1、8.1 正弦量的基本概念,1. 正弦量,瞬時(shí)值表達(dá)式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,周期T (period)和頻率f (frequency) :,頻率f ：每秒重復(fù)變化的次數(shù)。,周期T ：重復(fù)變化一次所需的時(shí)間。,單位：Hz，赫(茲),單位：s，秒,正弦量為周期函數(shù) f(t)=f ( t+kT),正弦電流電路,激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。,（1）正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重 要的地位。,研究正弦電路的意義：,1）正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導(dǎo)、積分 運(yùn)算后仍是同頻率的正弦函數(shù),優(yōu)點(diǎn)：,2）正弦信號(hào)容易產(chǎn)生、傳送和使用。

2、,（2）正弦信號(hào)是一種基本信號(hào)，任何變化規(guī)律復(fù)雜的信號(hào) 可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。,對(duì)正弦電路的分析研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。,幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,(2) 角頻率(angular frequency),2. 正弦量的三要素,(3) 初相位(initial phase angle) y,2,t,單位： rad/s ，弧度 / 秒,反映正弦量變化幅度的大小。,相位變化的速度， 反映正弦量變化快慢。,反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。,i(t)=Imcos(w t+y),同一個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。,一般規(guī)定：| | 。, =0, =/2

3、, =/2,例,已知正弦電流波形如圖，103rad/s，（1）寫出i(t)表達(dá)式； （2）求最大值發(fā)生的時(shí)間t1,解,由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè),3. 相位差,設(shè) u(t)=Umcos(w u t+y u), i(t)=Imcos(w i t+y i),則 相位差 ：j = (wu t+y u)- (w i t+y i),j 0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到達(dá)最大值)；, j 0， i 超前 uj 角，或u 滯后 i j 角,i 比 u 先到達(dá)最大值。,同頻率正弦量的相位差等于初相位之差,規(guī)定： | | (180),j = y u- y i,j 0， 同相：,j =

4、(180o ) ，反相：,特殊相位關(guān)系,= p/2： u 領(lǐng)先 i p/2, 不說(shuō) u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不說(shuō) i 領(lǐng)先 u 3p/2。,同樣可比較兩個(gè)電壓或兩個(gè)電流的相位差。,例,計(jì)算下列兩正弦量的相位差。,解,不能比較相位差,兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。,4. 周期性電流、電壓的有效值,周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效果工程上采用有效值來(lái)表示。,周期電流、電壓有效值(effective value)定義,有效值也稱均方根值(root-meen-square),物理意義,同樣，可定義電壓有效值：,正弦

5、電流、電壓的有效值,設(shè) i(t)=Imcos( t+ ),同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：,若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；,U=380V， Um537V。,（1）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。,（2）測(cè)量中，交流測(cè)量?jī)x表指示的電壓、電流讀數(shù)一 般為有效值。,（3）區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值、最大值、有效值的符號(hào)。,注,8.2 正弦量的相量表示,1. 問(wèn)題的提出：,電路方程是微分方程：,兩個(gè)正弦量的相加：如KCL、KVL方程運(yùn)算。,i1,i

6、1+i2 i3,i2,角頻率： 有效值： 初相位：,因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,i3,實(shí)際是變換的思想,復(fù)數(shù)A的表示形式,A=a+jb,2. 復(fù)數(shù)及運(yùn)算,兩種表示法的關(guān)系：,或,復(fù)數(shù)運(yùn)算,則 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加減運(yùn)算采用代數(shù)形式,若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2,圖解法,(2) 乘除運(yùn)算采用極坐標(biāo)形式,除法：模相除，角相減。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,則:,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例2.,(3) 旋轉(zhuǎn)因子：,復(fù)數(shù) ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相當(dāng)于A逆

