1、習(xí)題習(xí)題 7.1 1. 設(shè)總體 X 服從指數(shù)分布 f(x;) = e x, x 0, 0; 0, x 0. 試求的極大似然估計(jì).若某電子元件的使用壽命服從該指數(shù)分布,現(xiàn)隨機(jī)抽取 18 個(gè)電子元件,測(cè)得壽命數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估計(jì)值. 解解: 似然函數(shù)為 L() = exi n i=1 = ne xi n i=1 lnL() = nln xi n i=1 令 d lnL() d = n xi n i=1 = 0 得

2、 = n xi n i=1 = 1 x = 1 1 18(16 + 19+,1100) = 1 318 2. 設(shè)總體 X 的概率密度為 f(x) = x 1, 0 0 試求(1) 的矩估計(jì) 1; (2) 的極大似然估計(jì)2. 解解: (1) E(X) = xf(x)dx + = x x1dx 1 0 = xdx 1 0 = + 1 E(X) = x = + 1 的矩估計(jì) 1= x 1 x (2) 似然函數(shù)為 L() = xi 1 n i=1 = n(x1,x2,xn)1 lnL() = nln + ( 1)lnx1+ lnx2,lnxn = nln + ( 1)lnxi n i=1 令 d ln

3、L() d = n + xi n i=1 = 0 解得 2= n xi n i=1 3. 設(shè)總體 X 服從參數(shù)為( 0)的泊松分布,試求 的矩估計(jì) 1和極大似然估計(jì) 2.(可參考例 7-8) 解解: 由 X 服從參數(shù)為 的泊松分布 E(X) = 由矩法,應(yīng)有x = 1= x 似然函數(shù)為 L() = i xi n i=1 e= xi x1!x2!xn! en lnL() = (xi)ln n ln (x1!x2!xn!) d lnL() d = x i n = 0 解得 的極大似然估計(jì)為 2= 1 n xi n i=1 = X 習(xí)題習(xí)題 7.2 1. 證明樣本均值x是總體均值 的相合估計(jì). 證:

4、 E(x) = ,D(x) = 2 n 0(n ) 由定理 7 1 知x是 的相合估計(jì). 2. 證明樣本的 k 階矩Ak= 1 n xi kn i=1 是總體 k 階矩 E(xk)的相合估計(jì)量. 證: E(Ak) = E(1 n xi k n i=1 ) = E(xk), D(Ak) = D(1 n xi k n i=1 ) = 1 n2 D(xi k) n i=1 0(n 0) Ak= 1 n xi k n i=1 是 E(xk)的相合估計(jì). 3. 設(shè)總體XN(,1), 0 是未知參數(shù),又x1,x2,xn為取自該總體的樣品 ,x為樣品均值. (1) 證明 = 2 3 x是參數(shù) 的無偏估計(jì)和相

5、合估計(jì); (2) 求 的極大似然估計(jì). (1) 證: E( ) = E(2 3 x) = 2 3 E(x) = 2 3 3 2 = = 2 3 x是參數(shù) 的無偏估計(jì) 又 D( ) = D(2 3 x) = 4 9 D(x) = 4 9 2 12 n = 2 27n 0(n ) = 2 3 x是參數(shù) 的相合估計(jì). (2) Xu(,2)故其分布密度為 f(x) = 1 , 0 x 2 ( 0) 0, 其他 似然函數(shù) L() = 1 n , 0 xi 2 (i = 1,2,n) 0, 其他 因?qū)λ衳i有 0 xi 2 (i = 1,2,n) 0 maxx1,x2,xn 2 習(xí)題習(xí)題 7.3 1.

6、土木結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室對(duì)一批建筑材料進(jìn)行抗斷強(qiáng)度試驗(yàn).已知這批材料的抗斷強(qiáng) 度XN(,0.22).現(xiàn)從中抽取容量為 6 的樣本測(cè)得樣本觀測(cè)值并算的x = 8.54, 求 的置信度 0.9 的置信區(qū)間. 解解: = 1 0.9 = 0.1,u0.05= 1.64 置信度為 0.9 的置信區(qū)間是 x u 2 n ,x + u 2 n = 8.54 1.64 0.2 6 ,8.54 + 1.64 0.2 6 8.41,8.67 2. 設(shè)輪胎的壽命 X 服從正態(tài)分布,為估計(jì)某種輪胎的平均壽命,隨機(jī)地抽取 12 只 輪胎試用,測(cè)得它們的壽命(單位:萬千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61

