1、,上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.,但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的，我們還想知道隨機變量取值偏離平均值的程度。,方差,為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其均值附近的離散程度.,例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果X用坐標上的點表示如圖：,若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？,測量結果的均值都是 a,因為乙儀器的測量結果集中在均值附近,又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：,你認為哪門炮射擊效果好一些呢?,甲炮

2、射擊結果,乙炮射擊結果,因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 .,方差定義,由于標準差與X 具有相同的度量單位，在實際問題中經常使用。通常期望用希臘字母表示，標準差用表示。,方差的算術平方根 稱為標準差,定義：設 X 是一個隨機變量，若 EX-E(X)2 存在，則稱,D(X)=EX-E(X)2,為隨機變量X 的方差.,(2)若X 的取值比較分散，則方差較大 .,(3)若方差D(X)=0,則隨機變量 X 以概率1取常數(shù)值。,方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學期望的離散程度 .,(1)若X 的取值比較集中，則方差較??；,D(X)=EX-E(X)2,方差的計算公式,(1)定義式：,(2)常用式：,事實上

3、：,例題1：已知二維離散型隨機變量的X，Y分布律為,求 X、Y 的方差。,解：顯然要先求出邊緣分布律。,從而：,例題2：設隨機變量X的分布函數(shù)為：,求D(X),D(F(X)。,解：y=F(x)是一個連續(xù)函數(shù)，故X是連續(xù)型隨機變量，求導可得概率密度函數(shù)：,從而 XU(0,4),事實上這個題好象可以推廣!請同學們自行考慮!,方差的性質,(1) 常數(shù)的方差為0即 D(C)=0。,事實上：,(2) 常數(shù)乘隨機變量的方差：,(3) 隨機變量線性函數(shù)的方差：,方差的性質,(4) 獨立隨機變量和的方差：,(5) 方差為0的充要條件是隨機變量以概率1取常數(shù)。,例題3：求二項分布的數(shù)學期望與方差。,解：根據n重貝努里模型，X表示在n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為A發(fā)生的概率。,令 Xi=第i次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)=0,1 i=1,2,n，則每個 Xi服從 0-1分布。,由于各個試驗是獨立的，故n個隨機變量 Xi (i=1,2,n)也是相互獨立的，從而有,例題4：求正態(tài)分布的數(shù)學期望與方差。,解：先將隨機變量X標準化即令,常見分布的數(shù)學期望與方差,(1)（0-1）分布,事實上：,(2)二項分布：,