1、黑龍江省教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 曲 巍,中學(xué)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用,函數(shù)與不等式 數(shù) 列 三 角 幾 何,函數(shù)與不等式,一次函數(shù)模型 二次函數(shù)模型 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 不等式模型,建模(或知識(shí)應(yīng)用)提示 1.實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系模糊,數(shù)據(jù)孤立,要對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)作適當(dāng)處理后借助于其內(nèi)在規(guī)律或經(jīng)驗(yàn),將其理想化、函數(shù)模型化. 2.抓住相關(guān)變量中的主要參變量關(guān)系展開(kāi)分析與討論. 3.實(shí)際問(wèn)題中的量具有特殊的含義,在建立函數(shù)或不等式關(guān)系時(shí)需注意其有意義的變化范圍,不能只考慮純數(shù)學(xué)關(guān)系. 4.問(wèn)題所討論的結(jié)果最好具有范式,具有可推廣性.,一次函數(shù)模型,高跟鞋問(wèn)題 如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃 包裝與價(jià)格,高跟鞋問(wèn)題,設(shè)

2、某人下肢軀干部分長(zhǎng)為x厘米, 身高為l厘米,鞋跟高d厘米,鞋跟高度與好看程度的關(guān)系,如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃,實(shí)際背景 為配合不同客戶(hù)的需要,廣告商設(shè)有以 下優(yōu)惠計(jì)劃,以供客戶(hù)選擇.,問(wèn)題在兩個(gè)計(jì)劃中選擇,你選擇哪一項(xiàng)? 分析 (1)兩項(xiàng)服務(wù)的不同點(diǎn):計(jì)劃A的每月基本服務(wù) 費(fèi)比計(jì)劃B少,而計(jì)劃B比計(jì)劃A給客戶(hù)的首 段免費(fèi)通話時(shí)間多. (2)模型假設(shè)與建立 設(shè)t(分鐘)為通話時(shí)間,而C()是所需付出 的費(fèi)用,則可列出計(jì)劃A與計(jì)劃B的付費(fèi)函數(shù) 關(guān)系式為:,計(jì)劃A:,(t60),計(jì)劃B:,(t500),(3)究竟通話時(shí)間超過(guò)多少分鐘,計(jì)劃B會(huì)較 計(jì)劃A為優(yōu)? 0.38(t - 60)+98=168

3、得 t=244.21(分鐘) 故當(dāng)客戶(hù)使用該服務(wù)的時(shí)間超過(guò)244分 鐘(約4小時(shí))時(shí),計(jì)劃B較優(yōu). (4)問(wèn)題推廣 若客戶(hù)真的選擇了計(jì)劃B,最多可以比選 擇計(jì)劃A省多少錢(qián)?,解決 由圖可知,起初計(jì)劃A比計(jì)劃B便宜 70 ,當(dāng)使用時(shí)間超過(guò)60分鐘, 則兩者差距縮小,直到Q點(diǎn),兩者已無(wú)差距, 即表示兩個(gè)計(jì)劃在此時(shí)的優(yōu)惠相同. 由圖,用戶(hù)所得最大優(yōu)惠差額為 97,t,包裝與價(jià)格,某種冰淇淋是用球形塑料殼包裝的,有60g裝和150g裝兩種規(guī)格.假設(shè),冰淇淋售價(jià)=(冰淇淋成本+包裝成本)(1+利潤(rùn)率),并且,包裝成本與球形外殼表面積成正比.已知60g裝冰淇淋售價(jià)1.50元,其中冰淇淋成本為每克1分錢(qián),利

4、潤(rùn)率為25%,問(wèn)在利潤(rùn)率不變的情況下, 150g裝冰淇淋應(yīng)售價(jià)多少?兩種規(guī)格中,買(mǎi)哪種比較合算( 3.684可供參考)?,分析 設(shè)60g裝冰淇淋的包裝成本為x元,根據(jù)題意,得 解得x=0.60(元) 又設(shè)60g裝和150g裝兩種規(guī)格外殼表面積分別為s1、s2,容積為v1 、v2 ,150g裝冰淇淋包裝成本為y元,根據(jù)題意,得,所以,從而,故買(mǎi)大包裝合算,二次函數(shù)模型,漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú) 關(guān)于飲水機(jī)的思考 資金分配問(wèn)題,漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú),問(wèn)題某漁場(chǎng)中漁群的最大養(yǎng)殖量為一定值m噸.為保證漁群的生產(chǎn)空間,實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.由長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知,魚(yú)群的年增長(zhǎng)量和實(shí)際

