1、 5.1 線性微分方程組解的 存在唯一性定理,Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs, 掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系。 理解線性微分方程組解的存在唯一性定理。 熟練掌握解的逐次逼近序列的構(gòu)造方法。,本節(jié)要求/Requirements/,5.1.1 記號(hào)與定義/Symbol and Definition/,一階微分方程組,初值條件, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,一階線性微分方程組,(5.1), 5.1 Existence & Uniqueness Theo

2、rems of Linear ODEs,.(5.2),(5.3),.(5.4), 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,可定義矩陣與向量函數(shù),在區(qū)間,連續(xù):,連續(xù)。,在區(qū)間,可微:,可微。,在區(qū)間,可積:,可積。,在區(qū)間, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,上的連續(xù) 維向量，方程組,上連續(xù)且滿足,定義1,設(shè),是區(qū)間,上的連續(xù),矩陣，,是區(qū)間,.(5.4),在某區(qū)

3、間,的解就是向量,在區(qū)間, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,定義2,初值問(wèn)題(Cauchy Problem),.(5.5),的解就是方程組(5.4)在包含,使得, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,例1 驗(yàn)證向量,是初值問(wèn)題,在區(qū)間,上的解。,解,因此 是給定初值問(wèn)題的解。, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,5.1.2 n 階線性微分方程與一階線性微分方程組等價(jià),例1,令,解, 5.1 E

4、xistence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,滿足,解,構(gòu)造向量, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,解,滿足, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,令, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,(5.6),等價(jià),(5.7), 5.1 Existence

5、 & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,例2,令,將初值問(wèn)題,化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問(wèn)題。,解, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,例3,將下列方程組化為高階方程,解,注意：不是所有方程組都可化為高階方程, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,5.1.3 存在唯一性定理,初值問(wèn)題(Cauchy Problem),.(5.5), 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear

6、ODEs,定理1,f (t)是 n 維列向量，,上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間,上的任何數(shù),及任一常數(shù)向量,方程組(5.5)存在唯一解,定義于整個(gè)區(qū)間,上，且滿足初始條件,如果,矩陣，,它們都在區(qū)間, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,現(xiàn)取,，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列：,向量函數(shù),稱為(5.4)的第 k 次近似解。, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,例4,求方程組的初值問(wèn)題,的二次近似解。,解,令, 5.1 Existence & Uniqueness Theore

7、ms of Linear ODEs, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,5.1.4 簡(jiǎn)單方程組的消元法,例5 求解方程組,解,關(guān)鍵：保留一個(gè)未知函數(shù)，消掉另一個(gè)未知函數(shù), 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,方程組的解為, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,例6 求解方程組,解：,保留一個(gè)未知函數(shù) x，消掉另一個(gè)未知函數(shù) y, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,另外，由,方程組的解為, 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of Linear ODEs,練習(xí)：,2 求方程組的初值問(wèn)題,的二次近似解。,1 P.184 2 (b), 5.1 Existence & Un