1、教材： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) （第三版）浙江大學(xué) 盛驟 等 編 高等教育出版社,2,2005 Henan Polytechnic University,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件 隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算 隨機(jī)事件的概率及其性質(zhì) 條件概率、全概公式與貝葉斯公式 隨機(jī)事件的獨(dú)立性,第一章 隨機(jī)事件及其概率,3,2005 Zhang Yongjin,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),兩 類 現(xiàn) 象,在一次試驗(yàn)中結(jié)果呈現(xiàn)出不確定 性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律 性的現(xiàn)象。,確定現(xiàn)象,在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。,如：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱至10

2、0時(shí)沸騰； 上拋一物體必然下落； 同性電荷必然相斥；等等。,隨機(jī)現(xiàn)象,如：拋一枚硬幣可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面； 電話交換臺(tái)在1分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)； 測試在同一工藝下生產(chǎn)的燈泡的壽命；等等。,高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)等,概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)等,4,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),E1：拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現(xiàn)的情況；,E2：將一枚硬幣連拋三次,觀察正、反面出現(xiàn)的情況；,E3：將一枚硬幣連拋三次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)；,E4：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);,隨機(jī)試驗(yàn)舉例,E5：電話交換臺(tái)在1分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；,E6：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命；,E7：記錄某地一

3、晝夜的最高溫度與最低溫度。,5,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義2 隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣 本空間(S,)；樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)(e,)。,二、樣本空間與隨機(jī)事件,E1：拋一枚硬幣，觀察正面H和反面T出現(xiàn)的情況,S1=H，T,E2：一硬幣連拋三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況,S2=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT,例如,顯然，樣本點(diǎn)是由試驗(yàn)的目的所確定的。,6,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),E3：一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù),S3=0，1，2，3,E4：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),S4=1，2

4、，3，4，5，6,E5：電話交換臺(tái)在1分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù),S5=0，1，2，3，,E6：在一批燈炮中任意抽取一只，測試它的壽命,S6=t|t0,E7：記錄某地一晝夜的最高溫度與最低溫度,S7=(x,y)|T最低xy T最高,7,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義3 樣本空間S的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱為 事件。特別的，S稱為必然事件；稱為不可能事 件；單個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集e稱為基本事件。,試驗(yàn) E：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,樣本空間 S=1，2，3，4，5，6，,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的事件A=2，4，6；,例如,“出現(xiàn)不小于3的點(diǎn)數(shù)”的事件B=3，4，5，6；,“出現(xiàn)大于6

5、點(diǎn)”的事件為不可能事件；,“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”的事件為必然事件S，等等。,8,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中的一 個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)；, 必然事件在每次試驗(yàn)中均發(fā)生；不可能事件 在每次試驗(yàn)中均不發(fā)生；, 基本事件之間兩兩互斥，且在每次試驗(yàn)中有且有一個(gè)發(fā)生。,說 明,9,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),集合間的關(guān)系與運(yùn)算,意義：事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生。,2、事件AB稱為事件A與事件B的和事件。,意義：“和事件AB發(fā)生”“事 件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”。,三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算,10,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論

6、與數(shù)理統(tǒng)計(jì),3、事件AB稱為事件A與 事件B的積事件。,意義：“積事件AB發(fā)生”= “事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”。,4、事件A-B稱為事件A與事 件B的差事件。,意義：“差事件A-B發(fā)生” “事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生”。,11,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),5、若AB=，則稱事件 A與事件B是互不相容的，或互 斥。,意義：“事件A與事件B互斥”= “事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生”,6、若AB=，且AB=S， 則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 或互逆。,意義：在每次試驗(yàn)中，事件 A與事件 有且僅有一個(gè)發(fā)生。,互逆一定互斥,互斥不一定互逆.,12,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率

