1、第四章 頻 率 特 性 分 析,4.1 頻率特性概述 4.2 頻率特性的圖示方法 4.3 閉環(huán)頻率特性（自學(xué)） 4.4 頻率特性的特征量 4.5 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 4.6 利用MATLAB對系統(tǒng)進(jìn)行頻率特性分析,時域分析的缺陷,高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行； 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影響； 當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。,頻域分析： 頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。 頻域分析的目的：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。 頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)

2、輸入和輸出之間的關(guān)系即系統(tǒng)的特性。 頻率特性在有些書中又稱為頻率響應(yīng)。本書中頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。 通過本章的學(xué)習(xí)將會看到，頻率特性和頻率響應(yīng)是兩個聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。,頻率特性分析方法具有如下特點： 這種方法可以通過分析系統(tǒng)對不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。 頻率特性有明確的物理意義，可以用實驗的方法獲得。這對那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。 不需要解閉環(huán)特征方程。由開環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。,優(yōu)點：,無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向 易于實驗分析 可

3、推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； 可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。,4.1 頻率特性概述,解：,由Laplace反變換得：,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為,幅值是頻率的函數(shù) 相位是頻率的函數(shù) 輸出頻率不變,Asint,2、頻率特性,線性系統(tǒng)在諧波信號輸入時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性，稱為該系統(tǒng)的頻率特性.,注意： 頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型,=輸出相位-輸入相位,= (),二、頻率特性的求法,1、利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來求,2 、用傳函G(s)的s換為j來求,復(fù)數(shù)表示法： （1）代數(shù)表示法： a+jb,（2）指數(shù)表示法： |A|ej （3）極坐標(biāo)表示法：|A|,復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：,已知

4、復(fù)數(shù)： A=a+jb=A1 1 B=c+jd=B1 2 1）兩復(fù)數(shù)相加：實部相加，虛部相加 A+B=(a+c)+j(b+d) 2）兩復(fù)數(shù)相減：實部相減，虛部相減 A-B=(a-b)+j(b-d),3）兩復(fù)數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加,AB=(A1B1) 1+ 2 4）兩復(fù)數(shù)相除：幅值相除，相位相減,相頻特性：()=-arctanT,例 求慣性環(huán)節(jié) 的頻率特性,例 求閉環(huán)傳函為 的頻率特性,3、實驗方法求頻率特性進(jìn)而求G(s) (當(dāng)傳函未知時采用),系統(tǒng),2、通過分析不同的諧波輸入，以獲得系統(tǒng) 的動態(tài)特性,3、可方便的分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響 4、可方便分析高階系統(tǒng)的性能 5、可

5、設(shè)計出合適的通頻帶，以控制系統(tǒng)噪音的影響,4.2 頻率特性的圖示方法,一、頻率特性的極坐標(biāo)圖 1、定義,其中，P()、Q()分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。顯然：,以頻率特性|G(j)|G (j)作為一矢量，當(dāng)由0變化到時，矢量的端點在復(fù)平面上形成的軌跡稱為Nyquist圖。,相角()的符號規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正。,2 、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖,（1）比例環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：G(s) = K 頻率特性：G(j) = K = Kej0 =K0 幅頻特性：A() = K 相頻特性： () = 0 實頻特性：P() = K 虛頻特性：Q() = 0,比例環(huán)節(jié)Nyquist圖,（2）積分環(huán)節(jié),傳遞函

6、數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = -90,虛頻特性：,實頻特性：,積分環(huán)節(jié)Nyquist圖,積分環(huán)節(jié)具有恒定的相位滯后。,（3）微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,實頻特性：,虛頻特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = 90,微分環(huán)節(jié)Nyquist圖,微分環(huán)節(jié)具有恒定的相位超前。,（4）慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,相頻特性： () = - arctgT,幅頻特性：,實頻特性：,虛頻特性：,注意到：,即慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2, 0)處，半徑為1/2的一個圓。,（5）一階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性： () = arctan,無論為何值,

7、實頻特性：Re()=1 相頻特性：()=arctan ,（6）振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,幾點說明,頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。,應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：,實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的

8、運(yùn)動情況。,三、頻率特性的特點和作用,1、對頻率特性的分析就是對單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜分析,振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖, = 0時, = n時, = 時,二階系統(tǒng)的Nyquist圖,諧振現(xiàn)象,由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線可見，當(dāng) 較小時，在 = n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值 Mr 對應(yīng)的頻率r 稱為諧振頻率。,由于：,由此可求出：,顯然r 應(yīng)大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的條件為：,諧振峰值：,（7）二階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,當(dāng) = 0時,當(dāng) = 1/時,當(dāng) = 時,二階微分環(huán)節(jié)Nyquist圖,（8）延時環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)：,頻率特性：,幅頻特性：,相頻特性：,延時環(huán)節(jié)Nyq

