1、Chapter8 Combined deformation,第八章 組合變形,第八章 組合變形 （Combined deformation）,8-2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合（Combined axial and flexural loads）,8-3 偏心拉（壓）截面核心(Eccentric loads ,中性軸垂直于外力作用面;,即外力無(wú)論作用在哪個(gè)縱向平面內(nèi)，產(chǎn)生的均為平面彎曲。,7、斜彎曲梁的位移疊加法,總撓度：,大小為：,設(shè)總撓度與y軸夾角為 ：,一般情況下，,撓曲線平面與荷載作用面不重合，是斜彎曲，而不是平面彎曲。,中性軸,8-3 偏心拉（壓） 截面核心 （Eccentric lo

2、ads ,Iy , Iz 分別為橫截面對(duì) y 軸和 z 軸的慣性矩;,（zF，yF ） 為力 F 作用點(diǎn)的坐標(biāo);,（z，y）為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo).,上式是一個(gè)平面方程.表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化.應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線 = 0）就是中性軸.,四、中性軸的位置（The location of neutral axis）,令 y0 , z0 代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo),即得中性軸方程,討論,（1）在偏心拉伸 (壓縮) 情況下, 中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線,y,z,O,（2） 用 ay和 az 記中性軸在 y , z 兩軸上的截距,則有,（3）中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)

3、兩側(cè),z,（4）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉伸區(qū)和壓縮區(qū),橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1 , D2 兩切點(diǎn),(a),(b),(c),y,y,z,z,（5）對(duì)于周邊具有棱角的截面,其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處, 并可根據(jù)桿件的變形來(lái)確定,y,z,FyF/Wz,最大拉應(yīng)力 tmax 和最大壓應(yīng)力 cmin 分別在截面的棱角 D1 D2 處.無(wú)需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置即可,五、強(qiáng)度條件 （Strength condition）,由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài),因此,求得最大正應(yīng)力后,建立的強(qiáng)度條件為,y,z,六、截面核心（The kern of a section）,

4、（yF，zF）為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo),ay,az為中性軸在y軸和z軸上的截距,當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí),整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力,y,z,y,z,y,z,y,z,截面核心,1.定義（Definition）當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí),就可以保證中性軸不穿過(guò)橫截面（整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力）,這個(gè)區(qū)域就稱為截面核心 （the kern of a section）,y,z,當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí),與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切.截面核心 的邊界就由此關(guān)系確定.,2.截面核心的確定（Determine the kern of a section）,例5 求

5、圓形截面的截面核心,y,z,O,d,解: （）作切線 為中性軸 ,在兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為,圓截面的慣性半徑,（）由于圓截面對(duì)于圓心O是對(duì)稱的,因而,截面核心的邊界對(duì)于圓也應(yīng)是對(duì)稱的,從而可知,截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心,以d/8為半徑的圓,解:作切線 為中性軸，得兩截距分別為,矩形截面的,例6 求矩形截面的截面核心,（2）同理,分別作切線 、 、 ， 可求得對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo) 依次為,（3）矩形截面核心形狀分析,直線繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到直線時(shí),將得到一系列通過(guò) B點(diǎn)但斜率不同的中性軸,而 B點(diǎn)坐標(biāo) yB , zB 是這一系列中性軸上所共有的.,這些中性軸方程為,上式可以看作是表示外

6、力作用點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程.,故外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線.,（a）對(duì)于具有棱角的截面,均可按上述方法確定截面核心,（b）對(duì)于周邊有凹進(jìn) 部分的截面（如T字形截面）,能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性 軸,因?yàn)檫@種直線穿過(guò) 橫截面.,（4）討論 （discussion）,研究對(duì)象（research object） 圓截面桿（circular bars）,受力特點(diǎn)（character of external force） 桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用,變形特點(diǎn)（character of deformation） 發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形,8-4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合 （Combined be

7、nding and torsion）,一、 內(nèi)力分析 （Analysis of internal force）,設(shè)一直徑為d 的等直圓桿AB, B端具有與AB成直角的剛臂. 研究AB桿的內(nèi)力.,將力 F 向 AB 桿右端截面的形心B簡(jiǎn)化得,橫向力 F （引起平面彎曲）,力偶矩 M= Fa （引起扭轉(zhuǎn)）,AB 桿為彎曲與扭轉(zhuǎn)局面組合變形,畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面,固定端A截面為危險(xiǎn)截面,Fl,二、應(yīng)力分析（Stress analysis）,危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1 和 C2 點(diǎn),最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處.,危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力 發(fā)生在C1 、C2 處,對(duì)于許用拉壓應(yīng)力相等的塑性材

