1、一平行線等分線段定理,1.平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等. 名師點撥對平行線等分線段定理的理解 (1)符號表示:已知abc,直線m,n分別與a,b,c交于點A,B,C和A,B,C,如果AB=BC,那么AB=BC. (2)圖形表示:在定理中,直線m,n可以平行,也可以相交,且它們的交點可以在平行直線之外,也可以在平行直線之內,還可以在其中的某條直線上,因此圖形可有以下幾種情況.,(3)平行線等分線段定理的逆命題是:如果一組直線截另一組直線成相等的線段,那么這組直線平行.可以證明這一命題是錯誤的.(如圖),【做一做1】 如圖,已知ab

2、c,直線AB分別與a,b,c交于點A,E,B,直線CD分別與a,b,c交于點C,E,D.若AE=EB,則() A.AE=CEB.BE=DE C.CE=DED.CEDE 解析:由平行線等分線段定理可直接得到答案. 答案:C,2.推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊. 名師點撥對推論1的理解 (1)符號表示:在ABC中,D為AB的中點,過點D作DEBC,交AC于點E,則點E平分AC. (2)圖形表示: (3)三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.,3.推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線平分另一腰. 名師點撥對推論2的理解 (1)符號

3、表示:在梯形ABCD中,ADBC,E為AB的中點,過點E作EFBC,交CD于點F,則點F平分CD. (2)圖形表示: (3)梯形的中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.,【做一做2】 如圖,已知ADEFBC,E是AB的中點,則DG=,H是的中點,F是的中點.,解析:由平行線等分線段定理、推論1和2及AE=EB可得答案,故填BG或 BD,AC,CD. 答案:BG或 BDACCD,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”. (1)如果一組直線在兩條直線上截得的線段相等,那么這組直線一定平行. () (2)如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,

4、那么在其他直線上截得的線段也相等. () (3)三角形的三條中位線長度的和等于該三角形周長的一半. () (4)梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底差的一半. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,當堂檢測,作已知線段的等分點 【例1】 已知線段AB,求作線段AB的六等分點,并予以證明. 分析:根據(jù)平行線等分線段定理,只要作射線AM,在AM上以任意取定的長度順次截取6條相等線段,分別設為AA1,A1A2,A2A3,A3A4, A4A5,A5A6,連接端點A6與點B,過其他端點作BA6的平行線,分別交AB于C,D,E,F,G,則線段AB就被這些平行線分成六等份了.,探究一

5、,探究二,探究三,當堂檢測,解:(1)任作射線AM(與AB不在同一直線上); (2)在射線AM上順次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6; (3)連接A6B,分別過點A1,A2,A3,A4,A5作A6B的平行線A1C,A2D,A3E,A4F,A5G,分別交AB于點C,D,E,F,G,則C,D,E,F,G就是所求作的線段AB的六等分點,如圖. 證明如下:因為A1CA2DA3EA4FA5GA6B, 又AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6, 所以由平行線等分線段定理可得AC=CD=DE=EF=FG=GB,即C,D,E,F,G就是線段AB的六等分點.,探究一

6、,探究二,探究三,當堂檢測,反思感悟將已知線段AB分成n等份的步驟 1.作射線AC(與AB不共線); 2.在射線AC上以任意取定的長度順次截取AD1=D1D2=D2D3=Dn-1Dn; 3.連接DnB; 4.分別過點D1,D2,D3,Dn-2,Dn-1作DnB的平行線,分別交AB于點A1,A2,An-2,An-1,則點A1,A2,An-2,An-1將線段AB分成n等份.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,變式訓練1已知線段AB,在線段AB上求作一點P,使AP= AB.,解:如圖,作法步驟如下: (1)過點A任作射線AM(與AB不共線); (2)在AM上以任意長度順次截取AE=EF=FG; (3

7、)連接GB,過E,F分別作EPGB,FQGB,分別交AB于點P,Q,則點P為所求的點.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,證明線段相等 【例2】如圖,在ABC中,D是AB的中點,E是BC的三等分點(BECE),AE與CD交于點F.求證:DF=FC. 分析:過點D作DGAE交BC于G,利用平行線等分線段定理證明. 證明:過點D作DGAE交BC于點G.在ABE中,因為AD=BD, DGAE,所以BG=GE. 又因為E是BC的三等分點,所以BG=GE=EC. 在CDG中,因為GE=CE,DGEF, 所以DF=FC.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,反思感悟證明線段相等的基本方法 1.證明在同一條直

8、線上的兩條線段相等的關鍵是找出平行線等分線段定理的基本條件,找準被一組平行線截得的線段. 2.證明不在同一條直線上的兩條線段相等,可以根據(jù)等腰三角形的兩腰相等或者根據(jù)全等三角形的對應邊相等來證明. 3.在幾何證明中添加輔助線的常見方法:(1)在三角形中,利用角平分線可構造全等三角形或相似三角形;(2)在三角形或梯形中,若已知一邊或一腰的中點,則過中點可作平行于底邊的輔助線.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,變式訓練2如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分線, DEAB.求證:AE=EC=DE. 證明:因為AB=AC,AD是ABC的角平分線,所以D為BC的中點. 因為DEAB,所以由

9、平行線等分線段定理的推論1知,E為AC的中點,于是AE=EC,且DE= AB. 又因為AB=AC, 所以DE= AC=AE,故AE=EC=DE.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,求線段的長度 【例3】如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,OEAB交BC于點E,AD=6.求BE的長. 分析:因為OEAB,OA=OC,根據(jù)平行線等分線段定理的推論1,得出E是BC的中點,解:因為四邊形ABCD是平行四邊形, 所以OA=OC,BC=AD.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,反思感悟求線段的長度時,一般是根據(jù)平行線等分線段定理及其推論,找到相等的線段,或線段之間的倍數(shù)關系,結合已知

10、線段的長度求出未知線段的長度.,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,變式訓練3如圖,已知ABCDEF,AF,BE相交于點O. 若AO=OD=DF,BE=10 cm,則OB的長為 (),解析:因為CDEF,OD=DF, 所以C為OE的中點, 因此OC=CE. 因為ABCD,AO=OD, 所以O為BC的中點,故BO=OC,答案:A,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,1.下列用平行線等分線段的圖形中,錯誤的是(),解析:由平行線等分線段定理可知,C項錯誤. 答案:C,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,2.如圖,在梯形ABCD中,ADBC,AD+BC=10 cm,E為AB的中點,點F在DC上,且EFAD

11、,則EF的長為() A.5 cmB.10 cm C.20 cmD.不確定 解析:由推論2知,EF是梯形ABCD的中位線, 則EF= (AD+BC)= 10=5(cm). 答案:A,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,3.如圖,若abc,則下列結論錯誤的是() A.由AB=BC,得FG=GH B.由AB=BC,得OB=OG C.由CE=2CD,得CA=2BC D.由GH= FH,得CD=DE 解析:由于OB,OG不是一條直線被一組平行線截得的線段,因此不一定有OB=OG,即B項錯誤. 答案:B,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,4.如圖,已知abc,直線m,n分別與直線a,b,c交于點A,B,C和點A,B,C.若AB=BC=1,AB=3,則BC=. 解析:由平行線等分線段定理可知AB=BC. 因為AB=3,所以BC=3. 答案:3,探究一,探究二,探究三,當堂檢測,5.如圖,在平行四邊形ABCD中,設E和F分別是邊BC和AD的中點,BF和DE分別交A