1、第五章 時變電磁場 Electromagnetic field equations,5.1 法拉弟電磁感應(yīng)定律和全電流定律 5.2 麥克斯韋方程組 5.3 電磁場的邊界條件5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量 5.5 時諧電磁場,時變電磁場, 在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數(shù)；變化的磁場會產(chǎn)生電場，變化的電場會產(chǎn)生磁場，電場與磁場相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。, 英國科學(xué)家麥克斯韋提出位移電流假說，將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。,靜電場和恒定電流的磁場各自獨(dú)立存在，可以分開討論。,5 .1 .1 法拉第電

2、磁感應(yīng)定律 (Faradays Law of Induction),靜態(tài)場:場大小不隨時間發(fā)生改變(靜電場,恒定電、磁場),時變場:場的大小隨時間發(fā)生改變。,特性：電場和磁場相互激勵，從而形成不可分隔的統(tǒng)一的整體，稱為電磁場。,特性：電場和磁場相互獨(dú)立，互不影響。,一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律,電磁感應(yīng)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應(yīng)電流。,楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。,5 .1 Time-varying Electromagnetic Fields,法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律,法拉第電磁感應(yīng)定律

3、：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生改變時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與回路磁通量的時間變化率成正比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：,說明：“-”號表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的作用總是要阻止回路磁通量的改變。,二、法拉第電磁感應(yīng)定律,當(dāng)回路以速度v運(yùn)動時，,斯托克斯定理,法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式,物理意義：1、某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時間變化率的負(fù)值等于該點(diǎn)時變電場強(qiáng)度的旋度。 2、感應(yīng)電場是有旋場，其旋渦源為 ，即磁場隨時間變化的地方一定會激發(fā)起電場，并形成旋渦狀的電場分布。,說明：感應(yīng)電動勢由兩部分組成，第一部分是磁場隨時間變化在回路中“感生”的電動勢; 第二部分是導(dǎo)體回路以速度v對磁場作相對運(yùn)動所引起的“動生”電動勢,當(dāng)

4、回路靜止時，,變化的磁場能產(chǎn)生電場,電流連續(xù)性方程,時間內(nèi)，V內(nèi)流出S的電荷量為,電荷守恒定律： 時間內(nèi)，V內(nèi)電荷改變量為,由電流強(qiáng)度定義：,電流連續(xù)性方程的微分形式,電流連續(xù)性方程積分形式,5 .2 .2 位移電流和全電流定律,在時變情況下,另一方面，由,得到了兩個相互矛盾的結(jié)果。,位移電流,是電位移矢量對時間的變化率，具有電流密度的量綱，稱為位移電流密度,:,全電流定律,由,積分形式：,物理意義：該定律包含了隨時間變化的電場能夠產(chǎn)生磁場這樣一個重要概念，也是電磁場的基本方程之一。 磁場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。,推廣的安培環(huán)路定理,全電流定律,全電流,變化的電

5、場能產(chǎn)生磁場,對任意封閉面S有,全電流連續(xù)性原理,物理意義： 穿過任一封閉面的各類電流之和恒為零。這就是全電流連續(xù)性原理。 將它應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中, 得知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號, 流入取負(fù)號)。這就是基爾霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)電流定律: I=0。,例：在z=0和z=d位置有兩個無限大理想導(dǎo)體板，在極板間存在時變電磁場，其電場強(qiáng)度為,求：(1)該時變場相伴的磁場強(qiáng)度 ；,例題,解：(1)由法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式,設(shè)平板電容器兩端加有時變電壓U, 試推導(dǎo)通過電容器的電流I與U的關(guān)系。,圖 平板電容器,例 5 .2,解：,設(shè)平板尺寸遠(yuǎn)大于其間距

