1、專題一 數(shù)學思想方法 第1講 函數(shù)與方程思想 函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要概念，它們之間 有著密切的聯(lián)系.函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的 基本思想，主要依據(jù)題意，構造恰當?shù)暮瘮?shù)，或建 立相應的方程來解決問題，是歷年高考的重點和熱點. 1.函數(shù)的思想 用運動和變化的觀點,集合與對應的思想分析和研,第一部分 知識整合篇,究具體問題中的數(shù)量關系,建立函數(shù)關系或構造函 數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題 使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認 識。 2.方程的思想 在解決問題時，用事先設定的未知數(shù)溝通問題中 所涉及的各量間的等量關系，建立方程或方程 組，求出未知數(shù)及各量的值，或者用方程的性

2、質 去分析、轉化問題、使問題獲得解決. 3.函數(shù)的思想與方程的思想的關系 在中學數(shù)學中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知,識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的 知識和方法去解決.對于函數(shù)y=f(x)，當y=0時， 就轉化為方程f(x)=0，也可以把函數(shù)y=f(x)看作 二元方程y-f(x)=0，函數(shù)與方程可相互轉化. 4.函數(shù)與方程的思想在解題中的應用 （1）函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)y=f(x)， 當y0時，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖 象和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也 離不開不等式. （2）數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函 數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十

3、分重要. （3）解析幾何中的許多問題,需要通過解二元方,程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有 關理論. （4）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計 算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方 法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何 與函數(shù)的關系更加密切. 例1 已知a,b,cR，a+b+c=0,a+bc-1=0，求a的 取值范圍.,一、函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)范圍中的應用,思維啟迪 本題可以根據(jù)題設條件將b,c的和與積 用a表示，構造一元二次方程，然后利用一元二次 方程有解，其判別式0，再構建a的不等式求 解，或根據(jù)題設條件將a表示成c的函數(shù)轉化為求 函數(shù)的值域問題求解. 解

4、 方法一 （方程思想）： 因為b+c=-a,bc=1-a.所以b,c是方程x2+ax+1-a=0的兩根，所以=a2- 4(1-a)0，即=a2+4a-40, 解得a-2+ 或a-2- . 方法二 （函數(shù)思想）：由已知 得b+c-bc+1=0,a+b+c=0 a+bc-1=0,如果c=1，則b+1-b+1=0, 即2=0,不成立，因此c1, 所以 令 所以 令f(c)=0，則c=1 . 當c1- 時，f(c)0, 函數(shù)f(c)在區(qū)間（-,1- ）上是減函數(shù)； 當1- c1時，f(c)0， 函數(shù)f(c)在區(qū)間（1- ，1）上是增函數(shù)； 當1c 1+ 時，f(c)0,函數(shù)f(c)在區(qū)間（1，1+ ）

5、上是增函數(shù)， 當c1+ ,f(c)0，函數(shù)f(c)在區(qū)間（1+ ， +）上是減函數(shù). 函數(shù)f(c)= 的圖象如圖所示. 所以f(c)f(1- )=-2+2 或f(c)f(1+ )=-2-2 , 所以a的范圍是a-2+2 或a-2-2 .,方法三 （函數(shù)思想）：同方法二， 可令f(c)= 當1-c0時， 當1-c0時， 所以a的范圍是a-2+2 或a-2-2 . 探究提高 （1）求字母（或式子）的值的問題往 往要根據(jù)題設條件構建以待求字母（式子）為元 的方程（組），然后由方程（組）求得. （2）求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、 數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題.解決這類問 題一般有兩種途徑

6、，其一，充分挖掘題設條件中,的不等關系，構建以待求字母為元的不等式（組） 求解；其二，充分應用題設中的等量關系，將待 求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應用函數(shù) 知識求值域. （3）當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構建 一元二次方程的明顯信息，構造方程后再利用方 程知識可使問題巧妙解決. （4）當問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量 關系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變 量表示成關于另一個變量的表達式，那么就可用 研究函數(shù)的方法將問題解決.,變式訓練1 若拋物線y=-x2+mx-1和以A(0,3), B(3,0)為端點的線段AB有兩個不同的交點,求實 數(shù)m的取值范圍. 解 線段AB的方

