1、第3章 方差分析,方差分析是兩個(gè)母體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的推廣，它是根據(jù)來(lái)自多個(gè)母體的樣本，來(lái)檢驗(yàn)它們所屬的母體是否為同一母體的問(wèn)題。 對(duì)于抽樣所得的數(shù)據(jù)，一方面由于觀測(cè)條件不同而引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，稱為條件誤差（或系統(tǒng)誤差）；另一方面，由于各種偶然因素的干擾對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響所產(chǎn)生的差異，稱為隨機(jī)誤差（偶然性的）。 目的：確定各因素作用的大小，從而把條件誤差與隨機(jī)誤差用數(shù)量的形式區(qū)別開(kāi)來(lái)，以確定在某項(xiàng)試驗(yàn)中有否系統(tǒng)性因素起作用。,3.1 單因素方差分析,一、基本概念 One-Way Analysis of Variance（單因素方差分析，或稱一元方差分析）過(guò)程用于檢驗(yàn)多個(gè)獨(dú)立樣本是否來(lái)自于具有相同

2、均值的正態(tài)總體，相當(dāng)于檢驗(yàn)假設(shè)： H0：u1= u2= un= u 目的：用于檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本均數(shù)間差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)意義。,單因素方差分析只分析一個(gè)因素對(duì)指標(biāo)影響是否顯著，假設(shè)在試驗(yàn)中某因素A可能影響試驗(yàn)結(jié)果，現(xiàn)在在A的t個(gè)不同水平下觀測(cè)到如下表中的數(shù)據(jù)。 每一水平下的數(shù)據(jù)叫做同一組數(shù)據(jù)。當(dāng)對(duì)同一水平Ai下進(jìn)行ni次試驗(yàn)，由于試驗(yàn)中存在隨機(jī)誤差，其結(jié)果可能都不一樣。,二、樣本均數(shù)間差別的原因(變異的來(lái)源)： 1、總變異：全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)大小不等。用觀察值與總均數(shù)的離均差平方和sum of squares of deviations from mean表示，記為SS總，或l總; 總的自由度總N1

3、2、組間變異：各處理組的樣本均數(shù)大小不一，用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS組間或l組間。 組間自由度 組間k-1。MS組間l組間/ 組間 組間變異反映的是處理因素的作用，同時(shí)也包括隨機(jī)誤差。 均方：mean square, MS,3、組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)部觀察值大小不等，用各處理組內(nèi)部每個(gè)觀察值與組均數(shù)的離均差平方各表示，記為l組內(nèi)。 組內(nèi)(n1-1)+(nk-1)=N-k MS組內(nèi)l組內(nèi)/ 組內(nèi) 組內(nèi)變異反映的觀察值的隨機(jī)誤差，如個(gè)體差異和隨機(jī)測(cè)量誤差。,4、三種變異的關(guān)系 l總l組間l組內(nèi),總N1(k-1)+(N-k)= 組間組內(nèi),4、三種變異的關(guān)系 l總l組間l組內(nèi),三、方

4、差分析的基本思想： 總變異可分解為組間變異和組內(nèi)變異兩個(gè)部分，相應(yīng)的總自由度也分解為組間自由度和組內(nèi)自由度。 如果各樣本均數(shù)來(lái)自同一總體，即各組之間無(wú)差別，則組間變異和組內(nèi)變異均只反映隨機(jī)誤差，這時(shí)若計(jì)算組間均方與組內(nèi)均方的比值，F(xiàn)MS組間/MS組內(nèi)，應(yīng)接近1。 反之，若各樣本均數(shù)不是來(lái)自同一總體，組間變異較大，F(xiàn)值將明顯大于1。 要大到多大程度才有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？,這個(gè)程度就是與隨機(jī)誤差而言。即以隨機(jī)誤差進(jìn)行衡量，若處理組間的變異明顯大于組內(nèi)變異，則不能認(rèn)為組間的變異僅反映隨機(jī)誤差，也就是說(shuō)處理因素有作用。 R. A. Fisher于20世紀(jì)20年代推導(dǎo)出在無(wú)效假設(shè)成立的情況下，統(tǒng)計(jì)量F的分布規(guī)

5、律。1934年G. W. Snedecor以Fisher的名字命名了這一分布，稱F分布，故ANOVA又稱F檢驗(yàn)。F(組間，組內(nèi))查表,基本思想： 根據(jù)資料變異的不同來(lái)源，將全部觀察值總的離均差平方和和自由度分解為兩個(gè)或多個(gè)部分， 除隨機(jī)誤差外，其余每個(gè)部分的變異可由某個(gè)因素的作用(或某幾個(gè)因素的交互作用)加以解釋， 如各組均數(shù)間的變異SS組間，可由處理因素的作用加以解釋，通過(guò)比較不同變異來(lái)源的均方，用F分布作出統(tǒng)計(jì)推斷，從而了解該因素對(duì)觀察指標(biāo)有無(wú)影響。,注意： 1、ANOVA與試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型聯(lián)系在一起，并非任何變異都有適當(dāng)?shù)姆纸狻?2、數(shù)據(jù)要求： 各次觀察獨(dú)立，即任何兩個(gè)觀察值間均不相關(guān) ；

6、每一水平下的觀察值xij分別服從總體均數(shù)為ij的正態(tài)分布； 各總體的方差相等，即方差齊性homogeneity of variance.(任何觀察值都是獨(dú)立地來(lái)自具有等方差的正態(tài)總體)。,例：設(shè)有5塊砂巖標(biāo)本，其膠結(jié)物都是碳酸鹽，現(xiàn)欲確定此5塊標(biāo)本中的碳酸鹽含量是否相等。為此，可將每塊標(biāo)本碎成6份，并測(cè)定每份的碳酸鹽含量百分比，得到下表數(shù)據(jù)：,求解步驟： 在本例中因素A的不同水平即為不同的標(biāo)本，因而t=5，每組的觀測(cè)次數(shù)ni(i=1,2,5)均為6，故總數(shù)為30。 1、建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)： H0：5塊標(biāo)本中的碳酸鹽含量的總體均數(shù)相等， 即 1 2 3 = 4 = 5 H1： 5塊標(biāo)本中的碳酸鹽含量量的總體均數(shù)不全相等 0.05 2、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值，如下表：,成組設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算表,按方差分析表計(jì)