6、, 則板間電場可視為均勻, 即E=U/d, 從而得,式中C=A/d為平板電容器的電容。,5 .3 .1 麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式,5 .3 麥克斯韋方程組,Maxwells Equations,（推廣的安培環(huán)路定律）,（法拉第電磁感應(yīng)定律）,（磁通連續(xù)性定律）,（高斯定律）,一、麥克斯韋方程組的微分形式,時變電磁場的源： 1、真實(shí)源（變化的電流和電荷）； 2、變化的電場和變化的磁場。,時變電場的方向與時變磁場的方向處處相互垂直。,物理意義：,時變電場是有旋有散的，時變磁場是有旋無散的。但是，時變電磁場中的電場與磁場是不可分割的，因此，時變電磁場是有旋有散場。,在電荷及電流均不存在的無

7、源區(qū)中，時變電磁場是有旋無散的。,電場線與磁場線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。,麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場場量與源之間的基本關(guān)系，揭示了時變電磁場的基本性質(zhì)，是電磁場理論的基礎(chǔ)。,二、麥克斯韋方程組的積分形式,麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，靜電場和恒定磁場的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。,電流連續(xù)性方程也可以由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。 在麥克斯韋方程組中，沒有限定場矢量D、E、H、B之間的關(guān)系，它們適用于任何媒質(zhì)，通常稱為麥克斯韋方程組的非限定形式,本構(gòu)關(guān)系,將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得,麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。,三、麥克斯韋方程組的限

8、定形式,麥克斯韋方程組限定形式,Constitutive equations,若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān), 稱為均勻(homogeneous)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)大小無關(guān), 稱為線性(linear)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)方向無關(guān), 稱為各向同性(isotropic)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)頻率無關(guān), 稱為非色散媒質(zhì); 反之稱為色散(dispersive) 媒質(zhì)。,四、媒質(zhì)的分類,在無源區(qū)域中充滿均勻、線性、各向同性的無耗媒質(zhì)空間中,由麥克斯韋方程組,=0,J=0,無源區(qū)電場波動方程,同理，可以推得無源區(qū)磁場波動方程為：,5.3.2 無源區(qū)的波動方程,wave equations f

9、or source-free medium,時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為電磁波。,建立波動方程的意義：通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過直接求解波動方程求解。,一、定義,令： ，,故：,5.3.3 動態(tài)矢量位和標(biāo)量位,dynamic Vector potential scalar potential,時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間位置的函數(shù)，因此動態(tài)矢量位和動態(tài)標(biāo)量位也為時間和空間位置的函數(shù)。,由于時變場電場和磁場為統(tǒng)一整體，因此動態(tài)標(biāo)量位和動態(tài)矢量位也是一個統(tǒng)一的整體。,

10、為了使時變電磁場場量和動態(tài)位之間滿足一一對應(yīng)關(guān)系，須引入額外的限定條件規(guī)范條件。,洛倫茲規(guī)范條件,二、洛倫茲規(guī)范條件,三、動態(tài)位滿足的方程,引入洛倫茲規(guī)范條件，則方程簡化為,從達(dá)朗貝爾方程可以看出：,試用麥克斯韋方程組導(dǎo)出圖2-6所示的RLC串聯(lián)電路的電壓方程(電路全長遠(yuǎn)小于波長)。,圖 2-6 RLC串聯(lián)電路,例5.3,解: 沿導(dǎo)線回路l作電場E的閉合路徑積分, 根據(jù)麥?zhǔn)戏匠淌?a)有,上式左端就是沿回路的電壓降, 而是回路所包圍的磁通。將回路電壓分段表示, 得,設(shè)電阻段導(dǎo)體長為l1, 截面積為A, 電導(dǎo)率為, 其中電場為J/, 故,電感L定義為m/I, m是通過電感線圈的全磁通, 得,通過