7、時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度q ， 而模不變。故把 ejq 稱為旋轉(zhuǎn)因子。,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,若兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部數(shù)值相等，符號(hào)相反，稱為共軛復(fù)數(shù)。,故 +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。,幾種不同值時(shí)的旋轉(zhuǎn)因子,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,造一個(gè)復(fù)函數(shù),對(duì)A(t)取實(shí)部：,對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù),A(t)包含了三要素：I、 、w ，復(fù)常數(shù)包含了I , 。,A(t)還可以寫成,無(wú)物理意義,是一個(gè)正弦量 有物理意義,3. 正弦量的相量表示,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,稱 為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)的相量。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同樣可

8、以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,已知,例1,試用相量表示i, u .,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,在復(fù)平面上用向量表示相量的圖,例2,試寫出電流的瞬時(shí)值表達(dá)式。,解,相量圖,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,4. 相量法的應(yīng)用,(1) 同頻率正弦量的加減,故同頻正弦量相加減運(yùn)算變成對(duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算。,可得其相量關(guān)系為：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,也可借助相量圖計(jì)算,首尾相接,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,2 . 正弦量的微分，積分運(yùn)算,微分運(yùn)算:,積分運(yùn)算:,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,用相量運(yùn)算：,相量法的優(yōu)點(diǎn)：,（1）把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題；,（2）把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；,（3）可以

9、把直流電路的分析方法直接用于交流電路；,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,注, 相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。, 相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,8.3 元件和電路定理的相量形式,1. 電阻元件VCR的相量形式,時(shí)域形式：,相量形式：,相量模型,有效值關(guān)系,相位關(guān)系,相量關(guān)系：,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,瞬時(shí)功率：,波形圖及相量圖：,瞬時(shí)功率以2交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功率,同相位,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,時(shí)域形式：,相量形式：,相量模型,相量關(guān)系：,2. 電感元件VCR的相量形式,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,電流滯后電壓 90,感抗的物理意義：,(1) 表示

10、限制電流的能力；,(2) 感抗和頻率成正比；,相量表達(dá)式:,XL= L=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=1/ L =1/2fL， 感納，單位為 S,感抗和感納:,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,功率：,瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電感不消耗功率。,波形圖及相量圖：,電壓超前電流900,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,時(shí)域形式：,相量形式：,相量模型,相量關(guān)系：,3. 電容元件VCR的相量形式,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,電流超前電壓 90,XC=1/w C， 稱為容抗，單位為 (歐姆) B C = w C， 稱為容納，單位為 S,頻率和容抗成反比, 0， |XC| 直流開(kāi)路(隔

11、直) w ，|XC|0 高頻短路(旁路作用),容抗與容納：,相量表達(dá)式:,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,功率：,瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電容不消耗功率。,波形圖及相量圖：,電流超前電壓900,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,4. 基爾霍夫定律的相量形式,同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：,上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足KVL。,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例1,試判斷下列表達(dá)式的正、誤：,L,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,8.4 阻抗和

12、導(dǎo)納,1. 阻抗,正弦穩(wěn)態(tài)情況下,單位：,阻抗模,阻抗角,歐姆定律的相量形式,當(dāng)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個(gè)元件時(shí)有：,Z可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù),2. RLC串聯(lián)電路,由KVL：,Z 復(fù)阻抗；R電阻(阻抗的實(shí)部)；X電抗(阻抗的虛部)； |Z|復(fù)阻抗的模；z 阻抗角。,轉(zhuǎn)換關(guān)系：,或,阻抗三角形,分析 R、L、C 串聯(lián)電路得出：,（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|jz為復(fù)數(shù)，故稱復(fù)阻抗,（2）wL 1/wC ，X0， j z0，電路為感性，電壓領(lǐng)先電流；,相量圖：選電流為參考向量，,三角形UR 、UX 、U 稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即,wL1/wC， X0， jz 0，電路為容性，電