7、 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 試求平均壽命 的 0.95 的置信區(qū)間.(例 7-21, 未知時(shí) 的置信區(qū)間) 解解: x = 4.7092,S2= 0.0615. = 1 0.95 = 0.05,查 t 分布表知t0.025(11) = 2.2010 平均壽命 的 0.95 的置信區(qū)間為: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 4.7092 2.2010 0.0615 12 ,4.7092 + 2.2010 0.0615 12 = 4.5516 ,4.8668 3. 兩臺(tái)車床生產(chǎn)同一種型號(hào)的滾珠,已知兩車床生產(chǎn)的滾珠直徑 X,

8、Y 分別服從 N(1,1 2),N(2,22 ), 其中i 2,i未知(i = 1,2).現(xiàn)由甲,乙兩車床的產(chǎn)品中分別抽出 25 個(gè)和 15 個(gè),測(cè) 得s1 2 = 6.38,s2 2 = 5.15. 求兩總體方差比1 2/22的置信度 0.90 的置信區(qū)間. 解解:此處n1= 25, n2= 15, s1 2 = 6.38, s2 2 = 5.15, = 1 0.90 = 0.1, 2 = 0.05 1 2/22的置信度 0.90 的置信區(qū)間為: s1 2 s2 2 1 F 2 (n 1 1,n2 1) , s1 2 s2 2 1 F1 2 (n 1 1,n2 1) = 6.38 5.15

9、1 F0.05(24,14) , 6.38 5.15 1 F0.95(24,14) = 1.24 1 2.35 ,1.24 4. 某工廠生產(chǎn)滾珠,從某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 9 個(gè),測(cè)得直徑(單位:毫米)如 下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 設(shè)滾珠直徑服從正態(tài)分布,若 (1) 已知滾珠直徑的標(biāo)準(zhǔn)差 = 0.15毫米; (2) 未知標(biāo)準(zhǔn)差. 求直徑均值 的置信度 0.95 的置信區(qū)間. 解解: (1) x = 14.91, = 1 0.95 = 0.05,u0.025= 1.96 直徑均值 的置信度 0.95 的置信區(qū)間為: x u

10、2 n ,x + u 2 n = 14.91 1.96 0.15 9 ,14.91 + 1.96 0.15 9 14.812,15.008 (2)x = 14.91,S2= 0.041, = 1 0.95 = 0.05,t0.025(8) = 2.306 置信度 0.95 的置信區(qū)間為: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 14.91 2.306 0.041 9 ,14.91 + 2.306 0.041 9 = 14.754 ,15.066 5. 設(shè)燈泡廠生產(chǎn)的一大批燈泡的壽命 X 服從正態(tài)分布N(,2),其中 ,2未知. 令隨機(jī)地抽取 16 個(gè)燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn),

11、測(cè)得壽命數(shù)據(jù)如下(單位:小時(shí)): 1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540 求該批燈泡平均壽命 的置信度 0.95 的置信區(qū)間. 解解: x = 1509.5,S2= 1038.5, = 1 0.95 = 0.05,t0.025(15) = 2.1315 置信度 0.95 的置信區(qū)間為: x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 1509.5 2.1315 1038.5 16 ,1509.5 + 2.1315 1038.5 16 = 1492.328 ,

12、1526.672 6. 求上題燈泡壽命方差的置信度 0.95 的置信區(qū)間. 解解: S2= 1038.5, = 1 0.95 = 0.05,查表知0.025 2 (15) = 27.488,0.975 2 (15) = 6.262 置信度 0.95 的置信區(qū)間為: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 15 1038.5 27.488 , 15 1038.5 6.262 = 566.702,2487.624 7. 某廠生產(chǎn)一批金屬材料,其抗彎強(qiáng)度服從正態(tài)分布.現(xiàn)從這批金屬材料中隨機(jī) 抽取 11 個(gè)試件,測(cè)得它們的抗彎強(qiáng)度為(單位:公斤): 42.5

13、42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7 求(1)平均抗彎強(qiáng)度 的置信度 0.95 的置信區(qū)間. (2)抗彎強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差的置信度 0.90 的置信區(qū)間. 解解: (1) x = 43.4,S2= 0.5207, = 1 0.95 = 0.05,查表知t0.025(10) = 2.2281 置信度 0.95 的置信區(qū)間為: 注意這里是求的置信 區(qū)間,結(jié)果要開方. x t 2(n 1)s n ,x + t 2(n 1)s n = 43.4 2.2281 0.5207 11 ,43.4 + 2.2281 0.5207 11 = 42.915,4

14、3.885 (2) S2= 0.5207, = 1 0.90 = 0.1,查表知0.05 2 (10) = 18.307,0.95 2 (10) = 3.940 2置信度 0.90 的置信區(qū)間為: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 10 0.5207 18.307 , 10 0.5207 3.940 = 0.284,1.322 故的置信度 0.90 的置信區(qū)間為0.53,1.15 8. 設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體N(1,2),N(2,2)中分別取容量為10和12的樣本,兩樣本互 相獨(dú)立.經(jīng)算得x = 20, y = 24,又兩樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s1= 5,s2

15、= 6.求1 2的置信度 0.95 的置信區(qū)間. 解解: Sw = (n 1 1)s1 2 + (n2 1)s2 2 n1+ n2 2 =9 25 + 11 36 10 + 12 2 = 5.572 = 1 0.95 = 0.05,查表知t0.025(20) = 2.086 故1 2的置信度 0.95 的置信區(qū)間為: x y t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw,x y + t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw = 20 24 2.086 1 10 + 1 12 5.572,20 24 + 2.086 1 10 + 1 12 5.572 = 8.