11、電容C的電流已由例2 .2得出:,設(shè)外加電場為Ee, 則有,因?yàn)榛芈分械碾s散磁通可略, d/dt0, 從而得,這就是大家所熟知的基爾霍夫電壓定律。對于場源隨時間作簡諧變化的情形, 設(shè)角頻率為, 上式可化為,5 .4 證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部v=0。 ; 解 利用電流連續(xù)性方程, 并考慮到J=E, 有,其解為,例,導(dǎo)體內(nèi)的電荷極快地衰減, 使得其中的v可看作零。,銅=5.8107S/m =0 =1 .510-19s,v隨時間按指數(shù)減小,馳豫時間:衰減至v0的1/e即36.8%的時間,=/(s),一、一般媒質(zhì)分界面上的邊界條件( ),2-4 電磁場的邊界條件,在不同媒質(zhì)的分界面上，媒質(zhì)的電磁參數(shù)、發(fā)生突變

12、，因而分界面處的場矢量E、H、D、B也會突變，麥克斯韋方程組的微分形式失去意義。此時，有限空間中場量之間的關(guān)系是由積分形式的麥克斯韋方程組制約的，邊界條件就由它導(dǎo)出。,1、 的邊界條件,The boundary conditions for time-varying fields,為表面?zhèn)鲗?dǎo)電流密度。,式中： 為由媒質(zhì)21的法向。,特殊地，若介質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流，則,結(jié)論：當(dāng)分界面上存在傳導(dǎo)面電流時， 切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電流密度。,當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在傳導(dǎo)面電流時， 切向連續(xù)。,2、 的邊界條件,結(jié)論：只要磁感應(yīng)強(qiáng)度的時間變化率是有限的， 切向連續(xù)。,3、 的邊界條件

13、,結(jié)論：在邊界面上， 法向連續(xù)。,4、 的邊界條件,為分界面上自由電荷面密度。,特殊地：若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，則 ,此時有,當(dāng)分界面上存在自由電荷時， 切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電荷密度。,當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在自由電荷時， 切向連續(xù)。,5、J的邊界條件,在理想介質(zhì)分界面上，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。,二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件,在理想介質(zhì)分界面上， 矢量切向連續(xù) 在理想介質(zhì)分界面上， 矢量法向連續(xù),Boundary conditions Between two Perfect dielectrics,在理想導(dǎo)體內(nèi)部 ，在導(dǎo)體分界面上，一般存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。,式中： 為導(dǎo)體外法

14、向。,三、理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件,對于時變場中的理想導(dǎo)體，電場總是與理想導(dǎo)體相垂直，磁場總是與理想導(dǎo)體相切。,Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric,時變場的邊界條件包括四個關(guān)系式?？梢宰C明它們并不是相互獨(dú)立的，當(dāng)滿足兩個切向分量的邊界條件的，必定滿足兩個法向分量的邊界條件。,說明：,在理想介質(zhì)的分界面上，用于定解的邊界條件為 ，分析電磁波在理想介質(zhì)分界面上的反射和透射時就要使用這個邊界條件。,理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體只是理論上存在。在實(shí)際應(yīng)用中，某些媒質(zhì)導(dǎo)電率極小或者極大，則可視作理想介質(zhì)或理想

15、導(dǎo)體進(jìn)行處理。,在理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面上，用于定解的邊界條件為 或 。分析電磁波在理想導(dǎo)體表面上的反射時就要使用這個邊界條件。,例 5 .6 設(shè)平板電容器二極板間的電場強(qiáng)度為3 V/m, 板間媒質(zhì)是云母, r=7 .4, 求二導(dǎo)體極板上的面電荷密度。 解 參看圖5-9(b), 把極板看作理想導(dǎo)體, 在A , B板表面分別有,例：在z=0和z=d位置有兩個無限大理想導(dǎo)體板，在極板間存在時變電磁場，其電場強(qiáng)度為,求：,導(dǎo)體板上的電流分布。,例題,由邊界條件,在下極板上：,解：,在上極板上：,時變場中，電場和磁場相互激勵，能量不斷轉(zhuǎn)換，在這個過程中，電磁能量從一個地方傳遞到另外的地方。,一、坡