7、程為x+y=3(0 x3). 代入y=-x2+mx-1得: x2-(m+1)x+4=0(0 x3). 原命題等價于f(x)=x2-(m+1)x+4在0,3上有兩 個相異實根,于是:,解得 故實數(shù)m的取值范圍是 二、函數(shù)與方程思想在方程問題中的應用 例2 如果方程cos2x-sin x+a=0在（0, 上有 解，求a的取值范圍. 思維啟迪 可分離變量為a=-cos2x+sin x，轉化為 確定的相關函數(shù)的值域. 解 方法一 把方程變形為a=-cos2x+sin x. 設f(x)=-cos2x+sin x（x(0, ）. 顯然當且僅當a屬于f(x)的值域時，a=f(x)有解. f(x)=-(1-s

8、in2x)+sin x,且由x(0, 知sin x(0,1. 易求得f(x)的值域為（-1，1. 故a的取值范圍是（-1,1. 方法二 令t=sin x,由x(0, , 可得t(0,1. 將方程變?yōu)閠2+t-1-a=0. 依題意，該方程在（0，1上有解. 設f(t)=t2+t-1-a. 其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t=- ，如 圖所示.,因此f(t)=0在（0，1上有解等價于 即 ，-1a1. 故a的取值范圍是（-1，1. 探究提高 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù) 等復雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一 是分離參數(shù)構建函數(shù)，將方程有解轉化為求函數(shù) 的值域；二是換元，將復雜方程問題轉化

9、為熟悉 的二次方程；進而利用二次方程解的分布情況構 建不等式或構造函數(shù)加以解決.,f(0)0 f(1)0,，,-1-a0 1-a0,變式訓練2 已知關于x的方程sin2x+mcos x -2m=0 有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍. 解 方法一 原方程可變?yōu)閏os2x-mcos x+2m-1=0, 令t=cos x，則方程為t2-mt+2m-1=0 因為t-1,1，所以方程有實根的充要條件 是方程在-1，1上有實根，即解不等式組 解得0m4-2,方法二 設f(t)=t2-mt+2m-1,t-1,1.原方 程有實數(shù)解的充要條件為f(-1)f(1)0, 方法三 將方程變形為 又由“兩個正數(shù)積一定,則它

10、們差的絕對值越大, 其和也越大”可得當cos x=1或cos x=-1時，,或,解得0m4-,（2-cos x）+ 有最大值4，所以m0.綜 合得 方法四 原方程化為sin2x=m(2- cos x),令 y=sin2x,x=2- cos x,于是得(x-2)2=-(y-1) (1x3)，這表示頂點在（2，1）， 開口向下的一段拋物線，原方程變?yōu)閥=mx， 表示過原點的直線系，于是問題轉化為直線 y=mx，與拋物線段（x-2）2=-(y- 1)(1x3)有公共點時，求m的取值范圍，如 圖可得,三、函數(shù)與方程思想在不等問題中的應用 例3 設不等式2x-1m(x2-1)對滿足|m|2的一 切實數(shù)m

11、的取值都成立，求x的取值范圍. 思維啟迪 變更主元，將m看作主元.構造以 m為自變量的函數(shù):f(m)=m(x2-1)-2x+1. 解 問題可變成關于m的一次不等式：(x2-1)m- (2x-1)0在-2，2上恒成立，設f(m)=(x2- 1)m-(2x-1), 解得,則,f(2)=2(x2-1)-(2x-1)0 f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)0,探究提高 一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學 問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示 函數(shù)關系，使問題更明朗化，或者在含有參數(shù)的 函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函 數(shù)自變量，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關 問題.求解本題的關鍵

12、是變換角度，以參數(shù)m作為 自變量而構造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉 區(qū)間上的值域問題.本題有別于關于x的不等式2x- 1m(x2-1)的解集是-2，2時求m的值、關于 x的不等式2x-1m(x2-1)在-2，2上恒成立 時求m的取值范圍.,變式訓練3 求自然數(shù)a的最大值，使不等式 對一切自然數(shù)n都成立. 解 令 對任意的nN， 所以f(n)在N上是增函數(shù). 又f(1)= ，f(0)=1，對一切自然數(shù)n,f(n)a-7都 成立的充要條件是1a-7, 所以a8,故所求自然數(shù)a的最大值是7.,四、函數(shù)與方程的思想在解決優(yōu)化問題中的應用 例4 三棱錐SABC,SA=x,其余的所有棱長均為 1,它的體

13、積為V. (1)求V=f(x)的解析表達式,并求此函數(shù)的定義域； (2)當x為何值時,V有最大值?并求此最大值. 思維啟迪 作出底面ABC的垂面,把原三棱錐看作 以這個垂面為底面的兩個三棱錐. 解 (1) 如圖，取BC中點D,連接 SD、AD，則SDBC，ADBC， BC平面SAD. 作DESA于E，,由于SD=AD 則E是SA的中點， 定義域是（0， ). （2）,探究提高 解析幾何、立體幾何及其實際應用等 問題中的最優(yōu)化問題，一般利用函數(shù)思想來解 決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，再 用函數(shù)的知識來解決.,等號當且僅當x2=3-x2,即 時成立,當 時,體積V最大為,變式訓練4 平面

