1、,第二章函數與基本初等函數,第9課二次函數、冪函數,課 前 熱 身,1. (必修1P54測試7改編)函數f(x)x22x3，x0,2的值域為_ 【解析】由f(x)(x1)24，知f(x)在0,2上單調遞增，所以f(x)的值域是3,5,激活思維,3,5,2. (必修1P47習題9改編)若函數yx2(a2)x3，xa，b的圖象關于直線x1對稱，則b_.,6,R,5. (必修1P73練習3改編)已知冪函數y(m25m7)xm26在(0，)上單調遞增，那么實數m_.,3,1. 二次函數的三種表示方法： (1) 一般式：_； (2) 兩點式：_； (3) 頂點式：_ 2. 二次函數f(x)ax2bxc(

2、a0)圖象的_是處理二次函數問題的重要依據,知識梳理,yax2bxc(a0),ya(xx1)(xx2)(a0),ya(xx0)2n(a0),對稱軸、頂點坐標、開口方向,3. 一元二次方程根的分布問題 二次函數對應的一元二次方程的實數根的分布問題是一個比較復雜的問題，給定一元二次方程f(x)ax2bxc0(a0) (1) 若f(x)0在(m，n)(mn)內有且只有一個實數根，則需滿足_,f(m)f(n)0或f(m)0，另一根在(m，n)內或f(n)0，另一根在 (m，n)內,(2) 若f(x)0在(m，n)(mn)內有兩個實數根，則需滿足 _ (3) 設x1，x2為方程f(x)0的兩個實數根，若

3、x1mx2，則f(m)0；若mx1npx2q，則需滿足 _,(4) 若方程f(x)0的兩個實數根中一根小于m，另一根大于n(mn)，則需滿足_ (5) 若一元二次方程f(x)0的兩個實數根都大于r，則需滿足 _,(1) 冪函數在_上都有定義； (2) 冪函數的圖象都過點_； (3) 當0時，冪函數的圖象都過點_與_，且在(0，)上單調_； (4) 當0時，冪函數的圖象都_點(0,0)，且在(0，)上單調_,(0，),(1,1),(0,0),(1,1),遞增,不過,遞減,5. 五種冪函數的比較 (1) 圖象比較：,(2) 性質比較：,0，),x|x0,0，),0，),y|y0,奇函數,偶函數,奇

4、函數,非奇非,偶函數,奇函數,增,遞增,遞減,增,增,遞減,遞減,(1,1),課 堂 導 學,求下列冪函數的定義域，并指出其奇偶性、單調性,冪函數的圖象與性質,例 1,【思維引導】求冪函數的定義域，首先將分數指數冪寫成根式，再確定定義域；判斷函數奇偶性、單調性的方法，一般用定義法,【精要點評】熟練進行分數指數冪與根式的互化，是研究冪函數性質的基礎在函數解析式中含有分數指數冪時，可以把它們的解析式化成根式，根據“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數的定義域；當函數解析式的冪指數為負數時，根據負指數冪的意義將其轉化為分式形式，根據分式的分母不能為0這一限制條件來求出對應函數的定義域，求函數的定義

5、域的本質是解不等式或不等式組,變 式,【精要點評】冪函數yx的圖象與性質由于的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：(1) 的正負：0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；1時，曲線下凹；01時，曲線上凸；0時，曲線下凹,已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)2x的解集為(1,3) (1) 若方程f(x)6a0有兩個相等的實數根，求函數f(x)的解析式； (2) 若f(x)的最大值為正數，求實數a的取值范圍 【思維引導】由不等式f(x)2x的解集為(1,3)，可先把f(x)表示出來，再利用方程f(x)6a0有兩個相等的實數根，求出a，從而求出f(x)的解析式，最后把

6、其最大值表示出來，求a的取值范圍,求二次函數的解析式,例 2,【解答】(1) 因為f(x)2x0的解集為(1,3)，所以f(x)2xa(x1)(x3)，且a0. 于是f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a. 由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0. 因為方程有兩個相等的實數根， 所以(24a)24a9a0，,【精要點評】二次函數、一元二次不等式和一元二次方程之間具有非常密切的關系：一元二次不等式的解集的端點就是其對應的一元二次方程的根，也就是二次函數與x軸的交點因而在解題時要充分利用它們之間的關系,(2015栟茶中學)已知二次函數f(x)ax2bxc圖象的頂點為(1,1