16、印廷定理,坡印廷定理描述了空間中電磁能量守恒關(guān)系。,5-5 坡印廷定理和坡印廷矢量,Poyntings theorem the Poyntings vector,The energy and flow of energy in the time-varying fields,利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式，,在線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)中，有,說明： 單位時間單位體積內(nèi)流出的電磁能量；,單位時間單位體積內(nèi)電場能量減少量；,單位時間單位體積內(nèi)磁場能量減少量；,單位體積內(nèi)轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的電磁功率；,將坡印廷定理微分形式在一定體積內(nèi)進(jìn)行積分，得,說明： 表流出閉合面S的電磁功率；,單位時間內(nèi)體積V內(nèi)電場能量增

17、加量；,坡印廷定理物理意義：單位時間內(nèi)，體積V中減少的電磁能量等于流出體積V的電磁能量與體積V內(nèi)損耗的電場能量之和。,單位時間內(nèi)體積V內(nèi)磁場能量增加量；,單位時間內(nèi)體積V內(nèi)損耗的電場能量,定義：坡印廷矢量（用符號 表示）,注：坡印廷矢量也稱能流密度矢量。,二、坡印廷矢量,坡印廷矢量的大小表示單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量。 坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向。,2、對某些時變場， 呈周期性變化。則將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內(nèi)取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即,注： 與時間t無關(guān)。,圖 2-10 坡印廷矢量,一段長直導(dǎo)線l, 半徑為a, 電導(dǎo)率為。設(shè)沿線

18、通過直流I, 試求其表面處的坡印廷矢量, 并證明坡印廷定理。,圖 2-12 直流導(dǎo)線段,例,故表面處坡印廷矢量為,它的方向垂直于導(dǎo)體表面, 指向?qū)w里面。 為證明坡印廷定理, 需將S沿圓柱表面積分:,解：,導(dǎo)體內(nèi)的熱損耗功率為,電路理論中的焦耳定理. 其微分形式為,此式代表場點(diǎn)處各單位體積的熱損耗功率。,解：(1),(2),(3),惟一性定理 The uniqueness theorem,唯一性定理是電磁場的基本定理之一，指出在什么時間、空間范圍，什么初始、邊界條件下，麥克斯韋方程組的解是唯一的。,在一有限區(qū)域V內(nèi)，如果同時給定場源、任一點(diǎn)處E和H在t=t0時刻的初始初始值，以及tt0時邊界上

19、電場和磁場的切向分量，則在tt0時，區(qū)域V中的解就被唯一確定了。,同時滿足場方程、初始條件和邊界條件的解是唯一的。,對于周期性的源，初始條件將被場量的周期性取代，只需邊界條件就可保證解的唯一性。,5.5 時諧電磁場,一、時諧量的復(fù)數(shù)表示,電磁場隨時間作正弦變化時，電場強(qiáng)度的三個分量可用余弦函數(shù)表示,用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示,式中,稱為時諧電場的分量復(fù)數(shù)振幅,式中,稱為時諧電場的矢量復(fù)數(shù)振幅,故,時諧場對時間的導(dǎo)數(shù),二、復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠?由麥?zhǔn)系谝环匠?設(shè)為時諧場,將對空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換,約定不寫出時間因子 ，去掉場量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥?zhǔn)戏匠痰膹?fù)數(shù)形式,同理其他三個麥?zhǔn)戏匠?三、復(fù)數(shù)形式的波動方程亥姆霍茲方程,波動方程,得,同理,亥姆霍茲方程,式中, 用復(fù)數(shù)形式研究時諧場稱為頻域問題。, 復(fù)數(shù)公式與瞬時值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。,1.復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場，沒有明確物理 意義,2.實(shí)數(shù)形式代表真實(shí)場，具有明確物理意