8、料制成的桿,這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的.可取任意點(diǎn)C1 來(lái)研究.,C1 點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài), 該點(diǎn)的單元體如圖示,三、強(qiáng)度分析（Analysis of strength condition）,1.主應(yīng)力計(jì)算 （Calculating principal stress）,2.相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算（Calculating equal stress）,第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力,第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力,3.強(qiáng)度校核（Check the strength）,該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài). 是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力, 是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力.且橫截面不限于圓形截面,討 論,該公式適用于彎扭組合變形;拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形

9、;以及拉（壓）扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形,（1）,彎扭組合變形時(shí),相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫(xiě)為,（2）對(duì)于圓形截面桿有,式中W為桿的抗彎截面系數(shù).M,T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩. 以上兩式只適用于彎扭組合變形下的圓截面桿.,例題7 空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu),受力如圖.AB桿的外徑 D=140mm,內(nèi)外徑之比= d/D=0.8,材料的許用應(yīng)力 =160MPa.試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度,A,B,C,D,1.4m,0.6m,15kN,10kN,0.8m,解:（1）外力分析 將力向AB桿的B截面形心簡(jiǎn)化得,AB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形,（2）內(nèi)力分析畫(huà)扭矩圖和彎矩圖,固定端截面為危險(xiǎn)

10、截面,例題8 傳動(dòng)軸如圖所示.在A處作用一個(gè)外力偶矩Me=1kNm,皮帶輪直徑D=300mm,皮帶輪緊邊拉力為F1,松邊拉力為F2.且F1=2F2,l=200mm,軸的許用應(yīng)力=160MPa.試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑,解:將力向軸的形心簡(jiǎn)化,軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲,C,中間截面為危險(xiǎn)截面,1kNm,例題9 圖示一鋼制實(shí)心圓軸,軸上的齒輪C上作用有鉛垂切向力 5 kN,徑向力 1.82 kN;齒輪 D上作用有水平切向力10 kN,徑向力 3.64 kN.齒輪 C 的節(jié)圓直徑 d1 = 400 mm,齒輪 D 的節(jié)圓直徑d2=200mm.設(shè)許用應(yīng)力 =100 MPa,試按第四強(qiáng)

11、度理論求軸的直徑.,C,D,解:（1）外力的簡(jiǎn)化,將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,1 kNm使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn),5kN,3.64kN 使軸在 xz 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲,1.82kN,10kN 使軸在 xy 縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲,（2）軸的變形分析,C,D,T = 1kNm,圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形,由于通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面,故軸在xz和xy兩平面內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲,從而可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力。,1,C,T 圖,-,My圖,0.57,C,B,0

12、.36,（3）繪制軸的內(nèi)力圖,B 截面是危險(xiǎn)截面,（4）危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算,B和C截面的總彎矩為,（5）由強(qiáng)度條件求軸的直徑,軸需要的直徑為,例題10 F1=0.5kN,F2=1kN,=160MPa.,（1）用第三強(qiáng)度理論計(jì)算 AB 的直徑,（2）若AB桿的直徑 d = 40mm,并在B端加一水平力 F3 = 20kN,校核AB桿的強(qiáng)度.,F1,A,B,C,400,400,解:將F2向AB桿的軸線簡(jiǎn)化得,AB為彎扭組合變形,固定端截面是危險(xiǎn)截面,AB 為彎,扭與拉伸組合變形,固定端截面是危險(xiǎn)截面,（2） 在 B 端加拉力 F3,F1,A,B,C,400,400,固定端截面最大的正應(yīng)力為,最大切應(yīng)力為,F1,A,B,C,400,400,由第三強(qiáng)度理論,討論,下列三組公式的適用范圍？,第一組,第二組,第三組,任何截面、任何變形、任何應(yīng)力狀態(tài), x或y等于零的任何截面、任何變形的二向應(yīng)力狀態(tài),圓截面、彎扭組合變形,斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合解題過(guò)程,80,P2,P1,外力分析：向形心簡(jiǎn)化并分解,內(nèi)力分析：內(nèi)力圖,疊加彎矩，危險(xiǎn)界面,找危險(xiǎn)點(diǎn),建立強(qiáng)度條件, 桿類構(gòu)件的