7、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例1】用事件A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列復(fù)合事件:,解,1、A發(fā)生，B與C均不發(fā)生;,特別注意：,13,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),2、A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生；,“A，B，C不會(huì)同時(shí)不發(fā)生”,解,對(duì)應(yīng)于不同的等價(jià)說法有多種表示形式：,“A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生”,互斥分解也有各種表示形式，如：,14,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),3、A，B，C都不發(fā)生；,4、A，B，C不多于兩個(gè)發(fā)生。,“A，B，C至少有一個(gè)不發(fā)生”,“A，B，C不會(huì)同時(shí)發(fā)生”,解,“A，B，C都不發(fā)生”,“A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的事件 不發(fā)生”,解,15,2005

8、,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例2】射擊3次，事件 表示第 次命中目標(biāo) ， 則事件“至少命中一次”為(多選題)：,解由事件運(yùn)算律知：,而 僅表示“恰有一次擊中目 標(biāo)”，故應(yīng)選A,B,C。,16,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),它表示“甲滯銷”與“乙暢銷”至少有一個(gè)發(fā)生，故應(yīng) 選(D). ,【例3】事件A表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立 事件表示（ ）。 （A) “乙暢銷”； (B) “甲乙均暢銷”； (C) “甲滯銷”； (D) “甲滯銷或乙暢銷”。,解設(shè)事件B：“甲暢銷”，C：“乙暢銷”，則,從而,17,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

9、,設(shè)好事件，并用簡單事件的運(yùn)算關(guān)系來表達(dá)復(fù) 雜事件在解概率題中是基本而重要的。特別，要弄 清“恰有” 、“至少” 、“至多” 、“都發(fā)生” 、“都不發(fā)生”、不都發(fā)生”等詞語的含義。,有些文字表達(dá)的事件可通過設(shè)事件為字母，再 利用事件的關(guān)系與運(yùn)算來表達(dá)。此外，要注意同一 個(gè)事件的不同表達(dá)形式，注意語言表述的準(zhǔn)確性。,注 意,利用文圖易知：差事件可化為積事件,和事件可互斥分解為,顯然，這種互斥分解不一定唯一。,18,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),本節(jié)要點(diǎn)提示,四個(gè)概念:隨機(jī)現(xiàn)象, 隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間, 隨機(jī)事件;,四個(gè)關(guān)系:包含,相等,互斥,互逆;,三個(gè)運(yùn)算:和,積,差。,事

10、件運(yùn)算律。,19,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),2、概率及其性質(zhì),研究隨機(jī)事件時(shí)，不僅希望了解哪些隨機(jī)事件可能出現(xiàn)，而且希望知道事件出現(xiàn)的可能性的大小。,我們用0，1中的一個(gè)數(shù)來表示隨機(jī)事件A發(fā)生的可 能性大小，并稱之為該事件的概率，記為P(A)。,一、古典概型,定義1 具有下列特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型 (等可能概型): ()、試驗(yàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè); ()、試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.,下面沿概率論的發(fā)展軌跡介紹概率概念的形成。,20,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),設(shè)古典概型的樣本空間含有n個(gè)樣本點(diǎn)，事 件包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件的古典概率為,

11、在古典概率計(jì)算中，注意掌握一些如“摸球問題” “分房問題”，“隨機(jī)取數(shù)問題”等典型模型中概率的計(jì) 算。,21,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例1】袋中有5只紅球和6只黑球，現(xiàn)從中任意取出 2只球，試求下列事件的概率： （1）取出的2只全為紅球； （2）取出的2只球中一只為紅球一只為黑球； （3）取出的2只球中至少有一只黑球。,球是可辨的如編號(hào)1-5為 紅球，6-11為黑球，以保 證等可能性；,分析理解題意：,不放回抽樣；,摸球模型,22,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),“任意取出2只”：如認(rèn)為是“依次” 取出，則樣本 點(diǎn)是有序結(jié)果，計(jì)數(shù)時(shí)采用排列；如認(rèn)為