14、內(nèi)邊長為a的正三角 形ABC，直線DEBC，交AB、AC于 D、E，現(xiàn)將ABC沿ED折成60的二 面角,求DE在何位置時,折起后A到BC 的距離最短,最短距離是多少? 解 如圖所示,點A沿DE折起到A, 過A作AGBC于G,交DE于F,連接AF,AG, ABC為正三角形,又DEBC, AGDE, 同時G,F分別為BC,DE的中點, DE面AFG,BC面AFG,AFG是二面角AEDB的平面角, 由題知AFG=60,AG為所求. 在AFG中,設FG=x,則AF= 由余弦定理得 AG2=AF2+FG2-2AFFGcos 60 當 時，(AG)min 即DE恰為ABC中位線時折起后A到BC的距離最 短

15、,最短距離為,規(guī)律方法總結 1.借助有關函數(shù)的性質，一是用來解決有關求值、 解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值 范圍等問題，二是在問題的研究中，可以通過 建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)來求解. 2.許多數(shù)學問題中，一般都含有常量、變量或參 數(shù)，這些參變量中必有一個處于突出的主導地 位，把這個參變量稱為主元，構造出關于主元的 方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程 的實質就是分離參變量.,一、選擇題 1.設P（x,y）是橢圓x2+4y2=4上的一個動點，有定點 M（1，0），則|PM|2的最大值是 （ ） A. B.1 C.3 D. 9 解析 |PM|2=（x-1）2+y2=(x-1)2

16、+1- 又-2x2，當x=-2時，,D,2. f(x)是定義在(0,+)上的非負可導函數(shù)，且滿足 xf(x)+f(x)0.對任意正數(shù)a、b，若ab，則必 有 ( ) A.af(a)f(b) B.bf(b)f(a) C.af(b)bf(a) D.bf(a)af(b) 解析 xf(x)+f(x)0,即xf（x）0， xf（x）是減函數(shù).又aa0,f(x)0, bf(a)af(a)且bf(b)af(b), bf(a)af(a)bf(b)af(b), bf(a)af(b).,C,3. 設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時， f(x)=x2.若對任意的xt,t+2,不等式f(x+t) 2f(x)恒

17、成立,則實數(shù)t的取值范圍是（ ） A. B.2,+) C.(0,2 D. ,A,4. f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),f(2)=0， 則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-1，4)內(nèi)的零點個數(shù)( ) A.2 B.3. C.4 D.5 解析 f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， f(0)=0.由f(2)=0，得f(-2)=0. 又f(x)的周期為3，f(1)=0,f(3)=0. 又 故選D.,D,5. 已知對于任意的a-1，1，函數(shù)f(x)=x2+(a- 4)x+4-2a的值總大于0，則x的取值范圍是（ ） A.13 C.13 解析 將f(x)=x2+(a-4)x+4-2a看作是a的一次函 數(shù)，記為g

18、(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 當a-1，1時恒有g(a)0，只需滿足條件 解之得x3.,g(1)0, g(-1)0,x2-3x+20, x2-5x+60,即,B,二、填空題 6. 已知不等式（x+y） 對任意正實數(shù)x，y 恒成立，則正實數(shù)a的最小值為 . 解析 只需求（x+y） 的最小值大于等于9 即可， 又（x+y） =1+a +aa+1+ 等號成立僅當a 即可，所 以 即 求得 或 （舍） 所以a4，即a的最小值為4.,4,7. 若關于x的方程（2-2-|x-2|）2=2+a有實根，則實 數(shù)a的取值范圍是 . 解析 令f(x)=(2-2-|x-2|)2 要使f(x)=2+a有實根 只需2+a是f(x)的值域內(nèi)的值. f(x)的值域為1,4) 1a+24,-1a2.,-1，2）,8.若數(shù)列an的通項公式為an= （其中nN*），且該數(shù)列中最大的項為am，則 m= . 解析 令 構造 f(x)=8x2-6x+1 令f(x)=0，故 f(x)在 上為增函數(shù)， f(x)在 上為減函數(shù) 即當 時，f（x）最大， n=2時，a2最大. m=2.,2,三、解答題 9.某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬 在2010年度進行一系列的促銷活動.經(jīng)過市場調查 和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費用t萬 元之間滿足：3-x與t+1成反