1、一、概念,Def. 1. 設(shè)X,Y 為(, ,)概率空間中的兩個(gè)實(shí)隨機(jī)變量,則稱Z=X+iY 復(fù)隨機(jī)變量, i2=-1.,二維r.v. (X, Y) , 有如下性質(zhì)：,獨(dú)立 Z1, Z2 獨(dú)立,(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2為復(fù)隨機(jī)變量,則(X1,Y1) 與(X2,Y2), 4.5 特征函數(shù),(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2為復(fù)隨機(jī)變量,則E Z1 Z2=EZ1 E Z2,Def. 2. 設(shè)X為為(, ,)概率空間中的實(shí)隨機(jī)變量,其特,征函數(shù)(c.d.f.)定義為,Remark1: Euler公式為,Remark2: 特征函數(shù)是關(guān)于實(shí)變量t的復(fù)值函數(shù),由于,所

2、以特征函數(shù)對(duì)一切實(shí),數(shù)t 均有意義.,Remark3: 特征函數(shù)只與分布有關(guān),因此亦稱為某分布的特征函數(shù),若離散型隨機(jī)變量X的分布律為,則其特征函數(shù)為,若連續(xù)型隨機(jī)變量X的p.d.f.為,則其特征函數(shù)為,重要分布的特征函數(shù):,EX1 退化分布I(x-c)的特征函數(shù),EX2 0-1分布B（1，p)的特征函數(shù),EX3 二項(xiàng)分布B（n，p)的特征函數(shù),EX4 均勻分布U（a,b)的特征函數(shù),二、性質(zhì),(1),為復(fù)數(shù)，則有,注：上述三條性質(zhì)為特征函數(shù)的特征性質(zhì)，,滿足這三條性質(zhì)，則其必為特征函數(shù)。,(3),先取定a,使,從而,的特征函數(shù)為,若X，Y 獨(dú)立，則,則,三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理,則,證明:根

3、據(jù)Dirichlet積分：,定理1（逆轉(zhuǎn)公式）設(shè)分布函數(shù)(x)的特征函數(shù)為,由Fubini定理交換積分次數(shù)得到,因此由勒貝格控制收斂定理并利用引理可得,定理2（唯一性定理）分布函數(shù)由特征函數(shù)唯一確定,證明：應(yīng)用逆轉(zhuǎn)公式，在F(x)的每一連續(xù)點(diǎn)上，當(dāng)y,而分布函數(shù)由其連續(xù)點(diǎn)上的值唯一確定，定理2得證。,由唯一性定理可知，特征函數(shù)唯一確定分布，因而特征函數(shù)也完整地描述了隨機(jī)變量，特別當(dāng)p(x)絕對(duì)可積時(shí)，有以下更強(qiáng)結(jié)果。,定理3（Fourier逆變換）若,則相應(yīng)的分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，且有,因此,由于,因此由控制收斂定理知：,四、分布函數(shù)的再生性,許多重要的分布函數(shù)具有一個(gè)有趣的性質(zhì)再

4、生,性。這個(gè)性質(zhì)用特征函數(shù)來研究最方便，下面通過幾個(gè),例子來說明。,所以,證明：,由唯一性定理知,證明：,所以,且獨(dú)立，則,EX6,證明：,所以,五、多元特征函數(shù),若隨機(jī)向量,的分布函數(shù)為,則它的特征函數(shù)定義為,通常記,則上式表示為,類似地有下列若干性質(zhì),的特征函數(shù)為,為：,的特征函數(shù),的特征函數(shù)為,滿足：,（9）（連續(xù)性定理）若特征函數(shù)序列,是某分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。,多元正態(tài)分布,一、密度函數(shù)與特征函數(shù),其二階中心矩定義為,則X 的數(shù)學(xué)期望定義為,的方差，協(xié)方差有下列性質(zhì)：,由上述定義可以看出：協(xié)方差陣的對(duì)角元素為,Proof:,（1）顯然,（2）,Proof,則,令,Proof:,令,Pf:,不相關(guān).,Th2、若,相互獨(dú)立，則根據(jù)獨(dú)立性,由特征函數(shù)的性質(zhì)知：,相互獨(dú)立。,Proof:,即正態(tài)分布的線性組合仍服從正態(tài)分布,（柯赫倫定理）,分布函數(shù)的其他特征數(shù),2、變異系數(shù),方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度，,但是比較兩個(gè)R.V波動(dòng)大小時(shí)，僅看方差大小有時(shí)會(huì)產(chǎn),值有量綱；不同量綱的隨機(jī)變量用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）,比較波動(dòng)大小，不太合理。（