12、是“一 次”同時(shí)取出2只，則樣本點(diǎn)是無序結(jié)果，計(jì)數(shù)時(shí) 采用組合。,樣本空間和樣本點(diǎn):采用不同方法時(shí),樣本空間和 樣本點(diǎn)有所不同.但計(jì)算必須在相同樣本空間中進(jìn) 行.,設(shè)好事件：A=“取出的2只全為紅球”；B=“取出的 2只中紅球、黑球各一”； C=“取出的2只中至少有 一只黑球”。,解,23,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),此時(shí),樣本空間是所有的兩個(gè)不同球的排列，相當(dāng)于 兩不同號(hào)碼的有序數(shù)對(duì)。 注意：同色（1，2）和（2，1）是不同的樣本點(diǎn)。,正確計(jì)數(shù)：,方法1依次有序取2只,樣本點(diǎn)總數(shù)基本事件總數(shù)相當(dāng)于“從編號(hào)分別為1- 11的11張卡片中任意取2張的”不同排列種數(shù)，即,（1

13、）A所含的樣本點(diǎn)數(shù)相當(dāng)于“從編號(hào)分別為1-5的5 張卡片中任意取2張的”不同排列種數(shù)，即,24,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),（2）B所含的樣本點(diǎn)分兩類：先紅后黑相當(dāng)于“從編號(hào)1-5中取1個(gè)，再從編號(hào)6-11中取1個(gè)”，由乘法原理知：共有56個(gè)不同樣本點(diǎn)；先黑后紅相當(dāng)于“從編號(hào)中6-11取1個(gè)，再從編號(hào)1-5 中取1個(gè)”，由乘法原理知：共有65個(gè)不同樣本點(diǎn)；因此由加法原理知：B所含樣本點(diǎn)總數(shù)為,故由古典概率計(jì)算公式得：,25,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故由古典概率計(jì)算公式得：,（3）C所含的樣本點(diǎn)分兩類：一紅一黑先紅后黑， 先黑后紅，有60個(gè)；兩黑“

14、從編號(hào)6-11中取2個(gè)”的排 列數(shù)有65=30個(gè)。因此，由加法原理知：C所含樣本 點(diǎn)總數(shù)為,故由古典概率計(jì)算公式得：,26,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),此時(shí),樣本空間是所有的兩個(gè)不同球的組合，相當(dāng)于 一次取兩不同號(hào)碼的不同組合。 注意：同色（1，2）和（2，1）是同一個(gè)樣本點(diǎn)。,方法2一次無序取2只,樣本點(diǎn)總數(shù)相當(dāng)于“從編號(hào)分別為1-11的11張卡片中 任意取2張的”不同組合種數(shù)，即,（1）A所含的樣本點(diǎn)數(shù)相當(dāng)于“從編號(hào)分別為1-5的5 張卡片中任意取2張的”不同排列種數(shù)，即,27,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故由古典概率計(jì)算公式得：,（2）B所含的

15、樣本點(diǎn)數(shù)相當(dāng)于“從編號(hào)1-5中取1個(gè)，再從編號(hào)6-11中取1個(gè)”的不同組合數(shù)，因此，由乘法原理知：B所含樣本點(diǎn)總數(shù)為,故由古典概率計(jì)算公式得：,28,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故由古典概率計(jì)算公式得：,（3）C所含的樣本點(diǎn)分兩類：一紅一黑 ， 兩黑“從編號(hào)6-11中取2個(gè)”組合數(shù)。因此，由加法原理 知：C所含樣本點(diǎn)總數(shù)為,29,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),從N件產(chǎn)品中任取n件,每種不同取法就是一個(gè)樣本 點(diǎn)，樣本點(diǎn)總數(shù)基本事件總數(shù)相當(dāng)于是“從N個(gè)相異元 素中取n個(gè)元素”的組合數(shù)，即為,【例2】設(shè)有N件產(chǎn)品,其中D件為次品.現(xiàn)從中作不放 回抽樣任取n件