5、養(yǎng)殖量與空閑率的乘積成正比,要想魚(yú)群的年增長(zhǎng)量最大,實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)?,建模分析這一問(wèn)題中涉及最大養(yǎng)殖量、實(shí)際養(yǎng)殖量、空閑量、空閑率、年增長(zhǎng)量等多個(gè)量，其中最大養(yǎng)殖量為定值m噸，空閑量、空閑率、年增長(zhǎng)量都隨實(shí)際養(yǎng)殖量的變化而變化。,建立模型假設(shè)實(shí)際養(yǎng)殖量為x噸，年增長(zhǎng)量為y噸，則空閑量為(m-x)噸，空閑率為 ，由問(wèn)題概述可建立目標(biāo)函數(shù)為,即實(shí)際養(yǎng)殖量為最大養(yǎng)殖量的一半時(shí)，魚(yú)群的年增長(zhǎng)量最大，最 大增長(zhǎng)量為 噸。,關(guān)于飲水機(jī)的思考,基本假設(shè) （）忽略飲水機(jī)啟動(dòng)時(shí)所需的 電能 （）當(dāng)人回來(lái)時(shí)，水的溫度恰為 制熱所能達(dá)到的最高溫度,符號(hào)的約定 飲水機(jī)的制熱功率（單位：） 飲水機(jī)的保溫功率（單位：）

6、飲水機(jī)的制熱最低溫度（單位：） 飲水機(jī)的保溫最低溫度（單位：） 飲水機(jī)機(jī)內(nèi)水的質(zhì)量 （單位：kg）,飲水機(jī)的電阻（單位： ） 飲水機(jī)的工作電壓（單位：） 把水從室溫加熱到的時(shí)間 （單位：s） 在保溫情況下，從降到的 間（單位：s） 水的比熱（單位：kg ）,在保溫過(guò)程中,水吸收的熱量:,水散失的熱量:,單位時(shí)間內(nèi)水散失的熱量:,當(dāng)外出開(kāi)著飲水機(jī)時(shí),在外出時(shí)間t內(nèi),消耗的電能:,當(dāng)外出關(guān)掉飲水機(jī)時(shí),回來(lái)后重新啟動(dòng),飲水機(jī)消耗的電能:,1.當(dāng) 時(shí),則外出時(shí)開(kāi)著飲水機(jī) 較為省電, 即,所以,2.當(dāng) 時(shí),則外出時(shí)關(guān)掉飲水機(jī) 較為省電, 即,模型的應(yīng)用與評(píng)價(jià),一臺(tái)TC-9901LW型的飲水機(jī),經(jīng)測(cè)量,所

7、需的數(shù)據(jù)如下:,則,資金分配問(wèn)題,有甲、乙兩種商品,經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)售這兩種商 品所獲得的利潤(rùn)依次為P萬(wàn)元和Q萬(wàn)元. 它們與投入資金萬(wàn)元有如下經(jīng)驗(yàn)公式:,現(xiàn)有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品,為獲得最大利潤(rùn),對(duì)甲、乙兩種商品的資金應(yīng)如何分配投入?,建模分析 設(shè)對(duì)甲種商品投入萬(wàn)元, 則投入乙種商品為(3-)萬(wàn)元,所獲得的利潤(rùn)總額(萬(wàn)元)為,模型求解 設(shè) ,則,則原函數(shù)變形為,當(dāng) 時(shí), 即,因此,為獲取最大利潤(rùn),對(duì)甲、乙兩種商品 的資金投入應(yīng)分別為0.75萬(wàn)元和2.25萬(wàn)元, 獲得的最大利潤(rùn)為1.05萬(wàn)元.,冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型,基本處理方法,交通流量問(wèn)題,生活背景 由于人口的增加,人們生活 水平

8、的提高,社會(huì)擁有車(chē)輛的數(shù)量在快 速增加,許多大中城市都車(chē)滿(mǎn)為患,塞 車(chē)現(xiàn)象處處可見(jiàn),所以每一位司機(jī)和乘 客,都會(huì)共同關(guān)心交通流量的問(wèn)題,交通流量的定義 設(shè)某一輛車(chē)的車(chē)頭與隨后的車(chē)相隔的距離為,而行駛的車(chē)速為,定義單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為交通流量,則交通流量有以下關(guān)系式:,分析 定義車(chē)距:前車(chē)車(chē)尾至后車(chē)車(chē)頭間的距離,記為 ,L表示車(chē)長(zhǎng).則,(1)在交通擁擠的情況下, 由于 ,故,(2)在交通暢通的情況(如高速公路)下, 由于 ,故,由于 ,其中t為煞車(chē)前的反應(yīng)時(shí)間,所以,故,評(píng)價(jià) 遇上交通擁擠時(shí),影響交通流量的主要是車(chē)速與車(chē)長(zhǎng),在這種情況下,車(chē)速自然要放慢,否則只會(huì)發(fā)生意外.因此,影響最大的因素

