1、第六章 對策論,基本概念,對策論又稱博弈論，研究沖突對抗條件下最優(yōu)決策問題的理論。 策略形勢：不完全競爭條件下的對抗行為，各方收益由自身行為和其他方行為共同決定。,基本要素 局中人（I ）：有權決定自己行動方案的對策參加者，理性人 策略集（S ）：供局中人選擇的實際可行完整行動方案的集合， 一局對策中，各局中人選定策略的集合，稱局勢 贏得函數（ H(s) ）:對于任一局勢，局中人的贏得值。支付函數,嚴格占優(yōu)策略/嚴格劣勢策略 上策均衡/納什均衡,典型案例和重要結論,結論1：不要選擇嚴格劣勢策略。 結論2：個人理性選擇導致非最優(yōu)。 結論3：學會換位思考。,囚徒困境 智豬博弈,求解方法：刪除嚴格劣

2、勢策略,矩陣對策的基本理論,局中人個數：二個，多個 策略集中的個數：有限，無限 支付/贏得代數和：零和，非零和 局中人是否合作：非合作，合作 局中人行動時間：靜態(tài)，動態(tài) 局中人對他者信息了解程度：完全信息，非完全信息 對策次數：單次，重復,對策/博弈分類,課程目標,理解并掌握矩陣對策的純策略 理解并掌握矩陣對策的混合策略 掌握矩陣對策的求解方法,矩陣對策的策略,純策略：確定的選擇某策略 混合策略：以某一概率分布選擇各策略。,矩陣對策的純策略,的贏得矩陣 或的支付矩陣 的贏得矩陣為-A 。,1、矩陣對策的一般表達,矩陣對策的純策略,例：田忌賽馬 局中人：田忌（I）、齊王（II） S1 =（上、中

3、、下），（上、下、中），（中、上、下）， （中、下、上），（下、中、上），（下、上、中）= S2,1、矩陣對策的一般表達,矩陣對策的純策略,-8 2 -10 -3,9 2 6,理智行為：從各自最不利情形中選擇最有利 I：最大最小原則 II：最小最大原則,平衡局勢：雙方均可接受，且對雙方都是最穩(wěn)妥的結果。 （2 ，2），局中人I和II的最優(yōu)純策略。,2、矩陣對策解的引例,矩陣對策的純策略,從上例看出，矩陣A中平衡局勢（2 ，2）對應的元素a22既是其所在行的最小元素，也是其所在列的最大元素，即有 ai2a22 a2j i=1,2,3,4 j=1,2,3,3、矩陣對策的最優(yōu)純策略,矩陣對策的純策略

4、,1 2 3 1,3 7 4 6,3、矩陣對策的最優(yōu)純策略,矩陣對策的純策略,對于一個對策G=S1, S2, A, 若 有 則稱局勢（i*, j*）為對策G的 鞍點，V = a i*j*為對策G的值。,注：在矩陣中，一個數在所在行中是最大值，在所在列中是最小值，則被稱為鞍點。,4、矩陣對策的鞍點與解,矩陣對策的純策略,多鞍點與無鞍點對策 例: 設有一矩陣對策如下，求它的解。,局勢（1, 2），（1, 4），（3, 2）（3, 4）均構成鞍點，此對策有多個解。,4、矩陣對策的鞍點與解,矩陣對策的純策略,性質1：無差別性 若（i1 ，j1）和（i2，j2）是對策G的兩個解，則 ai1j1 = ai

5、2j2 性質2：可交換性 若（i1 ，j1）和（i2，j2）是對策G的兩個解，則（i1 ，j2）和（i2，j1）也是對策G的兩個解。 矩陣對策的值唯一。即當一個局中人選擇了最優(yōu)純策略后，他的贏得值不依賴于對方的純策略。,5、矩陣對策純策略的性質,作業(yè),P385 習題 12.2 12.3 12.4,矩陣對策的混合策略,3 4,5 6,無鞍點,1、混合策略,矩陣對策的混合策略,1、混合策略,矩陣對策的混合策略,2、混合局勢,3、贏得期望,4、混合策略對策模型,矩陣對策的混合策略,5、最優(yōu)混合策略,設 ，是矩陣對策 的混合擴充。,矩陣對策的混合策略,5、最優(yōu)混合策略,矩陣對策的混合策略,定理2：矩陣

6、對策G在混合策略意義下有解的充要條件是： 存在 ，使得對于任意 ，有,2、最優(yōu)混合策略,矩陣對策的混合策略,3、最優(yōu)混合策略解的引例,矩陣對策的解法,例：求解矩陣對策G= ,其中,解：（1）不存在鞍點，為混合策略求解問題。 （2）圖解法求解 設局中人I的混合策略為（x, 1-x）T， 。,0,1,I,I,II,II, 數軸上坐標為0和1的兩點分別做兩條垂線I-I和II-II。, 畫出局中人II的不同策略下局中人I的贏得線段。,2,5,7,2,3,11,1=2x+7(1-x),2=3x+5(1-x),3=11x+2(1-x),圖解法,僅適用于贏得矩陣為2n或m2階的矩陣對策問題。,1: v11

7、= 2x+7(1-x) 2 : v12 = 3x+5(1-x) 3 : v13 = 11x+2(1-x),由于局中人II理性，局中人I從最少可能收入中選擇最大的一個，為局中人I的最優(yōu)對策。B2, 求解方程組可得最優(yōu)混合策略和矩陣對策的值。,圖解法,0,1,I,I,II,II,2,5,7,2,3,11,1=2x+7(1-x),2=3x+5(1-x),3=11x+2(1-x),B1,B2,B3,B4,聯立過B2點兩條直線的方程組為,可解得,則，局中人I 的最優(yōu)策略為,由圖可見局中人II的混合策略只有2和3組成。,設局中人II的最優(yōu)混合策略為 ，且,P365 例10,圖解法, 求局中人II的最優(yōu)混合

8、策略。,同理，可得局中人II的贏得，,1: v21 = 3y2+11y3 2 : v22 = 5y2+2y3,畫出贏得線段，見右圖,局中人I理性，局中人II取最大損失的最小值,聯立方程組可得,解得,方程組法,定理：設 ，則 為G的解的充要條件是： 存在數v，使得x*,y*分別是下列不等式組的解，且v = VG。,若xi*,yj*均不為0，則上述不等式的求解即可轉化為下列兩個方程組的求解問題。,注：若上述兩個方程組存在非負解x*,y* ，即矩陣對策的解。若不存在非負解，則將上述方程組中的某些等式轉化為不等式，繼續(xù)求解。 由于事先假設xi*,yj*均不為0，故，當最優(yōu)策略的某些分量為0時，方程組可能無解，因此該方法具有一定的局限性。,方程組法,例：求解矩陣對策G= ,其中A為,解：（1）刪除劣勢策略，得到,無鞍點,和