16、,求其中恰有k(kD)件次品的概率.,解N件產(chǎn)品是可辨的?！安环呕厝稳件”相當(dāng)于 “一次同時(shí)取n件”，因而，試驗(yàn)結(jié)果是無序的。,設(shè)事件A=“任取n件中恰有k件次品”，則其所含樣本 點(diǎn)總數(shù)相當(dāng)于“從D件次品中取k件,再從N-D件正品中取,30,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故由古典概率公式得：,許多問題如正品次品,男生女生等與本例屬于相同 的數(shù)學(xué)模型。這種類型概率稱為超幾何分布。,n-k件”的不同組合數(shù)，由乘法原理知為,31,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例3】 將n只球隨機(jī)地放入N個(gè)盒子中去(Nn), 試求“每個(gè)盒子至多有一球”的概率(設(shè)盒子容量不限

17、).,解由于盒子容量不限, 所以n只球放入N個(gè)盒子的每種 放法就是一個(gè)樣本點(diǎn).,樣本點(diǎn)總數(shù)為,(從N個(gè)盒子中可重復(fù)地取n個(gè)的排列數(shù)每個(gè)球有N種 放法，一共有n只球，由乘法原理知有Nn種),而“每個(gè)盒子至多有一只球”的有利場合數(shù)知為,分房問題,32,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),（從N個(gè)盒子中選n個(gè) 出來，再放入n只球n!,由乘法原理）,故所求概率為,許多問題生日問題、住房問題、乘客下車問題等 與本例屬于相同的數(shù)學(xué)模型。,因此，“n人中至少有兩人生日相同”的概率為：,例如，生日問題：n（365）個(gè)人生日各不相同 的概率為,33,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

18、,n人中至少有兩人生日相同的概率,34,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例4】 從0，1，2，9共十個(gè)數(shù)中隨機(jī)取4個(gè)，求下列事件的概率： （1）A1：4個(gè)數(shù)中不含1和8； （2）A2：4個(gè)數(shù)中既含1也含8； （3）A3：4個(gè)數(shù)中不含1或8。,解顯然，基本事件總數(shù)十取四的組合 ：,三事件的有利場合數(shù)分別為：,除1,8外的八取四的組合,隨機(jī)取數(shù)問題,35,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1,8必取，再在除1,8外的八取二的組合，乘法原理,不含“1或8”分為互斥的三類：含1不含8，含8不含1，既 不含1也不含8，加法原理,故所求概率分別為：,36,2005,河南

19、理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例4】某接待站在某一周內(nèi)接待了12次來訪者,已知 所有這些來訪都是在星期二與星期四進(jìn)行的,問能否由此 推斷該接待站的接待時(shí)間是有規(guī)定的?,解若接待時(shí)間沒有規(guī)定,且來 訪者可在一周內(nèi)任何一天到接待站, 則“12次來訪都在星期二與星期四” 的概率為(千萬分之三):,人=“球”,星期幾=“盒”,抽象:模型化,37,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),小概率事件在一次具體試驗(yàn)中幾乎是不會(huì) 發(fā)生的.統(tǒng)計(jì)推斷原理,小概率事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中幾乎是必然 發(fā)生的.,關(guān)于小概率事件的重要結(jié)論,于是,上面的例題就可利用統(tǒng)計(jì)推斷原理對(duì)某種假設(shè)作出判斷（接受或拒絕）

20、，這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的假設(shè)檢驗(yàn)中是非常有用的。,38,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),理解題意：分析隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件，構(gòu)造盡可能 簡單的等可能的樣本空間，特別是不同方法求解時(shí)， 必須在同一樣本空間中進(jìn)行計(jì)算；,設(shè)好事件: 一般在理解題意前提下，設(shè)出一些簡單 事件，使其它復(fù)雜事件能利用簡單事件的關(guān)系與運(yùn) 算表達(dá)出來；,正確計(jì)數(shù)：計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)基本事件總數(shù)和事件 所含樣本點(diǎn)總數(shù)有利場合數(shù)，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或 遺漏。常用到排列、組合、乘法原理和加法原理等 知識(shí)。,計(jì)算古典概率的基本思路,39,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),利用公式:常用古典概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率