16、975,0.975 9. 為了估計(jì)磷肥對(duì)農(nóng)作物增產(chǎn)的作用,現(xiàn)選20塊條件大致相同的土地.10塊不施 磷肥,另外 10 塊施磷肥,得畝產(chǎn)量(單位:公斤)如下: 不施磷肥的 560 590 560 570 580 570 600 550 570 550 施磷肥的 620 570 650 600 630 580 570 600 600 580 設(shè)不施磷肥畝產(chǎn)和施磷肥畝產(chǎn)均服從正態(tài)分布,其方差相同.試對(duì)施磷肥平均 畝產(chǎn)與不施磷肥平均畝產(chǎn)之差作區(qū)間估計(jì)( = 0.05). 解解: x = 570,y = 600,Sx 2 = 6400 9 ,Sy 2 = 2400 9 = 0.05,查表知t0.025(

17、18) = 2.1009 Sw = (n 1 1)s1 2 + (n2 1)s2 2 n1+ n2 2 =4400 9 = 22.11 x y t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw,x y + t 2 (n 1+ n2 2) 1 n1 + 1 n1 Sw = 600 570 2.1009 1 10 + 1 10 22.11,600 570 + 2.1009 1 10 + 1 10 22.11 = 9.23,50.77 10. 有兩位化驗(yàn)員A,B獨(dú)立地對(duì)某種聚合的含氮量用同樣的方法分別進(jìn)行10次和 11次測(cè)定,測(cè)定的方差分別為s1 2 = 0.5419,s2 2 = 0.

18、6065.設(shè)A,B兩位化驗(yàn)員測(cè)定 值服從正態(tài)分布,其總體方差分別為1 2,22.求方差比12/22的置信度 0.9的置信 區(qū)間. 解解: = 1 0.9 = 0.1,查表知F0.05(9,10) = 3.02,F0.95(9,10) = 1 F0.05(10,9) = 1 3.14 = 0.318 故1 2/22的置信度 0.9 的置信區(qū)間為: s1 2 s2 2 F 2 (n 1 1,n2 1) , s1 2 s2 2 F1 2 (n 1 1,n2 1) = 0.5419 0.6065 3.02 , 0.5419 0.6065 0.318 = 0.295,2.81 自測(cè)題自測(cè)題 7 一、填空

19、題 設(shè)總體XN(,2 )x 1,x2,x3是來自 X 的樣本,則當(dāng)常數(shù) a = 1 2 時(shí), = 1 3 x1+ ax2+ 1 6 x3是未知參數(shù)的無偏估計(jì). 解解: = 1 3 x1+ ax2+ 1 6 x3是未知參數(shù)的無偏估計(jì) 則E( ) = 1 3 E(x1) + aE(x2 ) + 1 6 E(x3 ) = 1 3 + a + 1 6 a = 1 2 二、一臺(tái)自動(dòng)車床加工零件長(zhǎng)度 X(單位:厘米)服從正態(tài)分布N(,2).從該車床加 工的零件中隨機(jī)抽取 4 個(gè),測(cè)得長(zhǎng)度分別為:12.6,13.4,12.8,13.2. 試求: (1)樣本方差S2;(2)總體方差2的置信度為 95%的置信區(qū)

20、間. (附:u0.025= 1.96,u0.05= 1.645,0.025 2 (3) = 9.348,0.975 2 (3) = 0.216,0.025 2 (4) = 11.143, 0.975 2 (4) = 0.484) 解解: (1) x = 12.6 + 13.4 + 12.8 + 13.2 4 = 13 S2= 1 n 1 (xi x) 2 n i=1 = 0.4 3 (2)2置信度 0.90 的置信區(qū)間為: (n 1)s 2 2 2(n 1), (n 1)s2 1 2 2 (n 1) = 3 0.4 3 9.348 , 3 0.4 3 0.216 = 0.04,1.85 三、設(shè)總體XN(,2),抽取樣本x1,x2xn,x = 1 n xi n i=1 為樣本均值. (1) 已知 = 4,x = 12,n = 144,求 的置信度為 0.95