1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),1 復(fù)數(shù) 2 復(fù)平面上的點(diǎn)集 3 復(fù)變函數(shù),1 復(fù)數(shù),1 復(fù)數(shù)域 形如 或 的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中 和 均是實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部，記為 ， ， 稱為虛單位 兩個(gè)復(fù)數(shù) ， 與相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別對應(yīng)相等，即 且 虛部為零的復(fù)數(shù)可看作實(shí)數(shù)，即 ，特別地， ，因此，全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分 實(shí)數(shù)為零但虛部不為零的復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù)，復(fù)數(shù) 和 稱為互為共軛復(fù)數(shù)，記為 或,設(shè)復(fù)數(shù) ， ，則復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)定： 容易驗(yàn)證復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律 全體復(fù)數(shù)并引進(jìn)上述運(yùn)算后稱為復(fù)數(shù)域，必須特別提出的是，在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)是不能比較大小的,復(fù)平面,從

2、上述復(fù)數(shù)的定義中可以看出，一個(gè)復(fù)數(shù) 實(shí)際上是由一對有序?qū)崝?shù) 唯一確定因此，如果我們把平面上的點(diǎn) 與復(fù)數(shù) 對應(yīng)，就建立了平面上全部的點(diǎn)和全體復(fù)數(shù)間的一一對應(yīng)關(guān)系 由于 軸上的點(diǎn)和 軸上非原點(diǎn)的點(diǎn)分別對應(yīng)著實(shí)數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱 軸為實(shí)軸，稱 軸為虛軸，這樣表示復(fù)數(shù) 的平面稱為復(fù)平面或 平面 圖1.1,3復(fù)數(shù)的模與幅角,由圖1-1中可以知道，復(fù)數(shù) 與從原點(diǎn)到點(diǎn) 所引的向量 也構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù) 對應(yīng)零向量）從而，我們能夠借助于點(diǎn) 的極坐標(biāo) 和 來確定點(diǎn) ，向量 的長度稱為復(fù)數(shù) 的模，記為 顯然，對于任意復(fù)數(shù) 均有 ， ， 另外，根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式 （三角形

3、兩邊之和第三邊，圖1-2） （三角形兩邊之差第三邊，圖1-3） (1.2)與(1.3)兩式中等號成立的幾何意義是：復(fù)數(shù) ， 分別與 及 所表示的三個(gè)向量共線且同向,圖1.2 圖1.3,向量 與實(shí)軸正向間的夾角 滿足 稱為復(fù)數(shù) 的幅角(Argument)，記為 由于任一非零復(fù)數(shù) 均有無窮多個(gè)幅角，若以 表示其中的一個(gè)特定值，并稱滿足條件 的一個(gè)值為 的主角或 的主幅角，則有 注意：當(dāng) 時(shí)，其模為零，幅角無意義 從直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，我們還可以用復(fù)數(shù)的模與幅角來表示非零復(fù)數(shù) ，即有 同時(shí)我們引進(jìn)著名的歐拉 公式： 則 可化為,(1.6)與(1.8)式分別稱為非零復(fù)數(shù) 的三角形式和指數(shù)形式，由(

4、1.8)式幾指數(shù)性質(zhì)即可推得復(fù)數(shù)的乘除有 因此 ， 公式(1.10)與(1.11)說明：兩個(gè)復(fù)數(shù) ， 的乘積（或商），其模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)模的乘積（或商），其幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和（或差） 特別當(dāng) 時(shí)可得 此即說明單位復(fù)數(shù) 乘任何數(shù)，幾何上相當(dāng)于將此數(shù)所對應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,另外，也可把公式(1.11)中的 換成 （某個(gè)特定值），若 為主值時(shí)，則公式兩端允許相差 的整數(shù)倍，即有 公式(1.9)可推廣到有限個(gè)復(fù)數(shù)的情況，特別地，當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，就得到熟知的德摩弗 公式：,例1.1 求 及 用 與 表示的式子 解：,4.曲線的復(fù)數(shù)方程,例1.2 連接 及 兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為 過 及 兩

5、點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為 例1.3 平面上以原點(diǎn)為心， 為半徑的圓周的方程為 平面上以 為心， 為半徑的圓周的方程為 例1.4 平面上實(shí)軸的方程為 ，虛軸的方程為 .,作業(yè):第42頁 1,2,3,2 復(fù)平面上的點(diǎn)集,1幾個(gè)基本概念 定義1.1 滿足不等式 的所有點(diǎn) 組成的平面點(diǎn)集（以下簡稱點(diǎn)集）稱為點(diǎn) 的 ，記為 顯然， 即表示以 為心，以 為半徑的圓的內(nèi)部 定義1.2 設(shè) 為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若平面上一點(diǎn) 的任意鄰域內(nèi)具有 的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱 為 的內(nèi)點(diǎn) 定義1.3 若 的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于 ，則稱 為閉集 若 的所有點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)，則稱 為開集 定義1.4 若 ， ，均有 則稱 為有界集，否則稱 為無

6、界集,2.區(qū)域與約當(dāng)(Jordan)曲線,定義1.5 若非空點(diǎn)集 滿足下列兩個(gè)條件： (1) 為開集 (2) 中任意兩點(diǎn)均可用全在 中的折線連接起來，則稱 為區(qū)域（圖） 定義1.6 若 為區(qū)域 的聚點(diǎn)且 不是 的內(nèi)點(diǎn)，則稱 為 的界點(diǎn)， 的所有界點(diǎn)組成的點(diǎn)集稱為 的邊界，記為 ，若 ，使得 ，則稱 為 的外點(diǎn) 定義1.7 區(qū)域 加上它的邊界 稱為閉區(qū)域，記為,例1.5 平面上以點(diǎn) 為心， 為半徑的圓周內(nèi)部（即圓形區(qū)域）： 例1.6 平面上以點(diǎn) 為心， 為半徑的圓周及其內(nèi)部（即圓形閉區(qū)域） 例1.5與例1.6所表示的區(qū)域都以圓周 為邊界，且均為有界區(qū)域 例1.7 上半平面 下半平面 它們都以實(shí)軸