21、公式、加法公式、全概公式、貝葉斯公式、乘法 公式等。,注意模型：解題時(shí)注意模型化，抓住問題本質(zhì)。,40,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),二、幾何概率,定義2 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為一幾何區(qū)域，其 測度長度、面積或體積等 m()為有限值,若任意事 件A發(fā)生的概率與A的測度m(A)成正比,則稱該試驗(yàn)為幾 何概型.,設(shè)E為幾何概型,A為事件,則A發(fā)生的概率為:,41,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),以x，y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則能會(huì)面的充要條件為,【例5】兩同學(xué)相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在南大門會(huì)面，先到者 等候另一人20分鐘，過時(shí)離去，求兩人能會(huì)面的概率。,解,這是幾何概

22、率問題：可能結(jié)果的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成邊長60的正方形；能會(huì)面的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成會(huì)面區(qū)域，故所求概率為,42,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例6】從區(qū)間（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求下列事 件的概率： （1）兩數(shù)之和小于1.2; （2）兩數(shù)之和小于1，且兩數(shù)之積大于0.09.,解,設(shè)所取兩數(shù)分別為x，y，樣本點(diǎn)（x，y）為正 方形區(qū)域S=0，1；0，1，即樣本空間為該正方形S。,故由幾何概率計(jì)算公式得：,（1）事件A=“兩數(shù)之和小于1.2”對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椋?43,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故由幾何概率計(jì)算公式得：,（2）事件B=“兩數(shù)之和小于1，積大

23、于0.09”對(duì)應(yīng)的平 面區(qū)域?yàn)椋?注意:利用定積分計(jì)算平面區(qū)域面積.,44,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),將幾何概型的結(jié)果轉(zhuǎn)化為某個(gè)可度量是幾何區(qū)域S 直線、平面或空間等中隨機(jī)點(diǎn)來確定，找出事件 A發(fā)生相應(yīng)的區(qū)域SA；,計(jì)算樣本空間S和隨機(jī)事件SA的幾何測度長度、面 積、體積等；,利用幾何概率公式計(jì)算A的概率。,計(jì)算幾何概率的基本思路,45,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義3 設(shè)在相同條件下進(jìn)行的n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生 nA(頻數(shù))次，稱比值,（1） ；,（2）,（3）若 是兩兩互斥事件組，則,為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。,1、頻率,頻率具有下列性質(zhì)

24、：,三、概率,46,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),表1：拋一枚硬幣觀察正面H出現(xiàn)的頻率,47,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),表2：438023個(gè)字符中英文字母頻率,Dewey.G:Relative Frequency of English Spellings,1970.,練習(xí)：利用word統(tǒng)計(jì)功能確定一篇文章中單詞的頻率。,48,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),由上述可知，頻率具有下列特點(diǎn)：,隨機(jī)波動(dòng)性對(duì)相同或不同的試驗(yàn)次數(shù)，同一事件的頻數(shù)不一定相同，從而所得的頻率也不一定相同，因而無法用頻率來度量事件發(fā)生的可能性的大??；,在第五章將證

25、明貝努里大數(shù)定理:,從理論上保證了利用頻率穩(wěn)定值 量度事件 發(fā)生的 可能性大小(概率)的可行性.,頻率穩(wěn)定性隨著試驗(yàn)次數(shù)的無限增大，事件的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)，因而可用該常數(shù)來度量事件發(fā)生的可能性的大小。,49,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),2、統(tǒng)計(jì)概率,事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值p稱為A的統(tǒng)計(jì)概率，即,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n相當(dāng)大時(shí)，可以用頻率作為概率的近 似值：,事件頻率的穩(wěn)定性通常也稱作相應(yīng)事件發(fā)生的統(tǒng) 計(jì)規(guī)律性.,50,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),至此，我們根據(jù)不同背景給出了三種概率定義，即 古典概率、幾何概率和統(tǒng)計(jì)概率，可以看出，它們均具 有下面三條性