9、就是車(chē)長(zhǎng),在馬路上排隊(duì)的短身車(chē)輛,明顯地對(duì)交通流量增加有不小的“貢獻(xiàn)”.至于在高速公路上,影響交通流量的最主要因素不是速度而是架車(chē)者的反應(yīng).,不等式模型,洗衣問(wèn)題 挑選水果問(wèn)題 足球射門(mén)問(wèn)題,洗衣問(wèn)題,用洗衣機(jī)洗衣時(shí),洗滌并甩干后進(jìn)入漂洗階段,漂洗階段由多次漂洗和甩干組成,每次漂洗后可使殘留物均勻分布,每次甩干后(包括洗滌后的甩干)衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量相同.若漂洗的總用水量為千克,漂洗并甩干的次數(shù)為3次,為使漂洗后衣物中的殘留物最少,該如何確定每次漂洗的用水量?,設(shè)每次甩干后衣物中的殘留水分(含有殘留物)的重量為,洗滌并甩干后衣物中的殘留物(不含水分)為 ,三次漂洗并甩干后衣物

10、中的殘留物(不含水分)分別為 ,三次用水量分別為 .(以上各量單位皆為千克),則由已知,得,同理可得,由 及平均值定理,得,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.,故,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.,則將千克的水平均分成三次使用可使 衣物上的殘留物最少.,挑選水果問(wèn)題,果皮較厚且核較小的水果（如西瓜、橘子等）,設(shè)水果果皮厚度為，則 可食率,為常數(shù)，當(dāng)越大即水果越大，則越小，可食率越大,果皮較厚且核（或籽集）較大的水果,設(shè)核半徑為kR(k)，則 可食率,k為常數(shù)，越大，可食率越大,設(shè)有兩堆體積相等的球，甲堆有m個(gè)，半 徑分別為；乙堆有n個(gè)（ ），半徑分別為 其中,果皮較薄，但考慮衛(wèi)生與外界污染，必須去皮食用,因,從而有

11、,即,這與 矛盾,故,不成立，于是,足球射門(mén)問(wèn)題,在 足球比賽中，甲方邊鋒從乙方所守球門(mén)附近帶球過(guò)人，沿直線向前推進(jìn)，如圖所示。已知前進(jìn)方向的直線與底線垂直，交底線于球門(mén)AB的延長(zhǎng)線上的D點(diǎn)，試求在距底線多遠(yuǎn)處射門(mén)，可有最大的入射范圍角,C,分析與解設(shè)甲方邊鋒所在位置C距底線的距離為x,即CD=x,并設(shè)DB=b,DA=a,ab0,a,b為定值, 再設(shè),C,C,數(shù)列模型,建模(或知識(shí)應(yīng)用)提示 1.要熟悉相關(guān)行業(yè)的一些基本知識(shí),專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ). 2.在解決某一問(wèn)題時(shí),必須實(shí)事求是地搜集大量的有關(guān)信息、資料、數(shù)據(jù). 3.對(duì)取得的信息、數(shù)據(jù)要進(jìn)行整理、處理.,4.進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)假設(shè). 5.數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用相

12、當(dāng)廣泛,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中如銀行的存貸款、證券、期貨、保險(xiǎn)、企業(yè)的產(chǎn)值、成本、倉(cāng)儲(chǔ);社會(huì)問(wèn)題中的人口增加、人口質(zhì)量、土地及資源的利用及配置;環(huán)境問(wèn)題中的水資源保護(hù)、空氣污染、森林覆蓋等等,都可運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決或部分解決. 6.建立起模型后,一般應(yīng)回到實(shí)際問(wèn)題中加以檢驗(yàn),如若不符,應(yīng)加以調(diào)整,直至基本符合.,如何存款問(wèn)題,中國(guó)人民銀行公布(1999年)現(xiàn)行銀行整存整取利率如表所示. 現(xiàn)有一位剛升入初一的學(xué)生家長(zhǎng),欲為其存1萬(wàn)元以供6年后上大學(xué)使用,問(wèn)采取怎樣的方案存款,可使6年所獲收益最大?最大收益多少?,分析 首先可以作出數(shù)學(xué)假設(shè):在此期間利率 不變.一般來(lái)說(shuō),對(duì)于存款,銀行只計(jì)單 利不計(jì)復(fù)利,所以是

