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文檔簡介

1、1.7 無窮小的比較,觀察與比較,觀察兩個無窮小比值的極限,兩個無窮小比值的極限的各種不同情況 反映了不同的無窮小趨于零的“快慢”程度 在x0的過程中 x2比3x趨于零的速度快些 反過來3x比x2趨于零的速度慢些 而sin x與x趨于零的速度相仿,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,無窮小的階,設(shè)a 及b 為同一個自變量的變化過程中的無窮小,下頁,階的比較舉例,所以當(dāng)x0時 3x2是比x高階的無窮小 即3x2=o(x)(x0),所以當(dāng)x3時 x2-9與x-3是同階無窮小,例2,例3,例1,下頁,所以當(dāng)x0時 1-cos x 是關(guān)于x 的二階無窮小,所以當(dāng)x0時 sin x 與x是等價無窮小 即s

2、in xx(x0),例4,例5,下頁,階的比較舉例,例6,階的比較舉例,證明: 當(dāng),證:,定理1,b 與a是等價無窮小的充分必要條件為 b =a+o(a),下頁,關(guān)于等價無窮小的定理,必要性:,證明,所以b a=o(a),因為,設(shè)ab,只需證b a=o(a),充分性:,設(shè)b=a+o(a) 則,因此ab,所以當(dāng)x0時 有,sin x=x+o(x),tan x=xo(x),例6,下頁,定理1,b 與a是等價無窮小的充分必要條件為 b =a+o(a),關(guān)于等價無窮小的定理,下頁,定理1,b 與a是等價無窮小的充分必要條件為 b =a+o(a),關(guān)于等價無窮小的定理,定理2,證明,求兩個無窮小比值的極限時 分子及分母都可用等價無窮小來代替 因此 如果用來代替的無窮小選取得適當(dāng) 則可使計算簡化,定理2的意義:,下頁,定理1,b 與a是等價無窮小的充分必要條件為 b =a+o(a),關(guān)于等價無窮小的定理,定理2,解 當(dāng)x0時 tan 2x2x sin 5x5x 所以,解 當(dāng)x0時sin xx 無窮小x3+3x與它本身顯然是等價的 所以,例7,例8,結(jié)束,注意：等價無窮小替換定理應(yīng)遵從因式代替規(guī)則,界, 則,例如,例9 求,

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