26、質(zhì)：,、非負(fù)性,、規(guī)范性,、可列可加性 設(shè) 為兩兩互斥事件組,則有,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫在1933年將上述三條性 質(zhì)演繹為三條公理，由此可得度量事件發(fā)生可能性大小 的概率的公理化定義.,51,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義4 設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)E的每個(gè)事 件A，稱滿足下列公理的實(shí)數(shù)(集合函數(shù))P(A)為事件A的 概率:,四、概率公理化定義,、非負(fù)性,、規(guī)范性,、可列可加性 設(shè) 為兩兩互斥事件組,則有,52,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),五、概率的性質(zhì),由概率的公理化定義可得概率的性質(zhì):,性質(zhì)1 P()=0.,證在可列可加性中取所有的A

27、K=得:,再由非負(fù)性得:,性質(zhì)2 設(shè) 為兩兩互斥事件組,則有,有限可加性,證在可列可加性中取AK=(k=n+1,n+2,), 再利用性質(zhì)1即得.,53,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),證將事件B分解為互斥事件的和事件得：,性質(zhì)3 若 , 則,由有限可加性得:,即得:,由非負(fù)性得:,減法公式有條件,54,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),性質(zhì)4 對(duì)任意事件A, 總有,證由于,所以由減法公式得：,再由概率的非負(fù)性、規(guī)范性知：,即得：,注意： 減法公式是需要“包含”條件的,55,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),證因?yàn)?即,注意：公式 在計(jì)算概率時(shí)是

28、非常 有用的.當(dāng)直接計(jì)算某事件概率比較困難時(shí),可以轉(zhuǎn) 而計(jì)算其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而利用上述公式所需 的概率.,性質(zhì)5,所以由有限可加性及規(guī)范性得:,56,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),證將AB互斥分解得:,又,故由有限可加性與減法公式得:,加法公式,性質(zhì)6,注意：雖然AB=(A-B)B,但P(A-B)不能用減 法公式,而A-B=A-AB,且P(A-AB)可用減法公式!,57,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),加法公式可推廣至有限個(gè)事件的和事件.,例如，三個(gè)事件的加法公式:,n個(gè)事件的加法公式請(qǐng)看教材,掌握其規(guī)律.,在應(yīng)用文圖的直觀性時(shí)，可以把事件A的概率 視

29、為該平面集合A的面積，注意P(S)=1。利用此觀 點(diǎn)容易理解和記憶一些概率公式（例如，減法公式， 加法公式，乘法公式等）。,58,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例7】設(shè)A,B兩事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問 1、在什么條件下,P(AB)取得最大值,并求最大值? 2、在什么條件下,P(AB)取得最小值,并求最小值?,解由概率的加法公式得:,由0P(A)P(B)知:A,B,且AB,故A 與B相容,且應(yīng)有 保證和事件概率最小,于是， ,故,1、當(dāng) 最小時(shí), 才能最大.,否則P(A)=P(B) =P(AB)=0矛盾,note,59,2005,河南理工大學(xué)精品課程

30、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),由于AB,故P(AB)0。,易知:當(dāng) 時(shí),有,2、當(dāng) 最大時(shí),P(AB)才能最小.,否則P(AB)=P(A)+P(B)1,60,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例2】設(shè)A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的 概率.,解由于 ,故利用概率非負(fù)性與減法 公式得:,即,由三事件的加法公式得“A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生” 的概率為:,注意：選擇 有助于解題,但若從 無法確定 的值.,61,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),3、條件概率,一、條件概

31、率的概念與計(jì)算,解易知：,【引例】將一枚硬幣連拋兩次,觀察正反面出現(xiàn)的情 況。設(shè)事件A:“至少有一次正面”，事件B：“兩次同面”， 求“在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”的概率P(B|A)。,在“至少有一次正面”發(fā)生的條件下計(jì)算B發(fā)生的概率時(shí)，可取A為樣本空間（縮減樣本空間），此時(shí)，B只含一個(gè)樣本點(diǎn)HH，故,62,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),此外,在樣本空間S中易計(jì)算得:P(A)=3/4,P(AB)= 1/4,且有,顯然，P(B|A)P(B)=1/2。,定義1 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)0,稱,為“在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生”的條件概率。,由此，一般可定義條件概率。