13、等差數(shù)列.倘若某人 將定期存款到期后把本利又轉(zhuǎn)入第二 個(gè)定期,此時(shí)才可計(jì)復(fù)利.,解:設(shè)年期存次(按復(fù)利計(jì)算)獲利金 額記作 簡(jiǎn)記作 ;存一次 年期再存一次k年期獲利金額記作,于是,一年期存兩次獲利金額(精確到分)為,兩年期存一次獲利金額為,所以,存一次一年期再存一次兩年期的獲利金額為,三年期存一次獲利金額為,所以,存一次兩年期再存一次三年期的獲利金額,五年期存一次的獲利金額為,所以,三年期存兩次的獲利金額為,兩年期存三次的獲利金額為,存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為,所以 且,故存一次五年期一次一年期所獲收益最大,為1697.40元,分期付款問(wèn)題,李師傅準(zhǔn)備購(gòu)置一套商品房,需要向 銀行貸

14、款8萬(wàn)元才行.經(jīng)咨詢(xún)知道銀行 貸款月利為0.01且為復(fù)利,貸款期為 25年.李師傅每月穩(wěn)定可有950元的 結(jié)余,如果他準(zhǔn)備按月償還貸款,是否 具有償還能力?,解設(shè)貸款A(yù)元,按月復(fù)利r計(jì)算,到 n月末的本利和為 元.另一 方面,若每月償還金為a元,利息同 上,則n月末的本利合計(jì)為,三角模型,建模或知識(shí)應(yīng)用提示 1.凡與周期性振動(dòng)有關(guān)或類(lèi)似的問(wèn)題,如水流、水波、聲波、爆炸物爆炸后引起的振動(dòng)等等,適宜建立三角函數(shù)模型. 2.一些與角有關(guān)的問(wèn)題如視角、方位角,以及與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題也可以建立三角函數(shù)模型.,3.對(duì)于周期性變化的問(wèn)題,要認(rèn)真、準(zhǔn)確、真實(shí)地收集數(shù)據(jù),要從不同渠道、不同角度去取得數(shù)據(jù). 4.認(rèn)

15、真處理收集到的數(shù)據(jù),結(jié)合合理的數(shù)學(xué)假設(shè),最終確定有效數(shù)據(jù). 5.可以擬定幾個(gè)不同的方案建立數(shù)學(xué)模型,然后利用已有數(shù)據(jù)或付之實(shí)踐加以檢驗(yàn),通過(guò)對(duì)比誤差或經(jīng)過(guò)若干次適當(dāng)調(diào)整后,確定最后方案.,怎樣搬運(yùn)家具,一轉(zhuǎn)角沙發(fā)能否水平般進(jìn)房間? 房門(mén)的寬為0.9米,墻厚0.28米,將轉(zhuǎn)角沙 發(fā)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化,其俯視圖及尺寸如圖所示,1.3米,0.48米,1.3米,0.48米,幾何模型,建模(或知識(shí)應(yīng)用)提示 1.分割不規(guī)則的或非常復(fù)雜的幾何體,進(jìn)行簡(jiǎn)化與假設(shè). 2.進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象. 3.同一幾何問(wèn)題可以從不同角度加以研究. 4.善于歸類(lèi). 5.幾何問(wèn)題一般可分為兩類(lèi). (1)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立幾何模型. (2)其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決幾何問(wèn)題.,設(shè)計(jì)穿衣鏡,背景近年來(lái),一座座大商場(chǎng)相繼出現(xiàn),有些商場(chǎng)只重視外部裝潢而忽視了一些細(xì)小而又方便顧客的地方.比如試衣間的鏡子就應(yīng)既能使試衣者全面看到自己的形象,又要設(shè)計(jì)美觀新穎,并且節(jié)省材料.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最合理的試衣鏡.,距地面最高點(diǎn),所謂最高點(diǎn)即指眼睛通過(guò)鏡子看到頭頂?shù)奈恢?。一般人，眼睛到頭頂、到腳的距離與身高之比為1：13：14。因此若計(jì)算最高點(diǎn)，應(yīng)用185cm身高去計(jì)算,距地面最低點(diǎn),寬度,例:如圖,森林的邊界是直線l,兔子和狼分別在l的垂線AC上的點(diǎn)A和點(diǎn)B處(AB=BC=a).現(xiàn)兔子