1、閱讀材料 集合中元素的個數(shù),例1學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8 名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個 班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽的有3 人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學(xué)參 賽？ 分析：設(shè)A為田徑運動會參賽的學(xué)生的集合，B 為球類運動會參賽的學(xué)生的集合。那么AB就 是兩次運動會都參賽的學(xué)生的集合。 試分析 AB、 A、B、AB中元素個數(shù)的關(guān)系.,解：設(shè)A=田徑運動會參賽的學(xué)生， B=球類運動會參賽的學(xué)生，那么， AB=兩次運動會都參賽的學(xué)生， AB=參賽的學(xué)生。 card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB） =8+123=17。 答：兩次運動會

2、中，這個班共有17名同學(xué)參賽。,用圖來求解 ：,例2.某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)課外小組的人數(shù)是參加 物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外 小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組 的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學(xué)小組、物理小組的 人數(shù)各是多少？,參加數(shù)學(xué)小組20人，參加物理小組10人.,card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB）,即 25=2x+x-5 x=10,card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB）,能否推廣？試寫出三個集合類似公式.,例3. 某校高三學(xué)生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的 人數(shù)及科目如下表;,表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科

3、全優(yōu)者，單科 優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。 有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認為呢？,由統(tǒng)計表計算高三年級共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以統(tǒng)計表有誤.,例4. 在100個學(xué)生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂 愛好者75人（并非每個學(xué)生都有愛好），對美術(shù) 和音樂都愛好的學(xué)生最多有多少人？最少有多少人？,最多63人，最少38人.,問題的提出： 無限集中元素的個數(shù)？！,是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？,1.無限 （1）初識無限 （2）在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？ 理解無限的關(guān)鍵一一對應(yīng) （3）無限集中元素的個數(shù)基數(shù) 與此相關(guān)的一個定義： 若在一個集合與全

4、體正整數(shù)集合之間 存在一一對應(yīng)，則稱這個集合是可數(shù)的。,（4）幾個令人吃驚的例子,全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？,全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？,部分整體？！,（5）問題的提出 是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？,康托在1973年11月29日給戴德金的信中提出：,11月29日12月7日，康托給無限的理論奠定了基礎(chǔ)。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。,實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。 無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。,是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？,實數(shù)集是不可數(shù)的 。,實數(shù)、一直線上的點、平面上的點 及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。,若在一個集合

5、與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應(yīng)，則稱這個集合是可數(shù)的。,“數(shù)學(xué)中的無窮無盡，其誘人之處在于 它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的 理論之花?！盓.Kasner and J.Newman,集合論危機重重：,2.羅素悖論,大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們 稱之為“普通的”。有許多集可能包含它自身為元素， 例如集S定義如下：“凡是可以用不超過三十個字來 定義的集合是S的元素?！笨梢钥吹剑琒是包含它自身 為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集”。我們 考查“所有普通集組成的集”，稱它為C。那么C本身 是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于C定義 為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元

6、素。 這樣的話，C必須是非普通集。這是一個矛盾。因此 C必須是非普通集，但這時C包含了一個非普通集 （即C本身）為其元素，這與C只包含普通集的定義 相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在， 就已經(jīng)使我們陷入矛盾。,羅素的理發(fā)師悖論,其他一些悖論,（1）芝諾悖論 1）二分法悖論 2）阿基里斯和烏龜,代數(shù)悖論：,數(shù)理邏輯誕生,數(shù)理邏輯這門學(xué)科在第三次數(shù)學(xué)危機運動的過程中誕生，在十七世紀，算術(shù)因符號化促使了代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學(xué)代數(shù)化，大大擴展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數(shù)學(xué)作為普遍科學(xué)方

7、法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時代的英國哲學(xué)家霍布斯也認為推理帶有計算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。 現(xiàn)在公認的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。,真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學(xué)家布爾，他在1847年出版了邏輯的數(shù)學(xué)分析，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的類，運算是邏輯乘法；xy表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。 布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當(dāng)x、y不是類而是命題，則x1表示的是命題 x為真，x0表示命題x為假，1x表示x的否定等等。顯然布爾的演算構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。,非數(shù)值運算的推廣 集合運算 語句運算,康托的最大基數(shù)悖論、布拉里.福蒂悖論、 羅素悖論，動搖了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。,給數(shù)學(xué)提供一個可靠的基礎(chǔ)： 1）羅