32、,63,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),不難看出，計(jì)算條件概率P(B|A)有兩種方法：,在原樣本空間S中分別求出P(A),P(AB),再 按定義公式計(jì)算； 在縮減樣本空間A中按一般概率P(B)計(jì)算。,64,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),解方法1在原樣本空間S中計(jì)算,【例1】一盒子裝有5只產(chǎn)品，其中3只一等品，2只二 等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。 設(shè)事件A為“第一次取到一等品”，事件B為“第二次取到一 等品”，求條件概率P(B|A)。,因?yàn)椤安环呕匾来稳芍弧庇行颍帕械拿糠N不同 結(jié)果就是一個(gè)樣本點(diǎn),所以樣本點(diǎn)總數(shù)為,A所含樣本點(diǎn)均為“

33、第一次取一等品的兩產(chǎn)品”，故其 所含樣本點(diǎn)總數(shù)有利場合數(shù)為,65,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),而AB的樣本點(diǎn)均為“兩次均取一等品”，故其所含樣本點(diǎn)總數(shù)有利場合數(shù)為,由古典概率公式得:,從而,由條件概率公式得:,方法2在縮減樣本空間A中計(jì)算,66,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),“第一次取一等品的兩只”均為A所含樣本點(diǎn),共有 ,其中兩只均為一等品的為AB所含樣本點(diǎn), 共有 故由古典概率公式得:,S,AB,A,67,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1、條件概率也是概率。因而也滿足概率的三條公 理及其各個(gè)性質(zhì)。,對(duì)立事件概率公式:,等等,此處

34、不一一列舉.,二、條件概率的性質(zhì),例如，加法公式:,此外,概率P(A)就是條件概率P(A|S),即 P(A)=P(A|S)。,68,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),注意：當(dāng)P(A)0時(shí),乘法公式與條件概率定義式是等價(jià)的; 當(dāng)P(A)0,P(B)0時(shí),有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B); 乘法公式可以推廣到多事件情形.例如,三事件的 乘法公式為P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(AB)0。,由條件概率定義即可得:,乘法公式 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)0,則,2、乘法公式,69,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),乘法公式

35、的幾何解釋：若將事件A的概率看作“A 在S中所占的面積比”幾何概率，則顯然成立：,其中 表示A的面積.,應(yīng)用乘法公式求多事件積事件概率的兩種情形:,、積事件是其中各事件相繼影響而形成;,、積事件中各事件或都發(fā)生、或都不發(fā)生、或其 中部分發(fā)生部分不發(fā)生，但事先并不知確已發(fā)生與否。,70,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例2】據(jù)以往資料表明,某一3口之家患某種傳染病 的概率有以下規(guī)律:P孩子得病=0.6,P母親得病|孩子 得病=0.5,P父親得病|母親及孩子得病=0.4.求“母親 及孩子得病但父親未得病”的概率。,解設(shè)A,B,C分別表示孩子、母親、父親得病的事 件。由題意知:,

36、現(xiàn)求,由乘法公式得:,71,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),注意 由于本例中 都是地位平 等的隨機(jī)事件,沒有一個(gè)事先知道確已發(fā)生,所以所求 概率是積事件概率 ,而不是條件概率,72,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例2】設(shè)某透鏡第一次落下打破的概率為1/2,若第 一次未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次均 未打破,第三次落下打破的概率為9/10,試求該透鏡落下 三次而未打破的概率.,解設(shè)事件Ai=“透鏡第i次落下打破”(i=1,2,3), B=“透鏡落下三次而未打破”。,因?yàn)?，且前次事件對(duì)后次事 件有影響，故由乘法公式得：,方法1,由已知條件

37、知：,73,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),于是，,方法2,因?yàn)槭录巴哥R三次落下打破”為,且 兩兩互斥,故由可加性得:,74,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),其中,由乘法公式得：,故得：,再由對(duì)立事件概率公式得：,75,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定義2 設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,， Bn為E的滿足下列條件的事件組：,則稱 B1,B2,Bn 為樣本空間S 的一個(gè)完備事件組劃分.,3、全概率公式與貝葉斯公式,（i）BiBj=(ij,I,j=1,2,n);,(ii),例如，在擲一枚骰子觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)中，,B1=1，2，3

