1、,3 條 件 概 率,一 條 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和貝葉斯公式,目 錄 索 引,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,一 條 件 概 率,條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。 它所考慮的是事件 A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率。,吸煙有害健康,S,AB,B,A,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,條 件 概 率,設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且,則稱事件B在“事件A已發(fā)生”這一附加條件下的 概率為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率 ，簡稱為B在A之下的條件概率，記為,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 1

2、 盒中有4個外形相同的球，它們的標(biāo)號分別 為1、2、3、4，每次從盒中取出一球，有放 回地取兩次 則該試驗的所有可能的結(jié)果為 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i號球，第二次取j號球,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,設(shè)A= 第一次取出球的標(biāo)號為 2 B= 取出的兩球標(biāo)號之和為 4 則事件B所含的樣本點為 (1,3) (2,2) (3,1) 因此事件B的概率為:,若我們考慮在事件A發(fā)生的條件下，事

3、件B發(fā)生的概率并記此概率為:,由于已知事件A已經(jīng)發(fā)生，則該試驗的所有可能結(jié)果為,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 這時，事件B是在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下的概率，因此這時所求的概率為,注：由例1可以看出，事件在“條件A已發(fā)生這附加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的 因此，有必要引入下面的定義：,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率，簡稱為B在A之下的條件概率。 在例 1 中，我們已求得,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,還可求得,故有,返回主目錄,條件概率的性質(zhì)：,第

4、一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 2已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女孩，求該家庭至少有一個男孩的概率,則,所以,解：設(shè) A= 3個小孩至少有一個女孩 B= 3個小孩至少有一個男孩 ,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,兩個事件的乘法公式,由條件概率的計算公式,我們得,這就是兩個事件的乘法公式,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,多個事件的乘法公式,則有,這就是n個事件的乘法公式,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 4 袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止求

5、取了n次都未取出黑球的概率 解：,則,由乘法公式，我們有,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 5 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,全概率公式和貝葉斯公式,S,A1,A2,An,.,BA

6、1,BA2,.,BAn,定義 設(shè) S 為試驗 E 的樣本空間， 為 E 的一組事件。若滿足 (1) (2) 則稱 為 樣本空間 S 的一個劃分。,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,全 概 率 公 式：,設(shè)隨機事件,滿足：,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,全概率公式的證明,由條件：,得,而且由,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,S,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,全概率公式的證明（續(xù)）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,全概率公式的使用,我們把事件B看作某一過程的結(jié)

7、果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例6 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,Bayes 公 式,設(shè)隨機事件,滿足,全概率公式,條件概率,乘法定理,

8、則,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,Bayes公式的使用,我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，,根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，,而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，,如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i 個原因引起的概率，則用Bayes公式,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 8 用某種方法普查肝癌，設(shè)： A= 用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實患有肝癌 ， 已知,現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 8（續(xù)）,解： 由已知，得,所以，由Bayes公式，得,第一章

9、 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 9,袋中有10個黑球，5個白球現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球若已知取出的球全是白球，求擲出3點的概率 解： 設(shè)：B= 取出的球全是白球 ,則由Bayes公式，得,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例9（續(xù)）,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,返回主目錄,例 10 某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。 元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,第一章 概率論的基本概念,3條件概率

10、,設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。 （1）在倉庫中隨機的取一只晶體管，求它是次品的概率。 （2）在倉庫中隨機的取一只晶體管，若已知取到的是次品試分析此次品出自那家工廠的可能性最大。,解 ： 設(shè) A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的產(chǎn)品是由第 i家工廠提供的”,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,例10（續(xù)）,返回主目錄,元件制造廠 次品率 提供晶體管的份額 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,貝葉斯公式,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,例10（續(xù)）,返回主目錄,元件制造廠 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,例10（續(xù)）,返回主目錄,第一章 概率論的基本概念,3條件概率,例10（續(xù)）,返回主目錄,例 11 對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為