9、uist圖,3、Nyquist圖的一般形狀,（1） Nyquist圖的繪制步驟,1）求出系統(tǒng)對應(yīng)的頻率特性,2） 分別求=0和=時的幅值和相位,|G(j0)|=0.5 G(j0)=0 |G(j)|=0 G(j)=-180o,3）當(dāng)曲線跨象限時，求曲線和實軸或虛軸的交點；當(dāng)曲線不跨象限時，求起始點的漸進(jìn)線,4）勾畫大致曲線,例：,解：系統(tǒng)的頻率特性為：,則有：|G(j0)|= G(j0)=-900 |G(j)|=0 G(j)=-180o,確定漸近線：,當(dāng)=0時： 實頻特性：u()=-KT 虛頻特性：v()=- ,（2）Nyquist圖的一般形狀,1）一般形狀,0型系統(tǒng)：G(j0)=K0 I型系統(tǒng)

10、： G(j0)=-90o II型系統(tǒng)： G(j0)=-180o,b. 當(dāng)=時,由于系統(tǒng)的分母的階次n分子的階次m G(j)=0(n-m) (-90o),2）當(dāng)系統(tǒng)含有一階微分環(huán)節(jié)（導(dǎo)前環(huán)節(jié)）時， Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”,G(j0)=-90o,G(j)=0 -90o,二、頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖）,1、組成 1）由幅頻對數(shù)坐標(biāo)圖和相頻對數(shù)坐標(biāo)圖組成,2）坐標(biāo)分度,橫坐標(biāo)：按 lg進(jìn)行分度，但標(biāo)注真值,10 100 1000 10000 ,dec,縱坐標(biāo),幅頻：按20lg|G(j)|dB分度 相頻：按真實角度線性分度,采用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點：,可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除

11、，化為幅值的加、減，簡化了計算與作圖過程； 可以用近似方法作圖，方便了作圖； 可分別作出各個環(huán)節(jié)的Bode圖，然后用疊加方法得出系統(tǒng)的Bode圖，并由此看出各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)總特性的影響； 對于橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度，所以能把較寬頻率范圍的圖形緊湊地表示出來。,2、典型環(huán)節(jié)的Bode圖,（1）比例環(huán)節(jié) G(j)=K0 L()=20lgA()=20lgK,=0 1,=-20dB 10,=-40dB 100,（2）積分環(huán)節(jié),當(dāng)=1時，L()=20lgK,（3）微分環(huán)節(jié) G(s)=s,與積分環(huán)節(jié)互為鏡像,（4）慣性環(huán)節(jié),低頻段( 1/T ),即低頻段可近似為0dB的水平線，稱為低頻漸近線。,對數(shù)相頻特性： (

12、) = - arctgT,對數(shù)幅頻特性：,高頻段( 1/T ),即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec 的直線，稱為高頻漸近線。,一階慣性環(huán)節(jié)Bode圖,轉(zhuǎn)折頻率（ 1/T ),低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點 1/T，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率）。 在轉(zhuǎn)折頻率處，L() -3dB，()-45。 慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。 漸近線誤差,（5）一階微分環(huán)節(jié) G(s)=Ts+1,與慣性環(huán)節(jié)互為鏡像,一階微分環(huán)節(jié)相當(dāng)于高通濾波器 因此，一階微分環(huán)節(jié)對高頻信號有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制噪聲能力的下降。,（6）振蕩環(huán)節(jié),對數(shù)幅頻特性,低頻段( n),即低頻漸近線為0dB的水平線。,高頻段( n),即高頻漸近線為斜率為-40dB/dec 的直線。 兩條漸近線的交點為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率等于其無阻尼固有頻率。,對數(shù)相頻特性,易知：,振蕩環(huán)節(jié)Bode圖,漸近線誤差分析,由圖可見，當(dāng) 較小時，由于在 = n 附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差， 越小，誤差越大。,當(dāng)0.380.7時，誤差不超過3dB。因此，在此 范圍內(nèi)，可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻曲線。,準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上，通過誤差曲線修正而獲得或直接計算。,（7）二階微分環(huán)節(jié),注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特