1、直線、平面垂直的判定與性質(zhì),數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 2010級 徐秀萍,1,一.直線與平面垂直的判定與性質(zhì),2,3,1、線面垂直定義：,一般地，如果一條直線 l 與平面上的任何 直線都垂直，那么我們就說直線 l與平面垂直， 記作： l . 直線 l 叫做平面的垂線， 平面叫做直線l的垂面， l 與的交點P叫做垂足.,畫法：畫直線與平面垂直時， 通常把直線畫成與表示平面 的平行四邊形的一邊垂直。,4,線面垂直直觀圖的畫法：,5,2.線面垂直的判斷定理:,如果直線 l 與平面 上的兩條相交直線 a、b 都垂直，那么直線 l 與平面垂直。,6,A,B,C,7,例1、下列命題是否正確？為什么？ (1)如果一條

2、直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線， 那么這條直線與這個平面垂直。 (2)如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂 直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線。,8,例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。,在 上作兩條相交直線,3.線面垂直的性質(zhì)（公理）,(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；,(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直。,直線和平面垂直的性質(zhì) 1.一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意直線 2.垂直于同一平面的兩條直線平行,垂直于同一直線的兩平面平行,3.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。,9,1

3、0,例3、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、 CC1的中點，判斷下列結(jié)論是否正確？,AC面CDD1C1 AA 1面A1B1C1D1 AC面BDD1B1 EF面BDD1B1 ACBD1 BDA1F,11,例4、已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O 是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD。 求證：PO平面ABCD,例5如右圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.求證：BD平面PAC.,要證BD平面PAC，只需在平面PAC內(nèi)尋求兩相交直線與BD垂直，而PA顯然與BD垂直，故只需證B

4、DAC.,12,即時訓(xùn)練： 如右圖所示，P為ABC所在平面外一點，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F. 求證：(1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PCEF.,13,證明：(1)PA平面ABC， BC平面ABC，PABC. ABBC，ABPAA，BC平面PAB. (2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB，AE平面PBC. (3)AE平面PBC，PC平面PBC，AEPC， AFPC，AEAFA， PC平面AEF. 而EF平面AEF，PCEF.,14,15,空間圖形中的有關(guān)距離：,1.點與點的距離、點與線的距離、線與線的距離。 2.點 M 和平面的距離 設(shè)M是平面外一點，過點M作平面的垂線， 垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點 M和平面的距離。,16,2、直線l和平面的距離 設(shè)直線 l 平行于平面，在直線 l 上任取一點M， 我們把點M到平面的距離叫做直線 l 和平面的距離。,17,3、平面和平面的距離 設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點M，我 們把點M到平面的距離叫做平面和平面的距離。,關(guān)于三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可結(jié)合下圖記憶 注意：在需要平面的垂線時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.要熟練掌握“線線垂直”、“線面垂直”、“面