1、1.2 矩形的性質(zhì)與判定,第一章 特殊平行四邊形,第3課時(shí) 矩形的性質(zhì)、判定與其他知識(shí)的綜合,1回顧矩形的性質(zhì)及判定方法 2矩形的性質(zhì)和判定方法與其他有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用. (難點(diǎn)),學(xué)習(xí)目標(biāo),問(wèn)題1: 矩形有哪些性質(zhì)？,是軸對(duì)稱圖形; 四個(gè)角都是直角; 對(duì)角線相等且平分.,導(dǎo)入新課,定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形 有一組鄰邊相等的矩形 有一個(gè)角是直角的菱形,問(wèn)題2: 矩形有判定方法有哪些？,例1：如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AEBD，垂足為E，ED=3BE，求AE的長(zhǎng).,分析：由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易證得OAB是

2、等邊三角形，繼而求得BAE的度數(shù)，由OAB是等邊三角形，求出ADE的度數(shù)，又由AD=6，即可求得AE的長(zhǎng).,典例精析,講授新課,解：四邊形ABCD是矩形， OB=OD，OA=OC，AC=BD， OA=OB， BE：ED=1：3， BE：OB=1：2， AEBD， AB=OA，OA=AB=OB， 即OAB是等邊三角形， ABD=60，ADE=90-ABD=30， AE= AD=3.,【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30角的直角三角形的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.,例2：已知：如圖，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的一條角平分線，AN是ABC外角CA

3、M的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E （1）求證：四邊形ADCE為矩形； （2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷 四邊形ABDE的形狀，并證明； （3）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.,（1）證明：在ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線， ADBC，BAD=CAD， ADC=90， AN為ABC的外角CAM的平分線， MAN=CAN， DAE=90， CEAN， AEC=90， 四邊形ADCE為矩形；,（1）求證：四邊形ADCE為矩形；,分析：由在ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得ADBC，BAD=CAD，又由AN為ABC的外角CAM的平分線，可得DAE=90，又由C

4、EAN，即可證得：四邊形ADCE為矩形；,解：四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下： 由（1）知，四邊形ADCE為矩形， 則AE=CD，AC=DE 又AB=AC，BD=CD， AB=DE，AE=BD， 四邊形ABDE是平行四邊形；,（2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷四邊形ABDE的形狀， 并證明；,分析：利用（1）中矩形的對(duì)角線相等推知：AC=DE；結(jié)合已知條件可以推知ABDE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形；,解：DFAB，DF= AB理由如下： 四邊形ADCE為矩形， AF=CF， BD=CD， DF是ABC的中位線， DFAB，DF= AB,（3）線段DF與AB有怎樣

5、的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.,分析：由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線，即可得DF是ABC的中位線，則可得DFAB，DF= AB.,【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三線合一以及三角形中位線的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.,例3：如圖，在ABC中, AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD , EC. （1）求證：ADCECD; （2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.,證明：（1）ABC是等腰三角形, B=ACB. 又四邊形ABDE是平行四邊形, B=EDC,AB=DE, ACB=EDC, ADCECD

6、.,(2)AB=AC,BD=CD, ADBC,ADC=90. 四邊形ABDE是平行四邊形, AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, 四邊形ADCE是平行四邊形. 而ADC=90, 四邊形ADCE是矩形.,例4：如圖所示，在ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AFBD.連接BF. (1)BD與DC有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由,解：(1)BDCD.理由如下： AFBC， AFEDCE. E是AD的中點(diǎn)， AEDE. 在AEF和DEC中， AEFDEC(AAS)， AFDC. A

7、FBD， BDDC；,分析：根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出AFEDCE，然后利用“AAS”證明AEF和DEC全等，根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”可得AFCD，再利用等量代換即可得BDCD；,(2)當(dāng)ABC滿足ABAC時(shí)，四邊形AFBD是矩形理由如下： AFBD，AFBD， 四邊形AFBD是平行四邊形 ABAC，BDDC， ADB90. 四邊形AFBD是矩形,【方法總結(jié)】本題綜合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵,分析：先利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”可知

8、ADB90.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知ABC滿足的條件必須是ABAC.,例5：如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N. (1)求證：CMCN； (2)若CMN的面積與CDN的面積比 為31，求 的值,典例精析,(1)求證：CMCN；,解：四邊形ABCD是矩形， ADBC， ANMCMN， 由折疊知CNMANM， CNMCMN， CNCM,(2)若CMN的面積與CDN的面積比為31，求 的值,解：ADBC，SCMNSCDN31，CMDN31， 設(shè)DNx，則CM3x， 過(guò)點(diǎn)N作NKBC于點(diǎn)K， DCBC，NKDC， 又A

9、DBC，CKDNx，MK2x， 由(1)知CNCM3x， NK2CN2CK2(3x)2x28x2，,當(dāng)堂練習(xí),1.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關(guān)系是( ) AS1S2BS1S2 CS1S2 D3S12S2,B,2如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，AHBC于點(diǎn)H，連接EH，若DF10 cm，則EH等于() A8 cmB10 cmC16 cmD24 cm,B,3.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AE平分BAD交BC于點(diǎn)E，若CAE15，則BOE_度,75,4如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC4，點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，如果OAB30，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ,5.如圖，點(diǎn)D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CNAB，DN交AC于點(diǎn)M，MAMC. (1)求證：CDAN； (2)若AMD2MCD， 求證：四邊形ADCN是矩形,證明：(1)證AMDCMN得ADCN， 又ADCN， 四邊形ADCN是平行四邊形， CDAN