1、推理與證明,推理,證明,第二章 推理與證明,2.1.1合情推理,已知的判斷,新的判斷,根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就叫推理.,10 37 20 317 30 1317,數學皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想的過程：,歸納推理的過程：,由某類事物的 具有某些特征, 推出該類事物的 都具有這些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).,部分對象,全部對象,個別事實,一般結論,歸納推理,佛教百喻經中有這樣一則故事。 從前有一位富翁想吃芒果,打發(fā)他的仆人到果園去買,并告訴他:要甜的,好吃的,你才買.仆人拿好錢就去了.到了果園,園主說:我這里樹上的芒

2、果個個都是甜的,你嘗一個看.仆人說:我嘗一個怎能知道全體呢 我應當個個都嘗過,嘗一個買一個,這樣最可靠.仆人于是自己動手摘芒果,摘一個嘗一口,甜的就都買回去.帶回家去,富翁見了,覺得非常惡心,一齊都扔了.,第一個芒果是甜的,第二個芒果是甜的,第三個芒果是甜的,這個果園的芒果都是甜的,銅能導電 鋁能導電 金能導電 銀能導電,三角形內角和 為 凸四邊形內角 和為 凸五邊形內角 和為,第一個芒果是甜的 第二個芒果是甜的 第三個芒果是甜的,第一個數為2 第二個數為4 第三個數為6 第四個數為8,部分 個別,整 體 一 般,1，3，5，7，由此你猜想出第 個數是_.,這就是從部分到整體,從個別到一般的歸

3、納推理.,你想起來了嗎？,觀察下圖,可以發(fā)現,1+3+(2n1)=n2,1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ,例1.已知數列 的第一項 =1, 且 ( 1，2，3，)， 請歸納出這個數列的通項公式為_.,讓我們一起來歸納推理,練習： 1.已知數列 的第一項 =1, 且 ( n2 )， 請歸納出這個數列的通項公式為_.,例2.如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上. (1)每次只能移動1個金屬片； (2)較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面； 試推測：把n個金屬片從1號針

4、移到3號針，最少需要移動多少次？,1,2,3,讓我們一起來歸納推理,1,2,3,第1個圓環(huán)從1到3.,設 為把 個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數，則,1時，,1,2時，,1,2,3,前1個圓環(huán)從1到2; 第2個圓環(huán)從1到3; 第1個圓環(huán)從2到3.,3,第1個圓環(huán)從1到3.,設 為把 個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數，則,1時，,1,n3時，,前2個圓環(huán)從1到2; 第3個圓環(huán)從1到3; 前2個圓環(huán)從2到3.,7,2時，,前1個圓環(huán)從1到2; 第2個圓環(huán)從1到3; 第1個圓環(huán)從2到3.,3,第1個圓環(huán)從1到3.,設 為把 個圓環(huán)從1號針移到3號針的最少次數，則,1時，,1,1,2,3,猜想 a

5、n=,2n -1,練習3.(05年廣東)設平面內有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數.,當n 3 時, f(n)= .(用n表示),讓我們一起來歸納推理,任何形如 的數都是質數這就是著名的費馬猜想,觀察到都是質數,進而猜想:,費馬,半個世紀后,宣布了費馬的這個猜想不成立,它不能作為一個求質數的公式.以后,人們又陸續(xù)發(fā)現 不是質數.至今這樣的反例共找到了46個,卻還沒有找到第6個正面的例子,也就是說目前只有n=0,1,2,3,4這5個情況下,Fn才是質數.,一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠。 “合

6、情推理是冒險的，有爭議的和暫時的?！?波利亞,歸納推理的基礎,歸納推理的作用,歸納推理,觀察、分析,發(fā)現新事實、獲得新結論,由部分到整體、 個別到一般的推理,注意,歸納推理的結論不一定成立,作業(yè)：P84 3T.4T,一年夏天，魯班上山砍樹，因為坡陡路滑，而且橫七豎八地長滿了小樹、雜草，行走非常不便。魯班只好攙著樹木、拽著茅草往上爬。忽然，腳底一滑，身體便順著山坡往下滾去，魯班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于沒有抓牢，反而感到手掌心疼痛無比?；缴侥_，魯班狼狽地爬了起來，伸開手掌一看，掌心已是鮮血淋漓。魯班非常驚奇，為何一把茅草能夠劃破人的手掌。魯班顧不得疼痛，沿著滑下來的山坡，爬上去一看，這叢

7、茅草與別的草沒有兩樣。魯班不甘心，便揪下一根茅草仔細地觀察起來。這茅草的葉子很怪，葉子兩邊都長著鋒利的小細齒，人手握緊它一拽，手掌就會被劃破。魯班又試著用茅草在他的手指上拉了一下，果然又劃開一道血口。 魯班從這件事中得到啟發(fā)，心想：如果仿照茅草細齒，來做一件邊緣帶有細齒的工具，用它來鋸樹，豈不比斧砍更快、更好嗎？魯班忘記疼痛，轉身下山，做起試驗來。在金屬工匠的幫助下，魯班做了一把帶有許多細齒的鐵條。魯班將這件工具拿去鋸樹，果然又快又省力。鋸子就這樣發(fā)明了。,可能有生命存在,有生命存在,溫度適合生物的生存,一年中有四季的變更,有大氣層,行星、圍繞太陽運行、繞軸自轉,火星,地球,火星上是否存在生命

8、,火星與地球類比的思維過程：,火星,地球,存在類似特征,由兩類對象具有某些類似特征和其中 一類對象的某些已知特征,推出另一類對 象也具有這些特征的推理稱為類比推理.,類比推理,簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理,類比推理的幾個特點;,1.類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識為基礎,類比出新的結果.,2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性.,3.類比的結果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發(fā)現的功能.,我們已經學習過“等差數列”與“等比數列”.,你是否想過“等和數列”、“等積數列” ？,從第二項起，每一項與其前一項的差等于一個常數的數列是等差

9、數列.,從第二項起，每一項與其前一項的和等于一個常數的數列是等和數列.,例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。,等式的性質： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性質：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,讓我們一起來類比推理,類比推理的結論不一定成立.,例2：類比平面內直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想,s1,s2,s3,c2=a2+b2,讓我們一起來類比推理,總結：1.進行類比推理的步驟：,(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；,(2)用一類對象

10、的已知特征去猜測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；,(3)檢驗這個猜想.,2、類比推理的一般模式:,所以B類事物可能具有性質d.,A類事物具有性質a,b,c,d,B類事物具有性質a,b,c,(a,b,c與a,b,c相似或相同）,觀察、比較,聯想、類推,猜想新結論,1.如圖，在平行四邊形 中，有 那么，在平行六面體 中，有,練習：,運用類比法的關鍵是：尋找一個合適的類比對象,類比推理,類比推理,以舊的知識為基礎,推測新的結果，具有發(fā)現的功能,由特殊到特殊的推理,類比推理的結論不一定成立,注意,類比推理,由特殊到特殊的推理;,以舊的知識為基礎,推測新的結果；,結論不一定成立.,歸納推理,由部分到整體、特殊到一般的推理;,以觀察分析為