diǎn)為P(x,y),則x0=x,y0= y, 所以點(diǎn)P的軌跡方程是(x-1)2+( y-2)2=1.,7,2. 如右圖,P是拋物線C： 上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P 且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q. 若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直， 求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程. 解：設(shè)P(x1,y1

2、)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)， 依題意知x10，y10，y20. 由 由得y=x,題型4 參數(shù)法求軌跡方程,8,所以過點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1. 所以直線l的斜率 所以直線l的方程為 方法1：聯(lián)立消去y，得 因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)， 所以,9,消去x1，得 所以PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為 方法2：由 得 則 所以 將上式代入式并整理，得 所以PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為,10,點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，以及求軌跡方程的常用方法.本題求解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題.本題先設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，然后利用拋物線方程、切線方程等得出橫坐標(biāo)

3、的關(guān)系及中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把所求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)轉(zhuǎn)化為所設(shè)參數(shù)x1的式子，然后通過消去所設(shè)參數(shù)，就得到x0,y0的方程，這就是參數(shù)法求軌跡方程.應(yīng)用參數(shù)法的關(guān)鍵是找到各參數(shù)之間的關(guān)系及如何代入或整體消參.,11,12,13,14,15,設(shè)橢圓方程為 過點(diǎn)M(0，1)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí), 求 的最小值與最大值. 解法1：直線l過點(diǎn)M(0,1),設(shè)其斜率為k， 則l的方程為y=kx+1. 記A(x1，y1)，B(x2，y2).,題型 軌跡思想的應(yīng)用,16,由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2) 是方程組 的解,將代

4、入并化簡, 得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以 于是 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0.,17,當(dāng)k不存在時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo) 原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程， 所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0. 所以 又 即 所以 所以當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)x= 時(shí)，|NP|min= .,18,解法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y). 因?yàn)锳(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上， 所以 由-得 所以 當(dāng)x1x2時(shí),有 ,19,并且 將代入并整理得4x2+y2-y=0. 當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0，2) 和(0，-2)，此時(shí)點(diǎn)P(0，0)也滿足. 所以點(diǎn)P的軌跡方

5、程是4x2+y2-y=0. 以下同解法1.,20,1. 求軌跡方程是解析幾何的基本內(nèi)容，必須理解各種方法在什么情況下使用.常用方法：定義法、直接法、代入法、參數(shù)法.在解題時(shí)考慮順序使用往往是尋求解題方法的思維程序. 2. 求軌跡方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則一般先求出方程，然后說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置、大小都需說明、討論清楚.,21,3. 某些最值問題常?；瘹w為軌跡問題來解決，即先研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程，再在此基礎(chǔ)上求相關(guān)最值，這就是軌跡思想. 4. 利用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡也是解決問題的常用方法，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： (1)參數(shù)的選擇要合理，應(yīng)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y有直接關(guān)系，且易用參數(shù)表達(dá).可供選擇作為參數(shù)的元素很多，有點(diǎn)參數(shù)、角參數(shù)、線段參數(shù)、斜率參數(shù)等.,22,(2)