1、1,主講教師: 王彩俠,數(shù)學(xué)分析,第17章,2,第2節(jié),一元復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)法則,本節(jié)內(nèi)容:,一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,二、復(fù)合函數(shù)的全微分,微分法則,復(fù)合函數(shù)微分法,第17章,3,一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,定理. 若函數(shù),處可微,在點(diǎn),則復(fù)合函數(shù),可微且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為(鏈?zhǔn)椒▌t),4,證明:,因?yàn)楹瘮?shù),于是,處可微, 故,又,(1),(2),(3),將(1),(2)代入(3)式并整理得,5,其中,由于,因此它們?cè)?點(diǎn)(x,y)連續(xù),即,亦即,在點(diǎn),于是該復(fù)合函數(shù),可微且有鏈?zhǔn)椒▌t.,6,存在,但定理中外函數(shù),注意:若只求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),則內(nèi)函數(shù)可減弱為兩偏導(dǎo)數(shù),例如:,易知:,則復(fù)合函數(shù),可微不可少

2、,若減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.,但函數(shù)在(0,0)不可微(已證).,若令,7,推廣:,又例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都滿足條件 .,1) 中間變量是多個(gè)自變量是一個(gè)的情形.例如,8,3) 中間變量只有一個(gè)的情形,例如:,注: 由于,是一元函數(shù),則它對(duì),的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該,采用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號(hào),9,4)特殊情況下的特殊記號(hào),滿足可微性條件, 則有,注意:,這里,表示固定 y 對(duì) x 求導(dǎo),表示固定 v 對(duì) x 求導(dǎo),口訣 :,分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo),與,不同,設(shè),10,一般地,若函數(shù),處可微,則復(fù)合函數(shù),(鏈?zhǔn)椒▌t),11,例1. 設(shè),解:,12,例2. 設(shè),求全導(dǎo)數(shù),

3、解:,13,例3.,解:,14,求,例4,解:,15,例5: 已知,解:,16,例6,. 已知,求,解: 由,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,17,例7,求,解: 由題設(shè),(2001考研),18,例8,設(shè),方程,確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,連續(xù), 且,求,解:,19,例9. 用多元復(fù)合微分法計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,解:(1)令,則,(2)令,則,20,二、復(fù)合函數(shù)的全微分,設(shè)函數(shù),的全微分為,可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,則復(fù)合函數(shù),都可微,其全微分表達(dá),形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,21,例1 .,例 1.,利用全微分形式不變性再解,解:,所以,22,例2:,解: 利用微分形式的不變性有,23,例3,解: 利用微分形式的不變性有,24,例4. 設(shè),解: 利用微分形式的不變性有,25,內(nèi)容小結(jié),1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”,例如,2. 全微分形式不變性,不論 u , v 是自變量還是因變量,26,思考與練習(xí),1.,27,作業(yè),P123 1(2),(4),(