38、，B2=4，5，B3=6 就是樣本空間S的一個(gè)完備事件組。,76,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),定理1 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間, B1,B2,Bn為S的 一個(gè)完備事件組，且P(Bi)0(i=1,2,n),則對(duì)任意事 件A有全概率公式：,【證】因?yàn)锳可互斥分解為,所以由有限可加性與乘法公式得：,77,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【證】由條件概率、乘法公式與全概率公式得,定理2 設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間, B1,B2,Bn為S的 一個(gè)完備事件組,A為E的事件,且P(Bi)0(i=1,2,n), P(A)0,則有貝葉斯公式：,78,2005,河南理工大學(xué)精品課

39、程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),在應(yīng)用全概率公式與貝葉斯公式時(shí)，有兩個(gè)問題需 要弄清楚：,當(dāng)事件的發(fā)生與相繼兩個(gè)試驗(yàn)有關(guān)時(shí)，從第一試驗(yàn) 入手尋找完備事件組；,當(dāng)事件的發(fā)生是由諸多兩兩互斥的原因而引起的， 可以這些“原因”為完備事件組。,2、如何區(qū)分是用全概率公式還是用貝葉斯公式,1、如何確定完備事件組,一般，可從下列兩個(gè)方面來尋找完備事件組：,“由因求果”用全概率公式,“執(zhí)果求因”用貝葉斯公式.,79,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例3】設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品次品率分別為1%和2%, 現(xiàn)從A與B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 一件,發(fā)現(xiàn)是次品,則該次品屬A廠生產(chǎn)的概

40、率是多少?,解由于產(chǎn)生次品的“原因”是“A廠生產(chǎn)”和“B廠 生產(chǎn)”,因此,完備事件組可設(shè)為:,事件A為“隨機(jī)抽取一件為次品”.,由全概率公式得:,80,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),由貝葉斯公式得:,81,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例4】設(shè)在12只乒乓球中有9只新球和3只舊球,第一次 比賽取出3只,用后放回去;第二次比賽又取出3只,求第二 次取到的3只球中有2只為新球的概率.,【解】這里有兩個(gè)相繼“試驗(yàn)”:“第一次取出3只” 和 “第二次取出3只”.因此,可根據(jù)“第一次試驗(yàn)”的各種情 形確定完備事件組.,第一次取出3只球有4種情況:沒有新球、有一只

41、新 球、有兩只新球和全是新球，分別用事件表示為：,設(shè)A為事件：“第二次取出2新1舊”，則由古典概率計(jì) 算公式超幾何分布得：,82,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),注意：第二次取球時(shí)12只球的新舊組成是隨第一 次取出的3球組成的變化而變化,易得:,從9新3舊中取3舊,從9新3舊中取1新2舊,從9新3舊中取2新1舊,從9新3舊中取3新,83,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),從9新3舊中取2新1舊,從8新4舊中取2新1舊,從7新5舊中取2新1舊,從6新6舊中取2新1舊,由全概率公式得:,84,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),由全概率公式得:,85

42、,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),4、獨(dú)立性,一、事件的獨(dú)立性,定義1 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,如果,則稱A,B為相互獨(dú)立的事件.,定理 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)0,則,A,B相互獨(dú)立,由條件概率可得,86,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),即 相互獨(dú)立.,解因?yàn)锳,B相互獨(dú)立,所以,從而,【例1】設(shè)事件A,B相互獨(dú)立,證明事件 也相互獨(dú)立.,可以證明:在 中,只要有一組 獨(dú)立,則其余各組均獨(dú)立.,87,2005 He Xianzhi,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),獨(dú)立性的概念可以推廣到多事件.,定義2 設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,如果,則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.,如果只滿足前三個(gè)條件,則稱A,B,C為兩兩獨(dú)立的事件.,相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立, 反之不然.,88,2005,河南理工大學(xué)精品課程 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),【例2】三人獨(dú)立地去破譯一份密碼,已