7、 為邊界，且均為無界區(qū)域 左半平面 右半平面 它們都以虛軸 為邊界，且均為無界區(qū)域,例1.8 圖1.4所示的帶形區(qū)域表為 . 其邊界為 與 ，亦為無界區(qū)域 例1.9 圖 所示的圓環(huán)區(qū)域表為 其邊界為 與 ，為有界區(qū)域 定義1.8 設(shè) 及 是兩個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù) 在閉區(qū)間 上的連續(xù)實(shí)數(shù)，則由方程,所確定的點(diǎn)集 稱為 平面上的一條連續(xù)曲線，(1.13)稱為 的參數(shù)方程， 及 分別稱為 的起點(diǎn)和終點(diǎn)，對任意滿足 及 的 與 ，若 時(shí)有 ，則點(diǎn) 稱為 的重點(diǎn)；無重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡單曲線（約當(dāng)曲線）； 的簡單曲線稱為簡單閉曲線若在 上時(shí)， 及 存在節(jié)不全為零，則稱 為光滑（閉）曲線,定義1.9 由有限條光滑

8、曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線 定理1.1（約當(dāng)定理） 任一簡單閉曲線 將平面 唯一地分為 、 、 三個(gè)點(diǎn)集（圖1.5），它們具有如下性質(zhì)： (1)彼此不交 (2) 與 一個(gè)為有界區(qū)域（稱為 的內(nèi)部），另一個(gè)為無界區(qū)域（稱為 的外部） (3)若簡單折線 的一個(gè)端點(diǎn)屬于 ，另一個(gè)端點(diǎn)屬于 ，則 與 必有交點(diǎn) 對于簡單閉曲線的方向，通常我們是這樣來規(guī)定的：當(dāng)觀察這沿 繞行一周時(shí)， 的內(nèi)部（或挖）始終在 的左方，即“逆時(shí)針”（或“順時(shí)針”）方向，稱 為的正方向（或負(fù)方向） 圖1.5,定義1.10 設(shè) 為復(fù)平面上的區(qū)域，若 內(nèi)任意一條簡單閉曲線的內(nèi)部全含于 ，則稱 為單連通區(qū)域，不是單連通的區(qū)

9、域稱為多連通區(qū)域 例如，例1.51.8所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域，例1.9所示的區(qū)域?yàn)槎噙B通區(qū)域,作業(yè): 第42頁 6.(1) (3) (5) , 9,10,3 復(fù)變函數(shù),1復(fù)變函數(shù)概念 定義1.11 設(shè) 為一復(fù)數(shù)集，若存在一個(gè)對應(yīng)法則 ，使得 內(nèi)每一復(fù)數(shù) 均有唯一（或兩個(gè)以上）確定的復(fù)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱在 上確定了一個(gè)單值（或多值）函數(shù) ， 稱為函數(shù) 的定義域， 值的全體組成的集合稱為函數(shù) 的值域 例如 ， 及 均為單值函數(shù)， 及 均為多值函數(shù) 今后如無特別說明，所提到的函數(shù)均為單值函數(shù),設(shè) 是定義在點(diǎn)集 上的函數(shù)，若令 ， 則 、 均隨著 、 而確定，即 、 均為 、 的二元實(shí)函數(shù)，因此我們

10、常把 寫成 若 為指數(shù)形式， ， 則又可表為 其中 ， 均為 、 的二元實(shí)函數(shù) 由(1.14)和(1.15)兩式說明，我們可以把復(fù)變函數(shù)理解為復(fù)平面 上的點(diǎn)集和復(fù)平面 上的點(diǎn)集之間的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系（映射或變換），這是由于在復(fù)平面上我們不再區(qū)分“點(diǎn)”（點(diǎn)集）和“數(shù)”（數(shù)集）故今后我們也不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換,2. 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性,定義1.12 設(shè) 于點(diǎn)集 上有定義， 為 的聚點(diǎn)，若存在一復(fù)數(shù) ，使得 ， ，當(dāng) 時(shí)有 則稱 沿 于 有極限 ，記為,可以類似于數(shù)學(xué)分析中的極限性質(zhì)，容易驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)的極限具有以下性質(zhì)： (1)若極限存在，則極限是唯一的 (2) 與 都存在，則有 另外，對于復(fù)變函數(shù)的極限與其實(shí)部和虛部的極限的關(guān)系問題，我們有下述定理：,定理1.2 設(shè)函數(shù) 于點(diǎn)集 上有定義， 為 的聚點(diǎn)，則 的充要條件 及,與數(shù)分中的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)相似，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性有如下性質(zhì)： (1)若 ， 沿集 于點(diǎn) 連續(xù)，則其和，差，積，商（在商的情形，要求分母 不為零）沿點(diǎn)集 于 連續(xù) (2)若函數(shù) 沿集 于 連續(xù)，且 ，函數(shù) 沿集 于 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 沿集 于 連續(xù) 其次，我們還有 定理1.3 設(shè)函數(shù) 于點(diǎn)集 上有定義, ,則 在 點(diǎn)連續(xù)的充要條件為： , 沿 于 點(diǎn)均連續(xù).,例1.10 設(shè) 試證 在原點(diǎn)無極限,從而在原點(diǎn)不連續(xù). 證明：設(shè) ,則 因此 故 不存在,從