1、第4節(jié)矢量場的環(huán)量和旋轉(zhuǎn)度、1、環(huán)量，首先從變力功問題導(dǎo)入矢量場線積分的概念。 現(xiàn)在假設(shè)F(r )是任意的向量場，則所述積分表示向量場F(r )沿著路徑l的標(biāo)量曲線積分。 因為向量場的循環(huán)量是其中向量場線積分概念應(yīng)用于閉合路徑的結(jié)果，所以向量場相對于閉合曲線l的循環(huán)量被定義為該向量場對閉合曲線l的線積分，如果、(1)向量場的任意閉合路徑的循環(huán)量是恒定的，則該向量場相對于閉合曲線l的循環(huán)量被定義為該向量場對閉合曲線l的線積分。 (2)如果對于哪個閉曲線的矢量場的環(huán)量不為零，那么將該矢量場稱為旋轉(zhuǎn)場，將能夠激發(fā)旋轉(zhuǎn)矢量場的源稱為渦源。 電流是磁場的旋渦源。 水流在與水管軸線平行的方向上流動的C=0

2、，無渦流運動，流體進(jìn)行渦流運動C0，有產(chǎn)生渦流的源，例1 :在流速場、正交坐標(biāo)系中，F(xiàn)(x，y，z )=Fx (x，y， z )的z )ez dl=dx ex dy ey dz ez可以寫環(huán)量，例2 :沿任意閉曲線的磁場的積分與通過由閉曲線包圍的曲面的電流成正比，即，上式構(gòu)筑了磁場和電流的關(guān)系。 通過點p制作微小的有向曲面s，將其邊界曲線標(biāo)記為l，使曲面的法線方向和曲線周圍成為右手的螺旋關(guān)系。 在s點p的情況下，有極限，將上式稱為環(huán)量密度，如果取過點p的有向曲面s不同的方向，則環(huán)量密度不同。 2、矢量場的旋轉(zhuǎn)度、(1)環(huán)量密度、矢量場的環(huán)量給出了矢量場與積分電路包圍的曲面內(nèi)渦源的宏觀連接。 為

3、了給出空間任意點矢量場和渦源的關(guān)系，導(dǎo)入旋轉(zhuǎn)度。 (2)將旋轉(zhuǎn)度、p點的旋轉(zhuǎn)度定義為該點的最大的環(huán)量密度，將其方向設(shè)為en，即旋轉(zhuǎn)度和環(huán)量密度的關(guān)系，p點的旋轉(zhuǎn)度將向量場在p點的旋轉(zhuǎn)度定義為向量，該數(shù)值設(shè)為包含p點的小平面邊界的環(huán)量和小平面比界限的最大同樣地，因為能夠求出curlF的y、z分量，所以考慮、旋轉(zhuǎn)角度的x分量，或者用運算符寫，(3)旋轉(zhuǎn)角度的物理意義、向量的旋轉(zhuǎn)度還是向量，所以空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 點p的旋轉(zhuǎn)角度的幅度是該點環(huán)量密度的最大值。 在矢量場中，如果F=J0，則稱為旋轉(zhuǎn)場(或漩渦場)，j稱為旋轉(zhuǎn)源(或漩渦源)，點p的旋轉(zhuǎn)度的方向是該點的最大環(huán)量密度的方向。 如果向量場在任何地方A=0，則稱為無旋轉(zhuǎn)場。 (5)關(guān)于旋轉(zhuǎn)角度的一些關(guān)系式，位置向量的旋轉(zhuǎn)角度為零，即，(4)關(guān)于旋轉(zhuǎn)角度的式，f(R )與r的乘積的旋轉(zhuǎn)