1、3.3.2 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(2),目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組稱為約束條件。,如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標(biāo)函數(shù)，如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱為線性約束條件。,一、復(fù)習(xí),在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為問(wèn)題的最優(yōu)解。,一般地，滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。,例1：某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要兩種原料。生產(chǎn)甲產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料3kg，B原料1kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料2kg，B原料2kg?，F(xiàn)有A原料

2、1200kg，B原料800kg。如果生產(chǎn)甲產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是30元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是40元，問(wèn)同時(shí)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，各多少工時(shí)能使利潤(rùn)的總額最大？最大利潤(rùn)是多少？,解：依題意，可列表如下：,設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，計(jì)劃生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，,則獲得的利潤(rùn)總額為f=30 x+40y。 ,其中x, y滿足下列條件 ：,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在x，y滿足條件的情況下，求式子30 x+40y的最大值。,畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域OABC。,問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為，在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30 x+40y時(shí)，使該式 取得最大值。,令30 x+40y=z，則直線過(guò)點(diǎn)B時(shí), z最大。

3、,將x=200，y=300代入式子: 30 x+40y，得 zmax=30200+40300=18000.,答：用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得利潤(rùn)18000元，此時(shí)利潤(rùn)總額最大。,解方程組,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(200，300)。,例2下表給出甲、乙、丙三種食物中維生素A、B的含量及單價(jià)：,營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)買這三種食品共10千克，使它們所含的維生素A不少于4400單位，維生素B不少于4800單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各購(gòu)買多少千克？,解：設(shè)購(gòu)買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購(gòu)買丙種食物(10 xy)千克，,又設(shè)總支出為z元，由題意得 z=7x+6y+5(10

4、 xy)， 化簡(jiǎn)得 z=2x+y+50，,x，y應(yīng)滿足的約束條件,化簡(jiǎn)得,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。,容易看出， z=2x+y+50過(guò)直線y=2與直線2xy=4的交點(diǎn)時(shí), z值最小。,解方程組,得點(diǎn)M(3，2)。,因此，當(dāng)x=3，y=2時(shí)，z取得最小值 z=23+2+50=58.,此時(shí)，10 xy=5.,答：購(gòu)買甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金額最低為58元。,例3某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個(gè)大集裝箱能夠所托運(yùn)的貨物的總體積不能超過(guò)24m3，總重量不能低于650千克。甲、乙兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤(rùn)，列表如下：,

5、問(wèn)：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋(不一定都是整袋)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？,解：設(shè)托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋，獲得利潤(rùn)z百元。,則 z=20 x+10y。,依題意可得關(guān)于x，y的約束條件,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。,畫(huà)直線l0：20 x+10y=0，平行移動(dòng)l0到直線l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線l0的同一側(cè)。,該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值。,容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線2x+5y=13與直線5x+4y=24的交點(diǎn)。,解方程組,得點(diǎn)M(4，1)。,因此當(dāng)x=4，y=1時(shí)

6、，z取得最大值，此時(shí)zmax=204+101=90.,答：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋，可獲得最大利潤(rùn)9000元。,例4A、B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)，兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知A區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；B區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求B區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比A區(qū)的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過(guò)37元。怎樣安排參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多少人？,解：設(shè)A、B兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為x，y受到服務(wù)的老人人數(shù)為z，,則z=5x+3y， 應(yīng)滿足的約束條件是,化簡(jiǎn)得,根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。,畫(huà)直線l0：5x+3y=0，平行移動(dòng)l0到直線l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線l0的同一側(cè)。,該點(diǎn)到直線l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值。 容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線x5y+1=0與直線3x+