7、0)，且方程ax2bxc0的兩根的平方和為12，求二次函數f(x)的解析式,變 式,(1) 求函數yx22x5在區(qū)間1,2上的最大值和最小值； (2) 已知函數f(x)x2ax3在區(qū)間1,1上的最小值m為3，求實數a的值； (3) 已知函數f(x)x2ax3a，若x2,2時，f(x)0恒成立，求實數a的取值范圍,二次函數的圖象和性質最值詳見P39微探究3,例 3,【解答】(1) yf(x)x22x5(x1)24， 因為11,2，所以yminf(1)4. 又因為f(1)8，f(2)5，所以ymaxf(1)8. 故函數yx22x5在區(qū)間1,2上的最小值為4，最大值為8.,【精要點評】求二次函數在閉

8、區(qū)間上的最值的方法：一看開口方向；二看對稱軸與區(qū)間的相對位置，簡稱“兩看法”只需作出二次函數相關部分的簡圖，利用數形結合法就可以得到問題的解運用這個方法，同樣可以解決對稱軸確定而區(qū)間變化的問題，甚至開口方向、對稱軸、區(qū)間同時都在變化的問題若開口向上，當對稱軸在給定區(qū)間的左側時，它是增函數，它的最值點在區(qū)間的兩個端點處取得；當對稱軸在給定區(qū)間的右側時，它是減函數，它的最值點在區(qū)間的兩個端點處取得；當對稱軸在給定區(qū)間內時，在對稱軸處取得一個最值，在離對稱軸較遠處取得另一最值二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，只有反復地訓練，才能真正掌握利用簡單原理解決復雜問題的本領,(2016皖北模擬)已知函數f(x)

9、x22ax1a在區(qū)間0,1上的最大值為2，求實數a的值,變 式,當a1時，函數f(x)x22ax1a在區(qū)間0,1是增函數， 所以f(x)maxf(1)12a1a2， 所以a2. 綜上，a1或a2.,設a為實數，函數f(x)x2|xa|1，xR，求f(x)的最小值,備用例題,此時f(x)的最小值為f(a)a21；,課 堂 評 價,1. 若二次函數yax2bxc的圖象與x軸交于A(2,0)，B(4,0)兩點，且函數的最大值為9，則這個二次函數的表達式是_ 【解析】由題意設二次函數表達式為ya(x2)(x4)(a0)，對稱軸為直線x1，當x1時，ymax9a9，所以a1，所以y(x2)(x4)x22

10、x8.,yx22x8,2. 若二次函數f(x)ax22ax1在3,2上的最大值為4，則實數a的值為_,(，1)(1，),4. 已知aR，函數f(x)x22ax5. (1) 若不等式f(x)0對任意的x(0，)恒成立，求實數a的取值范圍； (2) 若a1，且函數f(x)的定義域和值域均為1，a，求實數a的值,(2) 因為f(x)x22ax5的圖象的對稱軸為xa(a1)， 所以f(x)在1，a上為減函數，所以f(x)的值域為f(a)，f(1) 又因為f(x)的值域為1，a，,微探究3二次函數的圖象和性質(最值) 問題提出 二次函數的圖象與性質的重要應用是求函數的最值，那么利用二次函數的性質求函數的

11、最大(小)值的解題模板是怎樣的呢？, 典型示例 函數f(x)2x22ax3在區(qū)間1,1上的最小值記為g(a) (1) 求g(a)的函數解析式； (2) 求g(a)的最大值,【思維導圖】,(2) 當a2時，由(1)知g(a)1. 綜合可得g(a)max3.,【精要點評】(1) 利用二次函數的性質求函數的最大(小)值，一定要結合圖形來分析在何處取得最值，當題目中含有參數時，要根據對稱軸與區(qū)間的位置關系分類討論；(2) 利用圖象求函數的最大(小)值；(3) 利用函數單調性判斷函數的最大(小)值：如果函數yf(x)在區(qū)間a，b上單調遞增，在區(qū)間b，c上單調遞減，則函數yf(x)在xb處有最大值f(b)

12、；如果函數yf(x)在區(qū)間a，b上單調遞減，在區(qū)間b，c上單調遞增，則函數yf(x)在xb處有最小值f(b), 總結歸納 二次函數在某區(qū)間上的最值(或值域)的求法要熟練掌握，特別是含參數的兩類問題(定軸動區(qū)間、定區(qū)間動軸)的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中點，一軸指的是對稱軸, 題組強化 1. 函數y32xx2(0 x3)的最小值為_ 【解析】因為y32xx2(x1)24，所以函數在0,1上單調遞增，在1,3上單調遞減，所以y32xx2(0 x3)的最小值為y323320.,0,2. 已知函數f(x)x2(2a1)x3，若函數f(x)在1,3上的最大值為1，則實數a_.,3. 已知函數f(x)x24x4在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值為g(t) (1) 求g(t)的解析式；