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文檔簡介

1、2 線性相關性的結論、極大線性無關組,一、線性相關性的結論,二、極大線性無關組,三、向量組的線性表示與等價,一、線性相關性的結論,唯一線性表示.,證明：,于是有,線性相關，,假設有兩個不同的線性表示，即,（再證唯一性）,線性無關.,兩式相減，得.,線性表示，則,推論1 若向量 可由,證明：,（必要性）,（反證法）,線性相關.,則存在不全為零的數,使,是不全為零的數 .,這與已知相矛盾！,所以假設不成立.,線性無關.,設有向量 與向量組 ，則,推論2,1) 當 時，,2) 當 時，,3) 當 時，,問當 取何值時，,例1.設,因為,解：,所以,某一部分組線性相關 原向量組線性相關.,定理2 (部

2、分相關，整體相關),推論 (整體無關，部分無關),設,定義1 .接長向量,向量組線性無關 任一部分組皆線性無關.,稱 是 的接長向量.,定理3 (無關組添加分量仍無關),推論 (相關組減少分量仍相關),無關向量組減少分量可能變成相關向量組；相關向量組增加分量可能變成無關向量組.,注：,若k維向量組 線性無關，則接長向量組,也線性無關 .,若k+l維向量組 線性相關，則縮短向量組,也線性相關 .,定理2、3的解析圖,相關組,相關組,相關組,加向量,減分量,無關組,無關組,減向量,加分量,無關組,極大線性無關組，簡稱極大無關組.,定義2,線性表示；,二、極大線性無關組,（無關性）,（極大性）,線性

3、相關.,1）定義中ii)與下面的ii)是等價的,2）對向量組的討論歸結為對其極大無關組的討論.,4）n維單位坐標向量組是所有n維向量組成的向量,組的一個極大無關組.,3）任何含有非零向量的向量組一定有極大無關組.,注：,例3.設,求向量組,的一個極大線性無關組.,注：1）求極大無關組的方法.,2）一個向量組的極大無關組不是唯一的.,例4求向量組,的極大無關組.,解：,作矩陣,對矩陣A作初等行變換化行階梯形（或行最簡形）,由矩陣 B 知線性無關且為極大無關組.,定義3,三、向量組的線性表示與等價,向量組等價.,若向量組 中每一個向量,若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩個,可由向量組 線性表示；,1）向量組和它的任一極大無關組等價.,2）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身.,3）一個向量組的任意兩個極大無關組都等價.,注,4）向量組之間的等價關系具有：, 反身性, 對稱性,傳遞性,線性表示，則,可由 線性表示,的充要條件是矩陣 的秩等于矩陣,的秩.,判別定理,定理4,線性表示，且 則 線性相關.,線性表示，且 線性無關，則,都線性無關，則,推論6一個

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