13、壓落后電流；,wL=1/wC ，X=0， j z=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。,例,已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,求 i, uR , uL , uC .,解,其相量模型為：,則,UL=8.42U=5，分電壓大于總電壓。,相量圖,注,3. 導(dǎo)納,正弦穩(wěn)態(tài)情況下,單位：S,導(dǎo)納模,導(dǎo)納角,對(duì)同一二端網(wǎng)絡(luò):,當(dāng)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)內(nèi)為單個(gè)元件時(shí)有：,Y可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù),4. RLC并聯(lián)電路,由KCL：,Y 復(fù)導(dǎo)納；G電導(dǎo)(導(dǎo)納的實(shí)部)；B電納(導(dǎo)納的虛部)； |Y|復(fù)導(dǎo)納的模； y導(dǎo)納角。,轉(zhuǎn)換關(guān)系：,或,導(dǎo)納三角形,（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|jy 數(shù)，故稱復(fù)導(dǎo)

14、納；,（2）wC 1/wL ，B0， y0，電路為容性，電流超前電壓,相量圖：選電壓為參考向量，,分析 R、L、C 并聯(lián)電路得出：,三角形IR 、IB、I 稱為電流三角形，它和導(dǎo)納三角形相似。即,RLC并聯(lián)電路同樣會(huì)出現(xiàn)分電流大于總電流的現(xiàn)象,wC1/wL ，B0， y0，電路為感性，電流落后電壓；,wC=1/wL ，B=0， j y =0，電路為電阻性，電流與電壓同相,5. 復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的等效互換,一般情況 G1/R B1/X。若Z為感性，X0，則B0，即仍為感性。,注,同樣，若由Y變?yōu)閆，則有：,例,RL串聯(lián)電路如圖，求在106rad/s時(shí)的等效并聯(lián)電路。,解,RL串聯(lián)電路的阻抗為：,例

15、,已知電流表讀數(shù)：,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,解,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,圖示電路I1=I2=5A，U50V，總電壓與總電流同相位，求I、R、XC、XL。,解,也可以畫相量圖計(jì)算,令等式兩邊實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,圖示電路為阻容移項(xiàng)裝置，如要求電容電壓滯后與電源電壓/3，問(wèn)R、C應(yīng)如何選擇。,解1,也可以畫相量圖計(jì)算,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,8.5 阻抗（導(dǎo)納）的串聯(lián)和并聯(lián),1. 阻抗的串聯(lián),2. 導(dǎo)納的并聯(lián),兩個(gè)阻抗Z1、Z2的并聯(lián)等效阻抗為：,例,求圖示電路的等

16、效阻抗， 105rad/s 。,解,感抗和容抗為：,例,圖示電路對(duì)外呈現(xiàn)感性還是容性？ 。,解1,等效阻抗為：,解2,用相量圖求解，取電流2為參考相量：,例,圖示為RC選頻網(wǎng)絡(luò)，試求u1和u0同相位的條件及,解,設(shè)：Z1=RjXC, Z2=R/jXC,8.6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析,電阻電路與正弦電流電路的分析比較：,可見(jiàn)，二者依據(jù)的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法推廣應(yīng)用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。,結(jié)論,1. 引入相量法，把求正弦穩(wěn)態(tài)電路微分方程的特解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解復(fù)數(shù)代數(shù)方程問(wèn)題。,2. 引入電路的相量模型，不必列寫時(shí)域微分方程，而直接列寫相量形式的代數(shù)

17、方程。,3. 引入阻抗以后，可將所有網(wǎng)絡(luò)定理和方法都應(yīng)用于交流，直流（f =0)是一個(gè)特例。,例1:,畫出電路的相量模型,解,列寫電路的回路電流方程和節(jié)點(diǎn)電壓方程,例2.,解,回路法:,節(jié)點(diǎn)法:,方法一：電源變換,解,例3.,方法二：戴維南等效變換,求開(kāi)路電壓：,求等效電阻：,例4,求圖示電路的戴維南等效電路。,解,求短路電流：,例5,用疊加定理計(jì)算電流,解,已知平衡電橋Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jwL3。 求：Zx=Rx+jwLx。,平衡條件：Z1 Z3= Z2 Zx 得,R1(R3+jwL3)=R2(Rx+j wLx), Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2,例6,解,|Z1|1 |Z3|3 = |Z2|2 |Zx|x,|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|,1 +3 = 2 +x,已知：Z=10+j50W , Z1=400+j1000W。,